高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 二倍角的三角函数（1）课件2 北师大版必修4.ppt

3 3二倍角的三角函数 一 知识提炼 二倍角公式及其变形 sin cos cos sin 2sin cos cos cos sin sin 2cos2 1 1 2sin2 即时小测 1 思考下列问题 1 公式t2 成立的条件是什么 提示 k k k z 2 二倍角公式应用过程中 角 和三角函数式的 次数 是如何变化的 提示 两种变化形式 一是 角 变二倍 次数 降低为一次 二是 角 变为原来的一半 次数 升高为二次 2 计算1 2sin222 5 的结果等于 解析 选b 1 2sin222 5 cos45 3 sin15 sin75 的值为 解析 选b sin15 sin75 sin15 cos15 2sin15 cos15 sin30 4 2cos275 1 解析 2cos275 1 cos150 cos30 答案 5 若tan 2 则tan2 解析 tan2 答案 知识探究 知识点正弦 余弦 正切的二倍角公式观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 二倍角的含义是什么 其有哪些变形 问题2 二倍角公式及其变形各有什么特点 它们如何使用 总结提升 1 对二倍角中 倍 的说明 1 倍 具有广泛的含义 例如 2 是 的二倍角 同样地 4 是2 的二倍角 2n 是2n 1 的二倍角 是的二倍角 3 是的二倍角等 2 在具体应用中可先对角进行观察 寻求待求的角与已知角之间的差异 再决定用哪种 倍 的关系 2 二倍角公式的应用 1 直接应用公式进行升幂 配方 开方 求值化简证明等运算 2 变形应用公式主要体现在化异角为同角 化异次为同次 逆用公式等方面 其中二倍角的余弦公式最灵活 如 1 cos2 2cos2 cos2 1 cos2 2sin2 sin2 不仅仅是逆用 更重要的是体现了幂指数的变化 其中 是从一次幂向二次幂转换 因此把它们称为升幂公式 则是从二次幂向一次幂转换 因此把它们称为降幂公式 题型探究 类型一求二倍角的函数值 典例 1 若sin 则cos2 2 已知的值是 解题探究 1 典例1中的条件和所求式中的角有什么联系 提示 两角为二倍角关系 2 典例2中是哪个角的二倍 这个角与有什么关系 提示 解析 1 由sin 得cos2 1 2sin2 答案 2 因为所以答案 方法技巧 用二倍角公式求解给值求值问题的常用策略 1 当已知和待求式含有三角函数的平方式时 需先降幂 再求解 2 先探寻到已知和待求式中角的倍 单角关系 再正用或逆用二倍角公式求解 3 当式子中涉及的角较多时 要探寻其间的关系 化异角为同角 变式训练 已知求sin2 cos2 tan2 的值 解题指南 由sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 知应先求出sin cos 的值 解析 因为所以sin cos 代入sin2 cos2 1 得cos2 cos2 1 因为所以sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 tan2 类型二化简与证明三角函数式 典例 1 化简 2 证明 解题探究 1 典例1中有什么关系 提示 2 典例2中左 右两边的差别是什么 如何消除差别 提示 左边为弦函数的高次的分式 右边为切函数 将左边正向运用二倍角公式进行约分化简即可证明 解析 1 原式 答案 1 2 左边 tan 右边 延伸探究 变换条件 若将典例1的式子改为 结果如何 解析 原式 答案 方法技巧 1 化简三角函数式的策略一般地 三角函数式的化简要从减少角的种类 减少函数的种类 改变函数式的运算结构入手 通过切化弦 弦化切 异角化同角 高次降幂 分解因式 逆用公式等手段 使函数式的结构化为最简形式 2 证明三角恒等式的原则与步骤 1 观察恒等式的两端的结构形式 处理原则是从复杂到简单 高次降低 复角化单角 如果两端都比较复杂 就将两端都化简 即采用 两头凑 的思想 2 证明恒等式的一般步骤是 先观察 找出角 函数名称 式子结构等方面的差异 然后本着 复角化单角 异名化同名 变换式子结构 变量集中 等原则 设法消除差异 达到证明的目的 变式训练 化简下列各式 解析 1 原式 2 方法一 原式 方法二 原式 易错案例由条件求值 典例 2015 榆林高一检测 已知则sin 或 失误案例 错解分析 分析上面的解析过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是利用二倍角公式及其变形求值过程中忽视了角的范围致误 实际上本题由sin 2 0 可进一步缩小角2 的范围 自我矫正 因为所以 0 得2 2 所以cos 2 因为 0 所以cos2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 由cos2 1 2sin2 得sin2 又 所以sin 答案 防范措施 1 审题问题已知条件角度的认识不到位 不能够结合三角函数值的符号 将已知角的范围进一步缩小 在本例中求得sin 2 0 可以将2 的