高中数学 第一章 三角函数 1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义课件2 北师大版必修4.ppt

1 4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式1 4 1单位圆与任意角的正弦函数 余弦函数的定义 知识提炼 1 单位圆中任意角的正弦函数 余弦函数 v u 全体实数 全体实数 2 任意角的正弦函数 余弦函数 1 前提 设角 的顶点是坐标系的原点 始边与x轴的非负半轴重合 角 终边上任一点q x y 2 结论 oq的长度为 3 任意角的正 余弦三角函数 1 前提 用x表示自变量 即x 的大小 用y表示函数值 2 结论 任意角的正 余弦三角函数可以表示为y sinx和y cosx 它们的定义域为 表示角 全体实数 即时小测 1 思考下列问题 1 正弦函数 余弦函数的定义是否适用于单位圆与坐标轴的交点 提示 适用 如单位圆与y轴交点的坐标为 0 1 则可得到sin90 1 cos90 0 2 利用角 终边上的点表示正弦 余弦时 与所取点的位置是否有关 提示 没有关系 根据三角形相似的知识 2 在直角坐标系xoy中 点a是单位圆o与x轴正半轴的交点 射线op交单位圆o于点p 若 aop 则点p的坐标是 a cos sin b cos sin c sin cos d sin cos 解析 选a 由正余弦函数在单位圆中的定义知点p的坐标是 cos sin 3 已知角 终边经过点 1 则角 的最小正值是 解析 所以 的最小正值为 答案 4 当角 0时 sin 若角 3 则sin 的符号为 填 正 或 负 解析 当角 0时 sin 0 若角 3 则角 是第三象限角 所以sin 0 答案 0负 知识探究 知识点正余弦函数的定义及其应用观察图形 回答下列问题 问题1 任意角三角函数的自变量和函数值分别是什么 问题2 知道某角终边任意一点的坐标 是否可以计算该角的三角函数值 总结提升 1 任意角三角函数的定义 1 单位圆中的定义任意角的三角函数y sinx y cosx都是以角为自变量 以单位圆上的点的坐标为函数值的函数 可从以下两个方面理解 角 弧度数 实数 对于每一个确定的角x 其终边位置是唯一确定的 与单位圆的交点p u v 也是唯一确定的 因此角x的正弦 或余弦 函数值是唯一确定的 2 利用角终边上的点定义 利用角终边上的任意点定义正 余弦函数 正 余弦值的大小与点的位置无关 要求正余弦值需要明确点的坐标 点与角顶点的距离 3 任意角的三角函数的概念与锐角三角函数的概念的实质是一样的 锐角三角函数是任意角三角函数的特例 任意角的三角函数是锐角三角函数的推广 2 对正弦 余弦函数在各象限的符号的两点说明 1 根据正弦 余弦函数的定义可知 正弦 余弦函数在各象限的符号是由该角终边上任意一点的坐标的符号确定的 横坐标的正负确定余弦函数的符号 纵坐标的正负确定正弦函数的符号 2 判断符号 可直接应用角所在的象限进行判断 题型探究 类型一任意角的正弦函数 余弦函数 典例 1 2015 汉中高一检测 已知角 与单位圆的一个交点坐标是则cos 等于 d 不确定 2 2015 临川高一检测 已知点p 8 6 是角终边上一点 则2sin cos 的值等于 解题探究 1 角 与单位圆的交点与原点的距离是多少 提示 单位圆的半径是1 故角 与单位圆的交点与原点的距离是1 2 已知角终边上的一个点 怎样求正 余弦函数 提示 先求该点到角顶点的距离r 再利用sin cos 求值 解析 1 选d 因为故cos 2 选d 因为故故2sin cos 方法技巧 利用三角函数的定义求值的策略 1 已知角 的终边在直线上求 的三角函数值时 常用的解题方法有以下两种 方法一 先利用直线与单位圆相交 求出交点坐标 然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值 方法二 注意到角的终边为射线 所以应分两种情况来处理 取射线上任一点坐标 a b 则对应角的正弦值sin 余弦值cos 2 当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时 要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论 变式训练 2015 聊城高一检测 已知角 的终边上一点的坐标为则角 的正弦值为 解析 选a 因为点的坐标为则该点在单位圆上 故 的正弦值为 类型二正 余弦函数的符号应用 典例 1 如果 sinx sinx 那么角x的取值集合是 2 2015 西安高一检测 已知角 是第二象限角 则点p sin cos 在第 象限 解题探究 1 典例1中 sinx的符号是什么 角x的终边所在区域是什么 提示 sinx 0 角x的终边在第一 二象限或y轴的非负半轴上 2 正余弦函数在各个象限的符号是怎样的 提示 正弦函数在一 二象限内是正的 在三 四象限为负的 余弦函数在第一 四象限为正的 在第二 三象限为负的 解析 1 因为 sinx sinx 所以sinx 0 所以角x的终边在第一 二象限或y轴的非负半轴上 所以2k x 2k k z 角x的取值集合是 x 2k x 2k k z 答案 x 2k x 2k k z 2 因为角 是第二象限角 则sin 0 cos 0 故点p在第四象限 答案 四 延伸探究 1 变换条件 典例2中条件改为若角 在第四象限 则判断点p在第几象限 解析 因为角 是第四象限角 则sin 0 故点p在第二象限 2 变换条件 典例2中条件改为若sin cos 0 则判断角 在第几象限 解析 若sin cos 0 则sin 0 cos 0或sin 0 cos 0 故角 为第一或第三象限角 方法技巧 正余弦函数符号的确定 1 终边在坐标轴上的角终边在坐标轴上的角可以利用单位圆 如终边在x轴负半轴上的角与单位圆的交点为 1 0 故sin 0 cos 0 2 终边在各个象限的角终边在各个象限的角的符号规律 只记住为正值的即可 一象全 二正弦 四余弦 补偿训练 2015 新余高一检测 如果点p sin cos 2cos 位于第三象限 那么角 所在的象限是 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 选b 由得sin 0 cos 0 故角 位于第二象限 易错案例正 余弦函数定义的应用 典例 2015 泉州高一检测 已知角 的终边经过点p m 4 且cos 则m等于 失误案例 错解分析 分析上面的解析过程 你知道错在哪里吗 提示 出错的根本原因是未利用余弦函数小于零确定角所在的象限 从而无法确定m的符号 自我矫正 选d 因为cos 0 所以 为第二象限或第三象限的角 又由角 的终边经过点p m 4 故 为第二象限的角 即m 0 则cos 解得m 3