高等代数第7章线变换[1].ppt

第7章线性变换 1线性变换的定义 2线性变换的运算 3线性变换的矩阵 4特征值与特征向量 5对角矩阵 6线性变换的值域与核 7不变子空间 8Jordan标准形介绍 9最小多项式 1线性变换的定义 一 线性变换的概念定义线性空间V到其自身的映射称为线性空间V的一个变换 定义设V是数域P上的n维线性空间 A V V为V的一个变换 若对任意a b V和数k P 都有A a b A a A b A ka kA a 则称A是线性空间V的一个线性变换 lineartransformation 称A a 或Aa为向量a在线性变换A下的象 image 例1 1 设A V V 若关于任意a V 都有A a 0 则称A为零变换 记作O 2 设A V V 若关于任意a V 都有A a a 则称A为恒等变换 identitytransformation 记作E 注零变换和恒等变换都是线性变换 例2设A V V k是数域P中常数 定义A a ka a V则A是V的一个线性变换 因为A a b k a b ka kb A a A b A la k la l ka lA a 通常称上述变换为数乘变换或位似变换 用K表示 当k 0时 K为零变换O 当k 1时 K为恒等变换E 例3设rq是把平面上的向量绕坐标原点反时针旋转q角的变换 设a x y T rq a x y T 则 因为x rq a cos j q rq a cosjcosq sinjsinq xcosq ysinq同样y xsinq ycosq 记A 则rq a Aa 称为旋转变换 可以证明旋转变换rq是一个线性变换 如何证明 例4设A R3 R3 a a1 a2 a3 定义A a a1 a2 0 易证A是线性变换 它是把向量a投影到平面Oxy上 称为投影变换 例5设A R2 R2 a a1 a2 定义A a a1 a2 则A是线性变换 称为镜面反射或反射变换 例6线性空间P x 或Pn x 中 定义D为求导数的变换 即D f x f x f x Pn x D是一个线性变换 称为微分变换 例7闭区间 a b 上所有连续函数全体组成实数域R上的线性空间C0 a b 定义变换J f x 则J是一个线性变换 二 线性变换的简单性质 1 设A是线性空间V的一个线性变换 则A 0 0 A a A a 2 线性变换保持向量的线性组合与线性关系式不变 即若b k1a1 k2a2 ksas则A b k1A a1 k2A a2 ksA as 3 线性相关的向量组经线性变换后其象向量组仍线性相关 即a1 a2 as线性相关则A a1 A a2 A as 也线性相关 注线性无关向量组的象向量组未必线性无关 即a1 a2 as线性无关推不出A a1 A a2 A as 也线性无关 2线性变换的运算 设V是数域P上的线性空间 V的所有线性变换的集合记作L V 设A B L V 若对于所有的a V 都有A a B a 则说A B是相等的 记作A B 下面在L V 中引入乘法 加法 数乘运算 一 线性变换的乘法及其性质设A B L V 定义A与B的乘积为V的一个变换 a V 有 AB a A B a 1 AB也是线性变换 证因为 a b V和 k l P 有 AB ka lb A B ka lb A kB a lB b A kB a A lB b kA B a lA B b k AB a l AB b 2 乘法适合结合律 即 AB C A BC 因为映射的合成满足结合律3 乘法不满足交换律 即一般地AB BA如求微分变换D与求积分变换J 有DJ E 但一般地JD E4 单位变换的作用AE EA A5 零变换的乘法OA AO O 二 线性变换的加法及其性质 设A B L V 定义A与B的和为V的一个变换 使 a V 有 A B a A a B a 1 A B也是V的一个线性变换 因为对于所有的a b V和数k l P 有 A B ka lb A ka lb B ka lb kA a lA b kB a lB b