【步步高】高考数学第一轮知识点巩固题库 第8讲 曲线与方程（含解析）新人教A版 (1).doc

第8讲 曲线与方程一、选择题1已知两定点a(1,1)，b(1，1)，动点p满足，则点p的轨迹是()a圆 b椭圆c双曲线 d拋物线解析 设点p(x，y)，则(1x,1y)，(1x，1y)，所以(1x)(1x)(1y)(1y)x2y22.由已知x2y22，即1，所以点p的轨迹为椭圆答案b2已知点f，直线l：x，点b是l上的动点若过b垂直于y轴的直线与线段bf的垂直平分线交于点m，则点m的轨迹是()a双曲线 b椭圆 c圆 d抛物线解析由已知：|mf|mb|.由抛物线定义知，点m的轨迹是以f为焦点，l为准线的抛物线，故选d.答案d3设圆(x1)2y225的圆心为c，a(1,0)是圆内一定点，q为圆周上任一点线段aq的垂直平分线与cq的连线交于点m，则m的轨迹方程为()a.1 b.1c.1 d.1解析m为aq垂直平分线上一点，则|am|mq|，|mc|ma|mc|mq|cq|5，故m的轨迹为椭圆，a，c1，则b2a2c2，椭圆的标准方程为1.答案d4已知点p是直线2xy30上的一个动点，定点m(1,2)，q是线段pm延长线上的一点，且|pm|mq|，则q点的轨迹方程是()a2xy10 b2xy50c2xy10 d2xy50解析由题意知，m为pq中点，设q(x，y)，则p为(2x，4y)，代入2xy30，得2xy50.答案d5已知二面角l的平面角为，点p在二面角内，pa，pb，a，b为垂足，且pa4，pb5，设a，b到棱l的距离分别为x，y，当变化时，点(x，y)的轨迹方程是()ax2y29(x0)bx2y29(x0，y0)cy2x29(y0)dy2x29(x0，y0)解析 实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面pab与二面角的棱的交点是c，则acx，bcy，在两个直角三角形rtpac，rtpbc中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式如图，x242y252，即x2y29(x0，y0)答案b6在平行四边形abcd中，bad60，ad2ab，若p是平面abcd内一点，且满足：xy0(x，yr)则当点p在以a为圆心，|为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为()a4x2y22xy1 b4x2y22xy1cx24y22xy1 dx24y22xy1解析如图，以a为原点建立平面直角坐标系，设ad2.据题意，得ab1，abd90，bd.b、d的坐标分别为(1,0)、(1，)，(1,0)，(1，)设点p的坐标为(m，n)，即(m，n)，则由xy0，得：xy，据题意，m2n21，x24y22xy1.答案d二、填空题7已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点a(1,0)、b(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_解析 设抛物线焦点为f，过a、b、o作准线的垂线aa1、bb1、oo1，则|aa1|bb1|2|oo1|4，由抛物线定义得|aa1|bb1|fa|fb|，|fa|fb|4，故f点的轨迹是以a、b为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)答案 1(y0)8. 如图，点f(a,0)(a0)，点p在y轴上运动，m在x轴上运动，n为动点，且0，0，则点n的轨迹方程为_解析由题意，知pmpf且p为线段mn的中点，连接fn，延长fp至点q使p恰为qf之中点；连接qm，qn，则四边形fnqm为菱形，且点q恒在直线l：xa上，故点n的轨迹是以点f为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为：y24ax.答案y24ax9如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点m在ab上，且amab，点p在平面abcd上，且动点p到直线a1d1的距离的平方与p到点m的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xay中，动点p的轨迹方程是_解析过p作pqad于q，再过q作qha1d1于h，连接ph、pm，可证pha1d1，设p(x，y)，由|ph|2|pm|21，得x211，化简得y2x.答案y2x10. 曲线c是平面内与两个定点f1(1,0)和f2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线c过坐标原点；曲线c关于坐标原点对称；若点p在曲线c上，则f1pf2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_解析 曲线c经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a1，与条件不符；曲线c关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|pf1|pf2|a2，关于原点的对称点处也一定符合|pf1|pf2|a2；三角形的面积sf1f2p2，很显然sf1f2p|pf1|pf2|sinf1pf2|pf1|pf2|.所以正确答案 三、解答题11.如图，已知f(1,0)，直线l：x1，p为平面上的动点，过点p作l的垂线，垂足为点q，且 .求动点p的轨迹c的方程解 法一：设点p(x，y)，则q(1，y)，由，得(x1,0)(2，y)(x1， y)(2，y)，化简得c：y24x.法二：由，得()0，()()0，220.|.点p的轨迹c是抛物线，由题意，轨迹c的方程为y24x.12设椭圆方程为x21，过点m(0,1)的直线l交椭圆于a，b两点，o为坐标原点，点p满足()，点n的坐标为，当直线l绕点m旋转时，求：(1)动点p的轨迹方程；(2)|的最大值，最小值解(1)直线l过定点m(0,1)，当其斜率存在时设为k，则l的方程为ykx1.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意知，a、b的坐标满足方程组消去y得(4k2)x22kx30.则4k212(4k2)0.x1x2，x1x2.p(x，y)是ab的中点，则由消去k得4x2y2y0.当斜率k不存在时，ab的中点是坐标原点，也满足这个方程，故p点的轨迹方程为4x2y2y0.(2)由(1)知4x22，x而|np|222232，当x时，|取得最大值，当x时，|取得最小值.13在平面直角坐标系xoy中，椭圆e：1(a0，b0)经过点a，且点f(0，1)为其一个焦点(1)求椭圆e的方程；(2)设随圆e与y轴的两个交点为a1，a2，不在y轴上的动点p在直线yb2上运动，直线pa1，pa2分别与椭圆e交于点m，n，证明：直线mn通过一个定点，且fmn的周长为定值解(1)根据题意可得可解得椭圆e的方程为1.(2)由(1)知a1(0,2)，a2(0，2)，p(x0，4)为直线y4上一点(x00)，m(x1，y1)，n(x2，y2)，直线pa1方程为yx2，直线pa2方程为yx2，点m(x1，y1)，a1(0,2)的坐标满足方程组可得点n(x2，y2)，a2(0，2)的坐标满足方程组可得由于椭圆关于y轴对称，当动点p在直线y4上运动时，直线mn通过的定点必在y轴上，当x01时，直线mn的方程为y1，令x0，得y1可猜测定点的坐标为(0,1)，并记这个定点为b.则直线bm的斜率kbm，直线bn的斜率kbn，kbmkbn，即m，b，n三点共线，故直线mn通过一个定点b(0，1)，又f(0，1)，b(0,1)是椭圆e的焦点，fmn周长为|fm|mb|bn|nf|4b8，为定值14已知向量a(x，y)，b(1,0)，且(ab)(ab)(1)求点q(x，y)的轨迹c的方程；(2)设曲线c与直线ykxm相交于不同的两点m、n，又点a(0，1)，当|am|an|时，求实数m的取值范围解(1)由题意得ab(x，y)，ab(x，y)，(ab)(ab)，(ab)(ab)0，即(x)(x)yy0.化简