高考数学大一轮复习 第十四章 选考部分 14.2 不等式选讲 第1课时 绝对值不等式课件 理 新人教版.ppt

14 2不等式选讲 第1课时绝对值不等式 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 含绝对值的不等式 x a的解集 1 绝对值不等式的解法 知识梳理 a a 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论的思想 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 c ax b c ax b c或ax b c 2 含有绝对值的不等式的性质 1 如果a b是实数 则 a b 当且仅当时 等号成立 2 如果a b c是实数 那么 当且仅当时 等号成立 a b a b ab 0 a c a b b c a b b c 0 1 2015 山东改编 解不等式 x 1 x 5 2的解集 考点自测 解答 当x 1时 原不等式可化为1 x 5 x 2 4 2 不等式恒成立 x 1 当1 x 5时 原不等式可化为x 1 5 x 2 x 4 1 x 4 当x 5时 原不等式可化为x 1 x 5 2 该不等式不成立 综上 原不等式的解集为 4 解答 2 若存在实数x使 x a x 1 3成立 求实数a的取值范围 x a x 1 x a x 1 a 1 要使 x a x 1 3有解 可使 a 1 3 3 a 1 3 2 a 4 3 若不等式 2x 1 x 2 a2 a 2对任意实数x恒成立 求实数a的取值范围 解答 设y 2x 1 x 2 当x5 题型分类深度剖析 题型一绝对值不等式的解法 例1 2015 课标全国 已知函数f x x 1 2 x a a 0 1 当a 1时 求不等式f x 1的解集 解答 当a 1时 f x 1化为 x 1 2 x 1 1 0 当x 1时 不等式化为x 4 0 无解 当x 1时 不等式化为 x 2 0 解得1 x 2 2 若f x 的图象与x轴围成的三角形面积大于6 求a的取值范围 解答 所以a的取值范围为 2 思维升华 解绝对值不等式的基本方法有 1 利用绝对值的定义 通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式 2 当不等式两端均为正号时 可通过两边平方的方法 转化为解不含绝对值符号的普通不等式 3 利用绝对值的几何意义 数形结合求解 跟踪训练1 1 解不等式 x 1 x 2 5的解集 解答 当x 2时 不等式等价于 x 1 x 2 5 解得x 3 当 2 x 1时 不等式等价于 x 1 x 2 5 即3 5 无解 当x 1时 不等式等价于x 1 x 2 5 解得x 2 综上 不等式的解集为 x x 3或x 2 ax 2 3 1 ax 5 解答 当a 0时 x r 与已知条件不符 题型二利用绝对值不等式求最值 例2 1 对任意x y r 求 x 1 x y 1 y 1 的最小值 解答 x y r x 1 x x 1 x 1 y 1 y 1 y 1 y 1 2 x 1 x y 1 y 1 1 2 3 x 1 x y 1 y 1 的最小值为3 2 对于实数x y 若 x 1 1 y 2 1 求 x 2y 1 的最大值 解答 x 2y 1 x 1 2 y 1 x 1 2 y 2 2 1 2 y 2 2 5 即 x 2y 1 的最大值为5 思维升华 求含绝对值的函数最值时 常用的方法有三种 1 利用绝对值的几何意义 2 利用绝对值三角不等式 即 a b a b a b 3 利用零点分区间法 跟踪训练2 1 2016 深圳模拟 若关于x的不等式 2014 x 2015 x d有解 求d的取值范围 2014 x 2015 x 2014 x 2015 x 1 关于x的不等式 2014 x 2015 x d有解时 d 1 解答 又 siny的最大值为1 有 a 2 1 解得a 1 3 解答 题型三绝对值不等式的综合应用 例3 2017 石家庄调研 设函数f x x 3 x 1 x r 1 解不等式f x 1 解答 函数f x x 3 x 1 2 设函数g x x a 4 且g x f x 在x 2 2 上恒成立 求实数a的取值范围 解答 函数g x f x 在x 2 2 上恒成立 即 x a 4 x 3 x 1 在x 2 2 上恒成立 在同一个坐标系中画出函数f x 和g x 的图象 如图所示 故当x 2 2 时 若0 a 4时 则函数g x 在函数f x 的图象的下方 g x f x 在x 2 2 上恒成立 求得 4 a 0 故所求的实数a的取值范围为 4 0 思维升华 1 解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值 化为分段函数来解决 2 数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法 跟踪训练3已知函数f x x a x 2 解答 1 当a 3时 求不等式f x 3的解集 当x 2时 由f x 3得 2x 5 3 解得x 1 当2 x 3时 f x 