高中数学 3.3.1几何概型练习 新人教A版必修3.doc

【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.3.1几何概型练习 新人教a版必修3基础巩固一、选择题1如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位1)，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖小明希望中奖，则应选择的游戏盘是()答案a解析p(a)，p(b)，p(c)1，p(d).则p(a)最大，故选a.2.如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是()a.b.c. d.答案b解析设事件a小鸡正在正方形的内切圆中，则事件a的几何区域为内切圆的面积sr2(2r为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得p(a)，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为.3在正方体abcda1b1c1d1内随机取点则该点落在三棱锥a1abc内的概率是()a. b.c. d.答案b解析体积型几何概型问题p.4.如图，在一个边长为a、b(ab0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为()a. b.c. d.答案c解析s矩形ab.s梯形bab.故所投的点落在梯形内部的概率为p.5(2015山东济南模拟)在区间0,1内任取两个数，则这两个数的平方和也在0,1内的概率是()a. b.c. d.答案a解析设在0,1内取出的数为a，b，若a2b2也在0,1内，则有0a2b21.如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a2b2在0,1内的点在单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为.6在面积s为abc的边ab上任取一点p，则pbc的面积大于的概率是()a. b.c. d.答案c解析如图，设点c到边ab的距离为h，则sabc|ab|h，spbc|pb|h.又因为spbcsabc，所以|pb|ab|，故pbc的面积大于的概率是.二、填空题7(2013福建)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_分析解不等式，求出a的取值范围，算出此范围与所给区间的比值即可答案解析由题意，得0a，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a10”发生的概率为.8一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体的6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”那么小蜜蜂“安全飞行”的概率为_答案解析棱长为3的正方体的体积为33327，若小蜜蜂“安全飞行”，则需控制在以原正方体的中心为中心的棱长为1的小正方体内部，故小蜜蜂飞行区域的体积为1111.根据几何概型的概率公式，可得小蜜蜂“安全飞行”的概率为.三、解答题9一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯解析在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型(1)p；(2)p；(3)p.10一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m、宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率分析海豚在水中自由游弋，它的嘴尖在水池中的位置有无限多个，并且每个位置都是等可能的，满足几何概型的条件，本题可先求出所求事件对应部分面积及整个区域面积，再利用几何概型概率公式求解解析如下图，该区域是长30 m、宽20 m的长方形图中阴影部分表示事件a：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率，由于该区域的面积为3020600(m2)，阴影部分的面积为30202616184(m2)，所以p(a)0.31.点评解决此类题的关键：(1)根据题意确定是与面积(体积)有关的几何概型；(2)找出或构造出对应的几何图形，求出面积(体积)能力提升一、选择题1(2015东曲阜师大附中月考)在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为()a. b.c. d.答案b解析该点到此三角形的直角顶点的距离小于1，则此点落在以直角顶点为圆心，1为半径的圆内，所以所求的概率为.2(2015虹宁大连质检)一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为()a.b1c1d1答案b解析作出满足题意的区域如右图，则由几何概型的知识得，所求概率p1.3某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为()a16 mb20 mc8 md10 m答案b解析物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件找到的概率为，即掉到河里的概率为，则河流的宽度占总距离的，所以河宽为50020(m)4(2014湖北，理7)由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为()a. b.c. d.答案d解析如图，由题意知平面区域1的面积s1saom222.1与2的公共区域为阴影部分，面积s阴s1sabc21.由几何概型得该点恰好落在2内的概率p.故选d.二、填空题5一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为_答案解析如图所示，abc中，ab3，ac4，bc5，则abc的周长为34512.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件a，则p(a).6在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图在球内任取一点p，则点p落在剩余几何体上的概率为_答案解析由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径r5，圆柱底面半径r4，高h6，故球体积vr3，圆柱体积v1r2h96，所求概率p.三、解答题7(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长的概率是多少？解析(1)设事件a“弦长超过”，弦长只与它跟圆心的距离有关，弦垂直于直径，当且仅当它与圆心的距离小于时才能满足条件，由几何概率公式知p(a).(2)设事件b“弦长超过”，弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点在半径为的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知p(b).(3)设事件c“弦长超过”，固定一点a于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形abc，显然只有当弦的另一端点d落在上时，才有|ad|ab|，由几何概率公式知p(c).8(2015江西南昌摸底)两人约定在20时到21时之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率探究两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即小时，设两人分别于(20x)时和(20y)时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，则有xy，因此转化成与面积有关的几何概型问题，利用几何概型概率公式求解解析设两人分别于(20x)时和(20y)