【备战】高考数学 全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选试题分类汇编7 立体几何 理.doc

备战2014年高考之2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇编7：立体几何一、选择题 （云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)理科数学试题（详解） 某四面体的三视图如图2所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是a bc d正视图侧视图俯视图【答案】由题图可知,几何体为如图1所示的三棱锥, 其中,由俯视图可知, , ,故选d. 图1 （【解析】云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理科数学）设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题： 若，且则； 若，且.则；若，则mn； 若且n,则m.其中正确命题的个数是( )a1 b2 c3 d4【答案】b【解析】正确；中当直线时，不成立；中，还有可能相交一点，不成立；正确，所以正确的有2个，选b. （贵州省遵义四中2013届高三第四月考理科数学）某几何体的三视图如右图所示，则它的体积是（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖去一个圆锥，正四棱柱的体积为，圆锥的体积为，所以该几何体的体积为，选a. （甘肃省兰州一中2013高考冲刺模拟(一)数学（理）已知四棱锥的三视图如右图所示，则四棱锥的四个侧面中的最大面积是a b c d. 【答案】a （甘肃省兰州一中2013届高三上学期12月月考数学（理）试题）下列说法正确的是有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱，四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台，以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.【答案】b【解析】选项a不正确，如图：棱台是由棱锥截来的，故要求梯形的腰延长后要交与一点，故c不正确；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥，故d不正确。 （贵州省贵阳市2013届高三适应性监测考试（二）理科数学 word版含答案）已知半径为l的球,若以其一条半径为正方体的一条棱作正方体,则此正方体内部的球面面积为a. b. c. d.【答案】 b （云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理科数学）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，则球的表面积为 （ ）a b c d 【答案】b【解析】因为，所以，所以。所以，即为直角三角形。因为三棱锥的所有顶点都在球的球面上，所以斜边ac的中点是截面小圆的圆心，即小圆的半径为.,因为是半径，所以三角形为等腰三角形，过作,则为中点，所以,所以半径，所以球的表面积为,选b. （云南省昆明市2013届高三复习适应性检测数学（理）试题）三棱柱中,与、所成角均为,且,则与所成角的余弦值为(a)1 (b) (c) (d)【答案】 c （甘肃省2013届高三第一次诊断考试数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 a b8 c8 d8【答案】c【解析】由三视图知：原几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥，正方体的棱长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，所以该几何体的体积为：。（【解析】云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理科数学）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）a. b. c. d.【答案】c【解析】由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱ae与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是ac根据直角三角形的勾股定理知,半径为，所以外接球的面积为，选c. （云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试数学理）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为abcd32【答案】b【解析】根据三视图可知，这是一个四棱台，所以表面积为，选b.（甘肃省兰州一中2013高考冲刺模拟(一)数学（理）如果执行如右图所示的程序框图，则输出的s值为 a bc2 d【答案】c（云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试数学理）如图， 在长方体abcda1b1c1d1中，对角线b1d与平面a1bc1相交于点e，则点e为a1bc1的a垂心b内心c外心d重心【答案】d【解析】如图，,所以,且为的中点，选d.（【解析】甘肃省天水市一中2013届高三上学期第三次考试数学理试题）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是()a若，则b若mn，m，n，则c若mn，m，则nd若n，n，则【答案】d【解析】a若，则，错误，可能平行，也可能相交；b若mn，m，n，则，错误，可能平行，也可能相交，要判断两个平面平行，需要两个平面内的两条相交直线相互平行；c若mn，m，则n，错误，可能是n，也可能是n；d若n，n，则，正确。垂直于同一条直线的两个平面平行。选d。（【解析】贵州省四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是 ( ) a b. c. d. 【答案】a【解析】由三视图可知该几何体为正方体内部四棱锥(红线图形)。则正方体的边长为2，所以,所以四棱锥的体积为，选a. （甘肃省天水一中2013届高三下学期五月第二次检测（二模）数学（理）试题）如图,等腰梯形abcd中,ab=2dc=2,dab=60,e为ab的中点,将ade与bec分别沿ed、ec向上折起,使a、b重合于点p,则三棱锥pdce的外接球的体积为a. b. c. d.