高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修12.ppt

第二章 推理与证明 2 1合情推理与演绎推理2 1 1合情推理 学习目标 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 2 了解合情推理在数学发现中的作用 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗 答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围 其前提和结论之间的联系不是必然性的 而是或然性的 结论不一定正确 类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征 推测正在被研究中的事物的特征 所以类比推理的结果具有猜测性 不一定可靠 2 由合情推理得到的结论可靠吗 答一般来说 由合情推理所获得的结论 仅仅是一种猜想 未必可靠 例如 费马猜想就被数学家欧拉推翻了 预习导引 1 归纳推理和类比推理 部分对象 全部 个别事实 对象 一般结论 部分到整 体 个别到一般 类似 已知特征 殊到特殊 特 2 合情推理的含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过 再进行 然后提出的推理 我们把它们统称为合情推理 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 猜想 要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的 三角数阵 1 第1行22 第2行343 第3行4774 第4行51114115 第5行 记第n n 1 行的第2个数为an n 2 n n 请仔细观察上述 三角数阵 的特征 完成下列各题 1 第6行的6个数依次为 解由数阵可看出 除首末两数外 每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和 且每一行的首末两数都等于行数 6 16 25 25 16 6 2 依次写出a2 a3 a4 a5 解a2 2 a3 4 a4 7 a5 11 3 归纳出an 1与an的关系式 解 a3 a2 2 a4 a3 3 a5 a4 4由此归纳 an 1 an n 规律方法对于数阵问题的解决方法 既要清楚每行 每列数的特征 又要对上 下行 左 右列间的关系进行研究 找到规律 问题即可迎刃而解 跟踪演练1根据下列条件 写出数列中的前4项 并归纳猜想它的通项公式 1 a1 3 an 1 2an 1 解由已知可得a1 3 22 1 a2 2a1 1 2 3 1 7 23 1 a3 2a2 1 2 7 1 15 24 1 a4 2a3 1 2 15 1 31 25 1 猜想an 2n 1 1 n n 解由已知可得a1 a 对一切的n n an 0 a2 3 同理可求得a3 5 a4 7 猜想出an 2n 1 n n 要点二类比推理的应用例2如图所示 在 abc中 射影定理可表示为a b cosc c cosb 其中a b c分别为角a b c的对边 类比上述定理 写出对空间四面体性质的猜想 解如右图所示 在四面体pabc中 设s1 s2 s3 s分别表示 pab pbc pca abc的面积 依次表示面pab 面pbc 面pca与底面abc所成二面角的大小 我们猜想射影定理类比推理到三维空间 其表现形式应为s s1 cos s2 cos s3 cos 规律方法 1 类比推理的基本原则是根据当前问题的需要 选择适当的类比对象 可以从几何元素的数目 位置关系 度量等方面入手 由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论 2 平面图形与空间图形类比 要点三平面图形与空间图形的类比例3三角形与四面体有下列相似性质 1 三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形 四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形 2 三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形 四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形 通过类比推理 根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表 解 规律方法将平面几何中的三角形 长方形 圆 面积等和立体几何中的三棱锥 长方体 球 体积等进行类比 是解决和处理立体几何问题的重要方法 跟踪演练3类比平面内正三角形的 三边相等 三内角相等 的性质 可推出正四面体的下列哪些性质 你认为比较恰当的是 各棱长相等 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 各个面都是全等的正三角形 相邻两个面所成的二面角都相等 各个面都是全等的正三角形 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 a b c d 解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理 叫类比推理 上述三个结论均符合推理结论 故均正确 答案c 1 下列说法正确的是 a 由合情推理得出的结论一定是正确的b 合情推理必须有前提有结论c 合情推理不能猜想d 合情推理得出的结论不能判断正误解析根据合情推理定义可知 合情推理必须有前提有结论 1 2 3 4 b 2 下图为一串白黑相间排列的珠子 按这种规律往下排起来 那么第36颗珠子应是什么颜色 1 2 3 4 a 白色b 黑色c 白色可能性大d 黑色可能性大 解析由图知 三白二黑周而复始相继排列 36 5 7余1 第36颗珠子的颜色为白色 答案a 1 2 3 4 3 将全体正整数排成一个三角形数阵 123456789101112131415 按照以上排列的规律 第n行 n 3 从左向右的第3个数为 1 2 3 4 解析前n 1行共有正整数1 2 n 1 个 1 2 3 4 4 观察下列各式9 1 8 16 4 12 25 9 16 36 16 20 这些等式反映了自然数间的某种规律 设n表示正整数 用关于n的等式表示为 解析由已知四个式子可分析规律 n 2 2 n2 4n 4 1 2 3 4 n 2 2 n2 4n 4 课堂小结1 合情推理是指 合乎情理 的推理 数学研究中 得到一个新结论之前 合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论 证明一个数学结论之前 合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向 合情推理的过程概括为 一般来说 由合情推理所获得的结论 仅仅是一种猜想 其可靠性还需进一步证明 2 归纳推理与类比推理都属合情推理 1 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全