3无解 当x 3时 由f x 3得2x 5 3 解得x 4 所以f x 3的解集为 x x 1或x 4 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范围 解答 f x x 4 x 4 x 2 x a 当x 1 2 时 x 4 x 2 x a 4 x 2 x x a 2 a x 2 a 由条件得 2 a 1且2 a 2 即 3 a 0 故满足条件的a的取值范围为 3 0 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 在实数范围内 求不等式 x 2 1 1的解集 解答 由 x 2 1 1得 1 x 2 1 1 不等式的解集为 0 4 2 不等式log3 x 4 x 5 a对于一切x r恒成立 求实数a的取值范围 解答 由绝对值的几何意义知 x 4 x 5 9 则log3 x 4 x 5 2 所以要使不等式log3 x 4 x 5 a对于一切x r恒成立 则需a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 对于任意实数a b 已知 a b 1 2a 1 1 且恒有 4a 3b 2 m 求实数m的取值范围 解答 因为 a b 1 2a 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即 4a 3b 2 的最大值为6 所以m 4a 3b 2 max 6 由题意 可得不等式 x 3 x 7 m 0恒成立 即 x 3 x 7 min m 由于x轴上的点到点 3 0 和点 7 0 的距离之和的最小值为4 所以要使不等式恒成立 则m 4 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 已知f x x 3 g x x 7 m 若函数f x 的图象恒在函数g x 图象的上方 求m的取值范围 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即 2x y 4 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 已知关于x的不等式 2x m 1的整数解有且仅有一个值为2 求关于x的不等式 x 1 x 3 m的解集 解答 不等式的整数解为2 再由不等式仅有一个整数解2 m 4 本题即解不等式 x 1 x 3 4 当x 1时 不等式等价于1 x 3 x 4 解得x 0 不等式解集为 x x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当1 x 3时 不等式等价于x 1 3 x 4 当x 3时 不等式等价于x 1 x 3 4 解得x 4 不等式解集为 x x 4 综上 原不等式解集为 0 4 解得x 不等式解集为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 已知函数f x x 1 2x 3 1 在图中画出y f x 的图象 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y f x 的图象如图所示 2 求不等式 f x 1的解集 解答 由f x 的表达式及图象 当f x 1时 可得x 1或x 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 已知函数f x x 3 x 2 1 求不等式f x 3的解集 f x x 3 x 2 3 当x 2时 有x 3 x 2 3 解得x 2 当x 3时 x 3 x 2 3 解得x 当 3 x 2时 有2x 1 3 解得1 x 2 综上 f x 3的解集为 x x 1 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 若f x a 4 有解 求a的取值范围 由绝对值不等式的性质可得 x 3 x 2 x 3 x 2 5 则有 5 x 3 x 2 5 若f x a 4 有解 则 a 4 5 解得 1 a 9 所以a的取值范围是 1 9 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 2016 全国丙卷 已知函数f x 2x a a 1 当a 2时 求不等式f x 6的解集 当a 2时 f x 2x 2 2 解不等式 2x 2 2 6得 1 x 3 因此f x 6的解集为 x 1 x 3 解答 2 设函数g x 2x 1 当x r时 f x g x 3 求a的取值范围 当x r时 f x g x 2x a a 1 2x 2x a 1 2x a 1 a a 所以当x r时 f x g x 3等价于 1 a a 3 当a 1时 等价于1 a a 3 无解 当a 1时 等价于a 1 a 3 解得a 2 所以a的取值范围是 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 已知函数f x 2x 1 2x a g x x 3 1 当a 2时