【答案】 c （云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理科数学）一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形该四棱锥的体积等于（ ）a. b2c3 d6【答案】a 【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是俯视图对应的梯形，四棱锥的侧面是等边三角形且侧面和底面垂直，所以四棱锥的高为，底面梯形的面积为，所以四棱锥的体积为，选a.如图。（【解析】甘肃省天水市一中2013届高三上学期第三次考试数学理试题）一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何的体积为（ ）ab cd【答案】d【解析】由三视图知，该几何体为一个半圆锥和一个四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为。四棱锥的底面为边长是2的正方形，高为，所以这个几何体的体积为。选d。（云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学理）一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为的三条线段，则的最大值为abcd3【答案】c【解析】构造一个长方体，让长为2的线段为体对角线，由题意知，即，又，所以，当且仅当时取等号，所以选c. （甘肃省兰州一中2013高考冲刺模拟(一)数学（理）如图，所在的平面 和四边形所在的平面互相垂直，且 ， ，,若，则点在平面内的轨迹是a圆的一部分 b椭圆的一部分 c双曲线的一部分 d抛物线的一部分【答案】b（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科数学试题）一个几何体的三视图如图l所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（ ） a1b cd 【答案】b【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图1，其中正视图为，是边长为2的正三角形，且，底面为等腰直角三角形，所以体积为，故选b. 图1（云南省玉溪一中2013届高三第三次月考理科数学）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）a16b4c8d2【答案】b【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径r为1，则三棱锥的外接球表面积，选b.（【解析】贵州省四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）若棱长均为的正三棱柱内接于一个球，则该球的半径为 （ ）a.b. c. d. 【答案】d【解析】根据对称性可知球心在正三棱柱上下底面中心连线的中点处。则,，所以球半径,选d. （云南省部分名校（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中）2013届高三下学期第二次统考数学（理）试题）已知直线平面,直线平面,下面有三个命题:; 则真命题的个数为a.0b.1c.2d.3【答案】 c （甘肃省河西五市部分普通高中2013届高三第二次联合考试 数学（理）试题）已知一个几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 ( ) a. b. c. d. 【答案】d（贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理科数学试题）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）图2 【答案】a【解析】由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为2，正四棱锥的底面边长为正方体的上底面，高为1.原几何体的体积为,选a.（云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理科数学）若是两个不同的平面，下列四个条件：存在一条直线，；存在一个平面，；存在两条平行直线；存在两条异面直线那么可以是的充分条件有（ ）a4个 b3个 c2个 d1个【答案】c【解析】可以；也有可能相交，所以不正确；也有可能相交，所以不正确；根据异面直线的性质可知可以，所以可以是的充分条件有2个，选c.（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理科数学试题）已知一几何体的三视图如图4，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何形体可能是矩形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体abcd【答案】a【解析】以长方体为几何体的直观图. 当选择的四个点为b1、b、c、c1时，可知正确；当选择b、a、b1、c时，可知正确；当选择a、b、d、d1时，可知正确.选a.（云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理科数学）如图2，正三棱柱的主视图（又称正视图）是边长为的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为( ) a b c d16 【答案】a【解析】由主视图可知，三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为，所以侧视图的面积为，选a.（贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理科数学试题）正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 【答案】【解析】因为是它的内切球的一条弦，所以当弦经过球心时，弦的长度最大，此时.以为原点建立空间直角坐标系如图.根据直径的任意性，不妨设分别是上下底面的中心，则两点的空间坐标为，设坐标为，则,所以，即.因为点为正方体表面上的动点，所以根据的对称性可知，的取值范围与点在哪个面上无关，不妨设，点在底面内，此时有，所以此时，,所以当时，此时最小，当但位于正方形的四个顶点时，最大，此时有，所以的最大值为2. ，所以，即的取值范围是.（云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理科数学）正三棱柱内接于半径为1的球，则当该棱柱体积最大时，高 。