k A B a l A B b 2 1 交换律A B B A 2 结合律 A B C A B C 3 零变换A O A 4 负变换A A O其中 A a A a 从而 A B A B 3 分配律A B C AB AC A B C AC BC 三 线性变换的数量乘法及其性质 设A L V k P 定义k与A的数量乘积为V的一个变换 使得kA KA其中K为由k决定的数乘变换 即 a V kA a KA a K A a 1 kA也是线性变换 2 1 1的数乘1A A 2 数乘结合律 kl A k lA 3 数乘分配律 k l A kA lA 4 数乘分配律k A B kA kB定理L V 对于如上定义的加法与数量乘法构成数域P上的线性空间 四 线性变换的逆变换 V的变换A称为可逆的 如果存在V的变换B 使AB BA E 这时 变换B称为A的逆变换 记为A 1 可逆线性变换A的逆变换A 1也是线性变换 可逆线性变换A的逆变换A 1也是线性变换 A 1 ka lb A 1 k AA 1 a l AA 1 b A 1 A kA 1 a A lA 1 b A 1 A kA 1 a lA 1 b A 1A kA 1 a lA 1 b kA 1 a lA 1 b 五 线性变换的多项式 An AA A n个 规定A0 E 线性变换的幂满足如下指数法则 Am n AmAn Am n Amn m n 0 当线性变换A可逆时 定义A的负整数幂为A n A 1 n n是正整数 注线性变换乘积的指数法则不成立 即一般地 AB n AnBn 设f x amxm am 1xm 1 a0是P x 中一多项式 A是V的线性变换 定义f A amAm am 1Am 1 a0Ef A 是线性变换 称为线性变换A的多项式 若在P x 中h x f x g x p x f x g x 则h A f A g A p A f A g A 特别地 f A g A g A f A 即同一线性变换的多项式的乘法可交换 例在线性空间Pn l 中 求微商是线性变换 用D表示 显然有Dn O又变量的平移f l f l a a P 也是线性变换 用Sa表示 按Taylor公式f l a f l af l f l f n 1 l 因此Sa实质上是D的多项式 即Sa E aD D2 Dn 1 3线性变换的矩阵 一 线性变换作用在基上 定理设e1 e2 en是线性空间V的一组基 a1 a2 an是V中任意取定的n个向量 则必存在唯一的线性变换A 使得Aei aii 1 2 n 证存在性任给a k1e1 k2e2 knen 令A V Va k1a1 k2a2 knan则A是线性变换 且因ei 0e1 0ei 1 ei 0ei 1 0enAei 0a1 0ai 1 ai 0ai 1 0an ai 唯一性设有两个线性变换A与B 使Ae1 Be1 Ae2 Be2 Aen Ben 则对V中任一向量a k1e1 k2e2 knen Aa k1Ae1 k2Ae2 knAen k1a1 k2a2 knanBa k1Be1 k2Be2 knBen k1a1 k2a2 knan于是Aa Ba 由a的任意性 知A B 推论设e1 e2 en是线性空间V的一组基 如果V的两个线性变换A与B在这组基上的作用相同 即Aei Bei 则必有A B 推论设x1 x2 xs是n维线性空间V的一组线性无关向量 a1 a2 as是V中任意取定的s个向量 则必存在线性变换A 使Axi aii 1 2 s 证将x1 x2 xs扩成V的一组基 再由定理即得 注当s n时 这样的线性变换不止一个 注 1 基向量的象可以是任意指定的 换言之 V中的每一组向量都可作为基向量在适当线性变换下的象 2 一个线性变换被它在一组基上的作用完全决定 亦即 当基向量确定后 这样的线性变换是唯一的 二 线性变换在一组基下的矩阵 定义设e1 e2 en是数域P上n维线性空间V的一组基 A是V的线性变换 则基向量的象可唯一地被基线性表示为 称矩阵为线性变换A在基e1 e2 en下的矩阵 