第六次习题课资料(场论部分).doc

Green公式Gauss公式Stokes公式例1 设一元函数在上连续可导,且对于任何位于半空间中的光滑有向封闭曲面，有。进一步假设。求。 解：对于，作以为球心，以为半径的闭球。于是根据假设有。根据Gauss公式有，即。再根据三重积分的中值定理可知存在，使得。令得 。由于是任意的，故可可简单的写作 ，。这是一阶线性常微分方程，根据求解公式得可知其通解为。进一步的假设意味着。解答完毕。例2 假设函数在上连续可微，且对于平面上任意围绕原点的分段光滑简单闭曲线，曲线积分的值恒为常数（同一常数）。(I) 证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有；(II) 求函数的表达式。解(I) 证明：设是半平面内的任一分段光滑简单闭曲线，在上任意取定两个不同的点，作两条围绕原点的闭曲线和闭曲线。根据题设可知（常数）根据第二类曲线积分的性质，利用上式可得解(II)： 设，则在右半平面（单连通区域）上具有一阶连续偏导数。根据(I)中的结论，根据曲线积分在该区域内与路径无关。因此在右半平面上有。，.由方程可知函数必满足，。若令，我们得到。由此进一步得到。将代入上式即可得到。解答完毕。例3 设是锥面的一个部分： ，规定其正法线向下，求面积分。解：补一个曲面（平面一部分），正法线向上。对于面积分 应用Gauss公式得 而。因此原面积分。解答完毕。例4 记为园柱面位于的部分，外法向为正，计算曲面积分。 解法：记向量场，单位正法向量。园柱面在柱面坐标下的方程为，。解法：记立体，正法向向下，正法向向上。根据Gauss公式得简单计算得到 ，。因此原积分。例5 计算高斯积分，其中为一个不经过原点的光滑封闭曲面其中为上点处的单位外法线向量，解：记。则 .易证由高斯公式可知，当不包围原点时，积分等于零；当不包含围原点时，原积分等于向量场关于球面:（外侧）上的第二型面积分于是。解答完毕。例6 求曲线积分, 其中曲线由方程组确定，其正向规定如下：从正z轴方向看, 的正向为反时钟方向。解法一.直接计算。写出曲线的参数方程： =解法二.利用Stokes公式计算。记为平面上园域的部分：，规定正法向为。的定向与其边界的定向协调。根据Stokes 公式得 = =。解答完毕。例7 求, 其中为圆周从Ox轴的正向看去, 圆周的正向为逆时针方向.解: 利用Stokes公式计算.记为平面上的园域部分：。上侧为正. 则由Stokes公式, 其中为平面的单位法向量, .而故 其中为平面在球面部分内的面积.例8 求，其中为曲线， ，若从轴正方向看去，方向为逆时针方向。例9 向量场 是否是保守场_（填是或否）【答案】否例10 设是球面与平面的交线，从轴正向看去正向为逆时针方向，则_【答案】例11 设，则， 【答案】（，），例12 设，则 ； 。【答案】， 。例13 当常数 时，积分 与路径无关。此时微分式的原函数为 。【答案】 3， 【解析】记，。令，得。由此解得，且，所以。此时。例14 设是平面与球面的交线， 从轴正向看去的正向为逆时针方向，则 。【答案】0例15 设有向光滑曲面，为其单位法向量，为的边界，两者的定向协调（成右手系）。设为一个常向量，为矢径。求证：提示：不难验证 。例16 计算线积分，其中为，逆时针为正向。【解】即，。不难验证 。因此线积分积分与路径无关。记，逆时针为正向。于是。对线积分应用Green公式得。例17 设为有界区域，它的边界是逐段光滑曲线，是的外单位法向量，设函数，且在内为调和函数，即，于上。求证：（1）；（2）；（3）若在边界上，求证 【解】(1) 由于 ,；(2) 。(3) 由（2）的结论可知，若，则，。即，所以，从而， 。 解答完毕。例18 已知函数在整个实轴上二次连续可微，满足，且使得微分式是全微分，求，并使由到逐段光滑曲线上积分的值为。例19 【解】由假设微分式 是全微分，故，即。这是二阶常系数线性常微分方程。对应的齐次方程通解为 。另一方面不难看出方程 有一个特解。因此原方程的通解为。关于函数的两个条件，条件，以及条件由到逐段光滑曲线上积分的值为，可以以唯一确定两个常数，。对求导得 ， 。于是，。 由到积分得 得。于是。解答完毕。例20 设有向曲线是平面与球面的交线， 从轴正向看去为逆时针为正向。求第二类曲线积分。【解】首先注意。 记为平面上包含于球面内的部分，规定的正法向与轴的正向成锐角。根据Stokes公式得.注意到的单位正法向 ，于是。解答完毕。例21 如图，设为由圆锥面:和平面所围成的圆锥体。 （1）证明设此圆锥体的体积可以表示为其中为区域的边界（曲面）， 为其单位外法向量，（2）此圆锥体的体积也可以表示为 ，其中为圆锥的底面积，为圆锥的高【证明】（）根据Gauss公式得故（）由于，其中记锥面部分，记底面部分因为锥面的顶教在原点，其上每一点的法向量与径向垂直，故。其中为圆锥的底面积，为原点到平面的距离，也就是圆锥的高故。解答完毕。例22 设为封闭光滑的平面曲线，逆时针为正向，为的外法向量，为常向量，求证第一类曲线积分。证明：。证毕。例23 设,上在上连续，在内可微，。若函数在上满足方程 求极限