【答案】【解析】根据对称性可知，球心位于正三棱柱上下底面中心连线的中点上。设正三棱柱的底面边长为，则，所以,所以高，由得，即正三棱柱底面边长的取值范围是。三棱柱的体积为,即体积,当且仅当，即时取等号，此时高。（云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理科数学）已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为_.【答案】【解析】因为在正三棱锥abc中，pa，pb，pc两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点.球心到截面abc的距离为球的半径减去正三棱锥abc在面abc上的高.已知球的半径为，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥abc在面abc上的高为，所以球心到截面abc的距离为.（贵州省贵阳市2013届高三适应性监测考试（二）理科数学 word版含答案）一个几何体的三视图如图所示,这个几何体的体积是_.【答案】 （云南省部分名校（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中）2013届高三下学期第二次统考数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为_. 【答案】 ; （贵州省遵义四中2013届高三第四月考理科数学）如右图, 设a、b、c、d为球o上四点，若ab、ac、ad两两互相垂直，且，则a、d两点间的球面距离 【答案】 【解析】因为ab、ac、ad两两互相垂直，所以分别以ab、ac、ad为棱构造一个长方体，在长方体的体对角线为球的直径，所以球的直径，所以球半径为,在正三角形中，所以a、d两点间的球面距离为.（云南省玉溪一中2013届高三第三次月考理科数学）设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记。当为钝角时，则的取值范围是 。【答案】【解析】由题设可知，以、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则有，则，得，所以， 显然不是平角，所以为钝角等价于，即，即，解得，因此的取值范围是。（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科数学试题）正三棱锥abcd内接于球o，且底面边长为，侧棱长为2，则球o的表面积为_ 【答案】【解析】如图3，设三棱锥的外接球球心为o，图3半径为r，bc=cd=bd=，ab=ac=ad=2，m为正的中心，则dm=1，am=，oa=od=r，所以，解得，所以.（甘肃省2013届高三第一次诊断考试数学（理）试题）直三棱柱abca1b1cl的各顶点都在同一球面上，若ab =ac= aa1=2，bac=120o，则此球的表面积等于 【答案】【解析】由余弦定理得：，所以在abc中，设abc外接圆的圆心为o1，半径为r，则由正弦定理得：，设球的半径为r，圆心为o，则，所以球的表面积为。（云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学理）已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 .【答案】【解析】将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所以,则球的表面积为.三、解答题（云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)理科数学试题（详解）（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，、分别为、的中点（1）求证：平面；（2）当时，求点到平面的距离efb1c1a1【答案】()证明:在直三棱柱中,不妨设, 为等腰直角三角形, , e、f分别为bc、的中点, , , , 有, , 又平面abc, 平面aef. ()解:由条件知, , , , 在中, , 设点到平面的距离为, 则, 所以, 即点到平面的距离为1. （云南省昆明市2013届高三复习适应性检测数学（理）试题）如图,四边形是正方形, .()求证:平面平面;()若与所成的角为,求二面角的余弦值.abcdpm【答案】解:(i)平面,且平面, , 又是正方形,而梯形中与相交, 平面, 又平面, 平面平面 abcdpmxyz (ii)平面,则, 又, 以点为原点,依次为轴,建立空间直角坐标系, 不妨设,. 则, , , 由与所成的角为, 得 解得. , 求得平面的一个法向量是 ; , 求得平面的一个法向量是; 则, 故二面角的余弦值为 (其他做法参照给分) （云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试数学理）如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱与底面abc垂直，且ab1bc1，ab=aa1=1，bc=2。 （i）证明：a1c1ab； （ii）求二面角a1bc1a的余弦值。【答案】 （云南省部分名校2013届高三第一次统一考试理科数学（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中）如图，三棱柱中，面，为的中点.c1a1cb1abd (1）求证：；（2）求二面角的余弦值； （3）在侧棱上是否存在点，使得？请证明你的结论.【答案】（i）证明：连接b1c，与bc1相交于o，连接od bcc1b1是矩形，o是b1c的中点 又d是ac的中点，od/ab1 ab1面bdc1，od面bdc1，ab1/面bdc1 a1ac1zxycb1bd （ii）解：如图，建立空间直角坐标系， 则c1（0，0，0），b（0，3，2）， c（0，3，0），a（2，3，0）， d（1，3，0）， ， 设是面bdc1的一个法向量，则即，取. 易知是面abc的一个法向量. . 二面角c1bdc的余弦值为. （iii）假设侧棱aa1上存在一点p使得cp面bdc1. 设p（2，y，0）（0y3），则 ， 则，即. 解之方程组无解. 侧棱aa1上不存在点p，使cp面bdc1. （云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理科数学）（本题12分）如图6，在长方体中，为中点.（1）求证：；（2）在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求的长；若不存在，说明理由；（3）若二面角的大小为30，求的长. 