采用矩阵形式记号 可写成 Ae1 Ae2 Aen e1 e2 en e1 e2 en A并记A e1 e2 en Ae1 Ae2 Aen 则得到A e1 e2 en e1 e2 en A 例1设V是数域P上n维线性空间 则恒等变换在任一组基下的矩阵都是n阶单位矩阵E 零变换在任一组基下的矩阵都是n阶零矩阵0 由k决定的数乘变换在任一组基下的矩阵都是n阶数量矩阵kE 例2设P3的线性变换A为A x1 x2 x3 x1 x2 x1 x2 取一组基e1 1 0 0 e2 0 1 0 e3 0 0 1 则Ae1 e1 e3Ae2 e2 e3Ae3 0 所以在e1 e2 e3下A的矩阵为 例3在由所有2阶实方阵所构成的线性空间R2 2中 对取定的方阵A0 可以定义变换A X A0X X R2 2由矩阵的乘法性质不难验证 A是R2 2的一个线性变换 取基则AE11 aE11 0E12 cE21 0E22AE12 0E11 aE12 0E21 cE22 AE21 bE11 0E12 dE21 0E22AE22 0E11 bE12 0E21 dE22因此 例4在线性空间Pn x 中取定一组基e1 1 e2 x e3 x2 en xn 1 D为Pn x 的微分变换 即D f x f x f x Pn x 因为D e1 0D e2 e1D e3 2e2 D en n 1 en 1 所以D在这组基下的矩阵是 定理设V是数域P上的n维线性空间 e1 e2 en是它的一组基 则V的全体线性变换的集合L V 和n阶矩阵全体的集合Pn n之间存在一一对应的关系 亦即 每个线性变换A都对应唯一的一个n阶矩阵A 反之 任给一个n阶矩阵A 都可以构造唯一的一个线性变换A以矩阵A为A这组基下的矩阵 定理设V是数域P上的n维线性空间 1 2 n是它的一组基 则V的线性变换和n阶矩阵之间的一一对应有以下性质 1 线性变换的和对应矩阵的和 2 线性变换的乘积对应矩阵的乘积 3 线性变换的数量乘积对应矩阵的数量乘积 4 可逆线性变换对应的矩阵是可逆的 且逆变换对应矩阵的逆矩阵 证设A与B是两个线性变换 它们在基 1 2 n下的矩阵分别是A和B 即A 1 2 n 1 2 n AB 1 2 n 1 2 n B 1 因为 A B 1 2 n A 1 2 n B 1 2 n 1 2 n A 1 2 n B 1 2 n A B 所以线性变换A B在基 1 2 n下的矩阵是A B 2 因为 AB 1 2 n A B 1 2 n A 1 2 n B A 1 2 n B 1 2 n AB 所以线性变换AB在基 1 2 n下的矩阵是AB 3 因为 kA 1 2 n k A 1 2 n k 1 2 n A 1 2 n kA 故线性变换kA在基 1 2 n下的矩阵是kA 4 假设 A 1 A 2 A n 1 2 n A若A可逆 记其逆变换为B B在基 1 2 n下的矩阵为B 则AB BA在基 1 2 n下的矩阵分别为AB BA 因为AB BA E 所以AB BA E 即矩阵A可逆 且A的逆变换B对应的矩阵B是A的逆矩阵 三 向量的象的坐标 现描述任一向量 V在线性变换A下的象A 与原象 在同一基下的坐标间的关系 定理设线性变换A在基 1 2 n下的矩阵是A 向量 与A 在该基下的坐标分别是X x1 x2 xn T和Y y1 y2 yn T 则Y AX 证由假设A 1 2 n 1 2 n A x1 1 x2 2 xn n 1 2 n 所以A A 1 A 2 A n 1 2 n A 由假设A 1 2 n 而 1 2 n线性无关 所以 A 四 线性变换在不同基下的矩阵 定理设V是数域P上n维线性空间 V的线性变换A在V的两组基 1 2 n与 1 2 n下的矩阵分别为A和B 从基 1 2 n到 1 2 n的过渡矩阵是P 则B P 1AP 证由于 1 2 n 1 2 n P又A 1 2 n A 1 2 n P A 1 2 n P 1 2 n AP 1 2 n P 1 AP 1 2 n P 1AP由于线性变换在取定基下的矩阵是唯一的 