高中数学 第一章 三角函数学案 苏教版必修4.doc

第一章 三角函数学案1三角函数的概念重点掌握以下两方面内容：理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速进行弧度与角度的换算掌握任意的角的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域2同角三角函数的基本关系式能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒等式的证明；能逆用公式sin2 cos21巧妙解题3诱导公式能用公式一至公式六将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的4三角函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域rr(k，k)(kz)值域1,11,1(，)最值x2k(kz)时，ymax1；x2k(kz)时，ymin1x2k(kz)时，ymax1；x2k(kz)时，ymin1无最大、最小值周期性周期t2k(kz)周期t2k(kz)周期tk(kz)奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2k，2k(kz)上是增函数；在2k，2k(kz)上是减函数在2k，2k(kz)上是增函数；在2k，2k(kz)上是减函数在(k，k)(kz)上是增函数对称性轴对称图形，对称轴方程是xk，kz；中心对称图形，对称中心(k，0)(kz)轴对称图形，对称轴方程是xk，kz；中心对称图形，对称中心(k，0)(kz)中心对称图形，对称中心(kz)5.三角函数的图象与性质的应用(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图象的变换，能从图象中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等能从三角函数的图象归纳出函数的性质(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答题型一任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求与三角函数有关的定义域例1求函数y 的定义域解由题意知即如图，结合三角函数线知：解得2kx2k(kz)，函数的定义域为.跟踪演练1设f(x).(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值解(1)由12sin x0，根据正弦函数图象知：定义域为x|2kx2k，kz(2)1sin x1，112sin x3，12sin x0，012sin x3，f(x)的值域为0，当x2k，kz时，f(x)取得最大值题型二同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式sin2 cos21及tan ，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法，如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用(2)诱导公式可概括为k(kz)的各三角函数值的化简公式记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变符号看象限是指把看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号例2已知4，求(sin 3cos )(cos sin )的值解方法一由已知4，2tan 4(1tan )，解得tan 2.(sin 3cos )(cos sin )4sin cos sin2 3cos2.方法二由已知4，解得tan 2.即2，sin 2cos .(sin 3cos )(cos sin )(2cos 3cos )(cos 2cos )cos2.跟踪演练2已知是三角形的内角，且sin cos .(1)求tan 的值；(2)把用tan 表示出来，并求其值解(1)方法一联立方程由得cos sin ，将其代入，整理得25sin2 5sin 120.是三角形内角，sin 0，tan .方法二sin cos ，(sin cos )22，即12sin cos ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1.sin cos 0且0，sin 0，cos 0，sin cos 0，sin cos ，由得tan .(2)，tan ，.题型三三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质具体要求：(1)用“五点法”作yasin (x)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令x0，2.(2)对于yasin (x)b的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别(3)由已知函数图象求函数yasin (x)(a0，0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定a，由周期确定，由适合解析式的点的坐标来确定，但由图象求得的yasin (x)(a0，0)的解析式一般不是唯一的，只有限定的取值范围，才能得出唯一的解，否则的值不确定，解析式也就不唯一例3已知函数f(x)asin(x)(a0，0)在一个周期内的图象如图(1)求yf(x)的解析式；(2)若函数yg(x)与yf(x)的图象关于直线x2对称，求yg(x)的解析式解(1)由题意，知a2，t7(1)8，故.图象过点(1,0)，0.所求的函数解析式为f(x)2sin.(2)g(x)与f(x)的图象关于直线x2对称，g(x)的图象是由f(x)沿x轴平移得到的，找出f(x)上的点(1,2)关于直线x2的对称点(3,2)，代入g(x)2sin得，g(x)的解析式为g(x)2sin.跟踪演练3若0xsin x；2xsin x；2xsin x；与x的取值有关答案解析在同一坐标平面内作出函数y2x与函数ysin x的图象，如图所示观察图象易知：当x0时，2xsin x0；当x时，2xsin x；当x时，函数y2x是直线段，而曲线ysin x是上凸的所以2xf(cos )证明f(x2)f(x)，yf(x)的周期为2.f(x)在1,0与3，2上的单调性相同f(x)在1,0上单调递减f(x)是偶函数，f(x)在0,1上的单调性与1,0上的单调性相反f(x)在0,1上单调递增，是锐角三角形的两个内角，且，.又ysin x在上单调递增，sin sincos ，即sin cos .由，得f(sin )f(cos )跟踪演练4已知a0，函数f(x)2asin(2x)2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间解(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得a2，b5，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kz，其中当2k2x2k，kz时，g(x)单调递增，即kxk，kz，g(x)的单调增区间为，kz.又当2k2x2k，kz时，g(x)单调递减，即kxk