图6 【答案】解:（1）以a为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设aba，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e，b1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.因为011(1)10，所以b1ead1.（2）假设在棱aa1上存在一点p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae.此时(0，1，z0).又设平面b1ae的法向量n(x，y，z).因为n平面b1ae，所以n，n，得取x1，得平面b1ae的一个法向量n.要使dp平面b1ae，只要n，有az00，解得z0.又dp平面b1ae，所以存在点p，满足dp平面b1ae，此时ap.（3）连接a1d，b1c，由长方体abcda1b1c1d1及aa1ad1，得ad1a1d.因为b1ca1d，所以ad1b1c.又由（1）知b1ead1，且b1cb1eb1，所以ad1平面dcb1a1.所以是平面a1b1e的一个法向量，此时(0,1,1).设与n所成的角为，则cos.因为二面角ab1ea1的大小为30，所以|cos|cos30，即，解得a2，即ab的长为2.（贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理科数学试题）（本小题满分12分）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，是的中点，是线段上的点（i）当是的中点时，求证：平面；（ii）要使二面角的大小为，试确定点的位置图5【答案】解：【法一】（i）证明：如图，取的中点，连接由已知得且，又是的中点，则且，是平行四边形， 又平面，平面 平面（ii）如图，作交的延长线于.连接，由三垂线定理得，是二面角的平面角即，设，由可得故，要使要使二面角的大小为，只需【法二】（i）由已知，两两垂直，分别以它们所在直线为轴建立空间直角坐标系则，则，设平面的法向量为则，令得由，得又平面，故平面（ii）由已知可得平面的一个法向量为，设，设平面的法向量为则，令得由， 故，要使要使二面角的大小为，只需（甘肃省天水一中2013届高三下学期五月第二次检测（二模）数学（理）试题）如图,在多面体abcde中,是边长为2的等边三角形,cd与平面abde所成角的正弦值为.(1)在线段dc上是否存在一点f,使得,若存在,求线段df的长度,若不存在,说明理由;(2)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】解:()取ab的中点g,连结cg,则, 又,可得,所以, 所以,cg=,故cd= 取cd的中点为f,bc的中点为h,因为,所以为平行四边形,得, 平面 存在f为cd中点,df=时,使得 ()如图建立空间直角坐标系,则、 、,从而, ,. 设为平面的法向量, 则 可以取 8分 设为平面的法向量, 则 取 因此, （甘肃省河西五市部分普通高中2013届高三第二次联合考试 数学（理）试题）（本小题满分12分）在三棱柱abca1b1c1中，abbccaaa12，侧棱aa1面abc，d、e分别是棱a1b1、aa1的中点，点f在棱ab上，且（）求证：ef平面bdc1；（）求二面角ebc1d的余弦值【答案】（1）证法一：设o为ab的中点，连结a1o， af=ab ，o为ab的中点 f为ao的中点，又e为aa1的中点 efa1o 又d为a1b1的中点，o为ab的中点 a1d=ob 又a1dob 四边形a1dbo为平行四边形 a1obd 又efa1o efbd 又ef平面dbc1 ， bd平面dbc1 ef平面dbc1 （6分）证法二：建立如图所示的坐标系。（坐标系建立仅为参考）xyozab=bc=ca=aa1=2，d、e分别为a1b1、aa1的中点，af=abe（-1，0，1），f，b（1，0，0），d（0，0，2），c1（0，）设平面平面dbc1的法向量为 , 令z=1,则y=0,x=2 又ef平面bdc1 ef平面bdc1 （6分）（2）设面ebc1的法向量为 ， 令x=1,则z=2，y=- cos=由图知二面角ebc1d为锐二面角，所以二面角的余弦值为 （12分）（云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理科数学）（本小题满分12分）在边长为5的菱形abcd中，ac8.现沿对角线bd把abd折起，折起后使adc的余弦值为.（1）求证：平面abd平面cbd； （2）若m是ab的中点，求折起后ac与平面mcd所成角的正弦值。abcdm abcdm【答案】【解】(1)证明在菱形abcd中，记ac，bd的交点为o，ad5，oa4，od3，翻折后变成三棱锥abcd，在acd中，ac2ad2cd22adcdcos adc252525532，在aoc中，oa2oc232ac2，aoc90，即aooc，又aobd，ocbdo，ao平面bcd，又ao平面abd，平面abd平面cbd.(2)由(1)知oa，oc，od两两互相垂直，分别以oc，od，oa所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则a(0,0,4)，b(0，3,0)，c(4,0,0)，d(0,3,0)，m，(4，3,0)，(4,0，4)，设平面mcd的一个法向量为n(x，y，z)，则由，得，令y4，有n(3,4,9)，设ac与平面mcd所成的角为，sin |cos ，n|，ac与平面mcd所成角的正弦值为.（云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理科数学）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点为的中点.（1）求证：； （2）求证：；（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【答案】.解：（） , 点e为的中点,连接的中位线 / 2分又 4分（ii）正方形中, , 由已知可得：， , 8分故当时，二面角的大小为 12分(注：其它方法同样得分)（云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学理）（本小题满分12分） 如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，dab=60，侧面pad平面ac，在pad中 ，e为ad中点，pa=pd。 （i）证明：pabe； （ii）若，求二面角apbd的正弦值。【答案】 （云南省玉溪一中2013届高三第三次月考理科数学）（本小题满分12分）如图，在长方体，中，点在棱ab上移动.（1）证明：； （2）当为的中点时，求点到面的距离； （3）等于何