可得B P 1AP 定义设A和B都是n阶方阵 如果存在可逆矩阵P 使得B P 1AP 则称A与B是相似的 similar 记作A B 矩阵之间的相似关系满足 1 自反性 A A 2 对称性 若A B 则B A 3 传递性 若A B B C 则A C 性质 1 若P 1A1P B1 P 1A2P B2 则 1 P 1 A1 A2 P B1 B2 2 P 1 A1A2 P B1B2 3 P 1 kA1 P kB1 2 若A B 则f A f B 其中f x anxn an 1xn 1 a1x a0 定理n维线性空间V的线性变换A在V的不同基下的矩阵是相似矩阵 反之 如果两个矩阵A和B相似 那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵 证假设B P 1AP 设A为线性变换A在基 1 2 n下的矩阵 令 1 2 n 1 2 n P显然 1 2 n也是一组基 且A在这组基下的矩阵就是B 例设V是数域P上二维线性空间 1 2是一组基 线性变换A在基 1 2下的矩阵是现在计算A在另一组基 1 2下的矩阵 这里 1 2 1 2 由定理 A在 1 2下的矩阵为 由于可计算得 4特征值与特征向量 一 线性变换的特征值与特征向量定义设V是数域P上的线性空间 A是V的一个线性变换 如果对于数域P中的数 0 存在V中非零向量 使得A 0 成立 则称 0为线性变换A的一个特征值 非零向量 称为线性变换A的对应于 或属于 特征值 0的特征向量 注从几何上看 A作用于 之上就相当于对特征向量 作数乘变换 使之方向相同 0 0 方向相反 0 0 或为0 例1设A是线性空间R3中以xOy面为镜面的反射变换 于是A作用于基向量i j k的像是A i i A j j A k k即A的特征值是1 2重 和 1 xOy面上任意非零向量l1i l2j是属于特征值1的特征向量 形如l3k l3 0 的向量是属于特征值 1的特征向量 例2设C a b 是区间 a b 内所有任意次可微实函数所构成的实线性空间 D是C a b 的微分变换 对于每一个 有D e x e x所以任何实数 都是D的特征值 而e x是属于 的一个特征向量 二与矩阵的特征值与特征向量的关系 由于矩阵是一个特殊的线性变换 所以可以定义矩阵的特征值与特征向量 定义设A是数域P上的n阶方阵 如果对于数域P中的数 存在非零n维 列 向量 使得A 成立 则称 为矩阵A的一个特征值 非零列向量 称为矩阵A的对应于 或属于 特征值 的特征向量 定理设A是n维线性空间V的一线性变换 1 2 n是V的一组基 A在此基下的矩阵是A 则 0是A的特征值 当且仅当 0是A的特征值 是A的属于特征值 0的特征向量 当且仅当 在基 1 2 n下的坐标x x1 x2 xn T是A的属于特征值 0的特征向量 上面定理说明 可通过求矩阵A的特征值和特征向量 来求相应的线性变换的特征值和特征向量 三 矩阵特征值与特征向量的求法 定义设A aij 是n阶方阵 是一个文字 矩阵 E A的行列式称为矩阵A的特征多项式 定理设A是n阶方阵 则 1 0是A的特征值 当且仅当 0是A的特征多项式 E A 的根 2 x0是A的属于特征值 0的特征向量当且仅当x0是齐次线性方程组 0E A x 0的一个非零解 线性变换的特征值与特征向量的求法 1 在线性空间V中取一组基 1 2 n 写出A在这组基下的矩阵A 2 求出A的特征多项式 E A 在数域P中全部的根 也就是线性变换A的全部特征值 3 把求得的特征值 0逐个代入齐次方程组 0E A x 0 对于每一个特征值 0 求出该方程组的一个基础解系 它们就是属于该特征值的几个线性无关的特征向量在基 1 2 n下的坐标 这样 也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量 例已知P2 2的线性变换A如下 A X MX XM X P2 2求A的特征值与特征向量 解取P2 2的基E11 E12 