山东省郓城县实验中学高中数学 二证明不等式的基本方法学案 新人教A版必修4.doc

学案77不等式选讲证明不等式的基本方法导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式自主梳理1三个正数的算术几何平均不等式：如果a，b，c0，那么_，当且仅当abc时等号成立2基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当_时等号成立3二维形式的柯西不等式及推论：若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立；|acbd|，当且仅当adbc时等号成立；|ac|bd|，当且仅当_时等号成立4证明不等式的常用五种方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是_与0比较大小或_与1比较大小(2)综合法：从已知条件出发，利用定义、_、_、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法也叫顺推证法或由因导果法(3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的_条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法也叫逆推证法或执果索因法(4)反证法反证法的定义先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾(5)放缩法定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_或_，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键自我检测1已知ma2b2，nabab1，则m，n的大小关系为()amn bmb0，p，q，那么()apq bpqcpq4已知ab0，nn*，则使不等式a2n成立的n的最大值为()a4 b8 c10 d165(2011南阳月考)已知a，b，c0，且abc，设m，n，则m与n的大小关系是_.探究点一比较法证明不等式例1已知a0，b0，求证：.变式迁移1(2011福建)设不等式|2x1|b0，求证：0，求证： a2.转化与化归思想的应用例(10分)已知f(x)x2pxq.求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.多角度审题已知f(x)，要证f(1)f(3)2f(2)2，只须化简左边式子，看是怎样的形式，然后才能视情况而定如何证明求证|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于包括：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中有一个大于等于，其余两个小于；三个中有2个大于等于，另一个小于；三个都大于等于.如果从正面证明，将有7种情况需要证明，非常繁杂，可考虑用反证法证明【答题模板】证明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.2分(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2；(2)将分子或分母放大(缩小)，如， (kn*且k1)等(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2011烟台月考)已知a、b、mr且ab，则()a.b.c.d.与间的大小不能确定2(2010黄冈期中)设a、br，且ab，ab2，则必有()a.ab1 bab1cab1 d1ab3设ar且a0，以下四个式子中恒大于1的个数是()a31；a22a2；a；a2.a1 b2 c3 d44(2011保定调研)在下列不等式中，一定成立的是()a48aabbaca3a2a1 d()m20，y0，lg 2xlg 8xlg 2，则的最小值为_7设xa2b25，y2aba24a，若xy，则实数a，b应满足的条件为_三、解答题(共43分)8(10分)已知x，y，z均为正数，求证：.9(10分)(2011包头模拟)已知正数a、b、c满足ab2c，求证：ca(xyz)学案77不等式选讲(二)证明不等式的基本方法自主梳理1.2.a1a2an3.adbc且abcd04.(1)差商(2)公理定理(3)充分(5)放大缩小自我检测1cmna2b2abab1(2a22b22ab2a2b2)(a22abb2)(a22a1)(b22b1)(ab)2(a1)2(b1)20，当且仅当ab1时“”成立mn.2ap2q2ab2ab2()0.pq.3cqp.pq.4bna2，b(ab) (20)a2a228(a2，b1时取“”)即a2的最小值为8，nmax8.5mn解析a，b，c0，且abc，m设f(x) (x0)，f(x)0，即f(x)在(0，)上为增函数，f(ab)f(c)，即，mn.课堂活动区例1解题导引不等式左、右两边是多项式形式，可用作差或作商比较法，也可用分析法、综合法证明()，又0，0，()20，()0.故.变式迁移1解(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1，所以mx|0x1(2)由(1)和a，bm可知0a1,0b0，故ab1ab.例2解题导引本例不等式中的a、b、c具有同等的地位，证明此类型不等式往往需要通过系数的变化，利用基本不等式进行放缩，得到要证明的结论证明a、b、c均为正数，当且仅当ab时等号成立；同理：，当且仅当bc时等号成立；，当且仅当ac时等号成立三个不等式相加即得，当且仅当abc时等号成立变式迁移2证明x是正实数，由基本不等式知，x12，1x22x，x312，故(x1)(x21)(x31)22x28x3 (当且仅当x1时等号成立)例3解题导引当要证的不等式较复杂，已知条件信息量太少，已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法分析法是步步寻求不等式成立的充分条件，而实际操作时往往是先从要证的不等式出发，寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分，这种“逆求”过程能培养学生的发散思维能力，也是分析问题、解决问题时常用的思考方法证明欲证，只需证b0，只需证，即1.欲证1，只需证2，即.该式显然成立欲证1，只需证2，即.该式显然成立1成立，且以上各步均可逆0，只须证22，从而只要证2 ，只要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立课后练习区1a0，.2c当a0，b0时，2ab2，0ab1；当ab0时，ab1.又(ab)2a2b22ab2，1，又ab.选c.3a只有a221，故选a.4d取ab1，显然有4444161，4884，a不成立；abab，当ab0时，ab1，b不一定成立；a3a2a1(a1)(a21)，当a1时，c不成立；()272，2(2)272，又m2m21，()m2y，得a2b252aba24a(ab1)2(a2)20，所以有ab1或a2.8证明因为x，y，z均为正数，所以，同理可得，(5分)当且仅当xyz时，以上三式等号都