E21 E22 可求得A在这组基下的矩阵为 A的特征多项式为所以A的特征值为 1 2 0 3 2 4 2 把特征值 1 0代入 E A x 0 得到它的基础解系是 1 1 0 0 T 1 0 0 1 T 因此 属于特征值0的两个线性无关的特征向量是 而属于特征值0的全部特征向量就是k1X1 k2X2 k1 k2不全为零的数 因此 属于特征值 2的一个线性无关的特征向量就是 再将特征值 2代入 E A x 0 得到 它的基础解系是 0 1 0 0 T 而属于特征值 2的全部特征向量就是k3X3 k3任意非零的数 同理可求得属于特征值2的一个线性无关的特征向量就是 而属于特征值2的全部特征向量就是k4X4 k4任意不为零的数 例3在空间Pn x 中 线性变换Df x f x 在基下的矩阵是 的特征多项式是 齐次线性方程组知道 属于特征值0的线性无关的特征向量只能是任一非零常数 这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数 因此 的特征值只有0 通过解相应的 例4平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间 第一节例3中旋转在直角坐标系下的矩阵为它的特征多项式为当 k 时 这个多项式没有实根 因此 当 k 时没有特征值 从几何上看 这个结论是显然的 性质 一 相似矩阵有相同的特征多项式和相同的特征值 二 线性变换的特征值与基的选择无关 三 属于同一特征值 0的特征向量全体连同零向量构成V的一个子空间V 0 称其为特征子空间 它的维数等于属于同一特征值 0的线性无关特征向量的最大个数 四 若 1 2 n是n阶方阵A aij n n的全部特征值 则 为方便 记 五 Hamilton Cayley定理 设A是数域P上一个矩阵 f E A 是A的特征多项式 则f A An a11 a22 ann An 1 1 n A E 0 证设B 是 E A的伴随矩阵 则B E A E A E f E因为B 的元素都是 E A 的各个代数余子式 都是 的多项式 其次数不超过n 1 因此 B 可以写成B n 1B0 n 2B1 Bn 1其中B0 B1 Bn 1都是n n数字矩阵 再设f n a1 n 1 an 1 an 则f E nE a1 n 1E an 1 E anE B E A nB0 n 1 B1 B0A n 2 B2 B1A Bn 1 Bn 2A Bn 1A比较同次项系数 得 以An An 1 A E依次从右边乘上式第一式 第二式 第n式 第n 1式 得 把上式的n 1个式子一起加起来 左边变成零 右边即f A 故f A 0 定理得证 推论设A是有限维空间V的线性变换 f 是A的特征多项式 A在任一组基下的矩阵的特征多项式 那么f A O 5对角矩阵 本节的任务是讨论哪一些线性变换在一组适当基下的矩阵可以是对角矩阵 进而如何寻找这一组基 定理设A是n维线性空间V的一个线性变换 A在某一组基下的矩阵为对角矩阵的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量 定理属于不同特征值的特征向量线性无关 推论若n维线性空间V中 线性变换A的特征多项式在数域中有n个不同的根 即A有n个不同的特征值 则A在某组基下的矩阵是对角矩阵 定理若 1 k 是线性变换A的不同的特征值 而是属于特征值 i的线性无关的特征向量 i 1 2 k 则向量组也线性无关 定理若 1 k 是线性变换A的不同的特征值 而是属于特征值 i的特征子空间 i 1 2 k 则和是直和 定理 设A是n维线性空间V上的线性变换 是A的k重特征值 则的维数不超过k 定理数域P上n维空间V的线性变换A在某组基下的矩阵是对角矩阵 当且仅当 2 关于每个特征值 的维数等于它的重数 1 在P中A的特征值有n个 重根按重数计算 定理数域P上n阶方阵A相似于对角矩阵 当且仅当 1 在P中A的特征值有n个 重根按重数计算 2 关于每个特征值 齐次线性方程组 的基础解系所含向量的个数 它的重数等于 例1判断下列实矩阵能否化为对角阵 解 解之得基础解系 解之得基础解系 故不能相似于对角矩阵 A能否对角化 若能对角 例2 解 解之得基础解系 所以可对角化 注意 即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应 把一个矩阵化为对角阵 不仅可以使矩阵运算简化 而且在理论和应用上都有意义 可对角化的矩阵主要有以下几种应用 1 由特征值 特征向量反求矩阵 例3 已知方阵的特征值是 解 因为特征向量是3维向量 所以矩阵是3阶方阵 因为有3个不同的特征值 所以可以对角化 即存在可逆矩阵 使得 其中 求得 2 求方阵的幂 例4 设求 解 可以对角化 系数矩阵 令得基础解系 系数矩阵 令得基础解系 令 求得 即存在可逆矩阵 使得 3 求行列式 解 方法1求的全部特征值 再求乘积即为行列式的值 设 的特征值是 方法2 已知有个不同的特征值 所以可以对角化 即存在可逆矩阵 使得 4 判断矩阵是否相似 的特征值为 令 3阶矩阵有3个不同的特征值 所以可以对角化 即存在可逆矩阵 使得 方法2 因为矩阵有3个不同的特征值 所以可以对角化 所以矩阵能与对角阵相似 例7 设阶方阵有个互异的特征值 阶方阵与有相同的特征值 证 设的n个互异的特征值为 则存在可逆矩阵 使得 所以存在可逆矩阵 使得 即 即存在可逆矩阵 使得 即与相似 6线性变换的值域与核 定义设A是线性空间V的一个线性变换 A的全体象组成的集合称为A的值域 用AV表示 所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核 用A 1 0 表示 亦即AV A V A 1 0 V A 0 定理线性变换A的值域与核都是子空间 证首先AV非空 并且对于V中任何向量 和k P 都有A A A kA A k 即AV对V的加法和数乘封闭 故AV是V的子空间 同样 由于A 0 0 故0 A 1 0 A 1 0 非空 设 是A 1 0 中任何向量和k P 由A 0 A 0 可知A 0 A k 0所以 A 1 0 对加法和数乘封闭 故A 1 0 是V的子空间 例线性空间V的零变换O的值域是零子空间 核是整个空间V 例线性空间V的可逆变换的值域是V 核是零子空间 例线性空间Pn x 的微分变换D的值域是Pn 1 x 核是一维子空间P 定义值域AV的维数称为线性变换A的秩 记作r A 核A 1 0 的维数称为线性变换A的零度 记为nul A 定理设A是n维线性空间V的一个线性变换 1 2 n是V的一组基 A在基 1 2 n下的矩阵是A 则 1 A的值域是由基 1 2 n在A下像生成的子空间 即AV L A 1 A 2 A n 2 A的秩等于A的秩 即r A dim AV r A 3 A 1 证 1 设 是V中任一向量 可表示为 a1 1 a2 2 an n于是A a1A 1 a2A 2 anA n L A 1 A 2 A n 故A V L A 1 A 2 A n 反之 显然有L A 1 A 2 A n AV 所以A V L A 1 A 2 A n 2 由 1 得r A r A 1 A 2 A n r A 3 任取A 1 0 中的向量 则有A 0 亦即 对于基 1 2 n的坐标 x1 x2 xn T满足方程Ax 0 即有A x1 x2 xn T 0 0 0 T 反之 任取线性方程组Ax 0的一个解 a1 a2 an T 则在基 1 2 n下坐标为 a1 a2 an T的向量就一定在A 1 0 中 定理设A是n维线性空间V的线性变换 则r A nul A n 证设 1 2 n是V的一组基 A在基 1 2 n下的矩阵是A 则r A r A 由上定理之 3 知 A 1 所以A 1 0 的维数等于线性方程组Ax 0的解空间的维数 即n r A 故有r A nul A n 推论设A是n维线性空间V的线性变换 则下几条等价 1 r A n 2 A是满射 2 nul A 0 4 A是单射 例设A是n维线性空间V的线性变换 且A2 A 则A可以相似于对角阵 证先证明V是A 1 0 和AV的直和 再分别取A 1 0 和AV的一组基 合起来构成V的基 且A在该基下矩阵就是对角阵 7不变子空间 一 概念定义设A是数域P上线性空间V的线性变换 W是V的子空间 如果W中的向量在A下的像仍在W中 换句话说 对于W中任一向量 有A W 就称W是A的不变子空间 简称A 子空间 例1线性空间V的平凡子空间V和 0 对于每个线性变换A 都是A 子空间 例2线性变换A的值域与核都是A 子空间 证因为 AV V 有A AV 所以值域AV是A 子空间 又因为 A 1 0 A 0 A 1 0 所以A的核是A 子空间 例3设A是3维几何空间V中以某一过原点的直线L为轴 旋转一个角度 的旋转变换 则旋转轴L是A的1维不变子空间 而过原点与L垂直的平面H是A的2维不变子空间 例4线性空间V的任意一个子空间都是任何一个数乘变换的不变子空间 例5若线性变换A与B可交换 则B的核B 1 0 与值域BV都是A 子空间 证 B 1 0 由于B A BA AB A B A 0 0 故A B 1 0 所以B 1 0 是A 子空间 又 B BV A B B A BV 所以BV也是A 子空间 注因为f A 与A可交换 故f A 的值域与核都是A 子空间 二 特征子空间 命题A的属于特征值 0的特征子空间V 0是A的不变子空间 这里命题A 子空间的和与交还是A 子空间 三 线性变换在不变子空间上的限制 设A是线性空间V的线性变换 W是A的不变子空间 现在W中考虑A 即把A看成是W的一个线性变换 称为A在不变子空间W上引起的变换 记作A W 常常仍用A来表示 注意A和A W的异同 A是V的线性变换 V中每个向量在A下都有确定的像 A W是不变子空间W上的线性变换 对于W中任一向量 有 A W A 但对于V中不属于W的向量 A W 没有意义 例如 对于任一线性变换A A A 1 0 0 另一方面 A在特征子空间上引起的变换是数乘变换 即 四 关于生成子空间 如果线性空间V的子空间W是由向量组 1 2 s生成的 即W L 1 2 s 则W是A 子空间的充分必要条件为A 1 A 2 A s全属于W 证必要性是显然的 现在来证充分性 如果A 1 A 2 A s全属于W 由于W中每个向量 都可以被 1 2 s线性表示 即有 k1 1 k2 2 ks s 所以A k1A 1 k2A 2 ksA s W 五 线性变换矩阵的化简 设A是n维线性空间V的线性变换 W是V的A 子空间 在W中取一组基 1 2 k 将其扩充成V的一组基 1 2 k k 1 n则A在这组基下的矩阵就有如下形状 且A1就是A W在W的基 1 2 k下的矩阵 证由W是A的不变子空间 所以有故其矩阵如上 反之 若A在基 1 2 k k 1 n下的矩阵如下则易证 由 1 2 k 生成的子空间W是A的不变子空间 2 矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和之间关系 设V分解成若干个A 子空间的直和 V W1 W2 Ws在每一个A 子空间Wi中取一组基 i1 imi i 1 2 s 合并成V的一组基 则在这组基下 A的矩阵具有准对角形状 其中Ai i 1 2 就是A Wi在基 1 下的矩阵 反之 若线性变换A在一组基下的矩阵是准对角形 则V是一些A 子空间Wi的直和 且准对角阵上的对角块是A在Wi的某组基下的矩阵 六 空间按特征值的分解 定理设线性变换A的特征多项式为f 可分解成一次因式的乘积则V可分解成A不变子空间的直和V V1 V2 Vs其中 除了书上的证明外 有另一个证明 定理A L V fi x P x i 1 r 令则 推论设 fi x fj x 1 i j f x fi x 令则 8Jordan标准形介绍 限制在复数域中 定义形式为的矩阵称为Jordan块 其中 是复数 用J t 表示t阶 对角线上元素是 的Jordan块 由若干个Jordan块组成的准