高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理（2）课件 新人教A版必修5(1).ppt

余弦定理 二 一 余弦定理1 三角形任何一边的平方等于 即a2 b2 c2 2 余弦定理的推论 cosa cosb cosc 3 余弦定理与勾股定理 1 勾股定理是余弦定理的特殊情况 在余弦定理表达式中令a 90 则a2 b2 c2 令b 90 则b2 a2 c2 令c 90 则c2 a2 b2 2 在 abc中 若a2b2 c2 则a为 角 反之亦成立 二 余弦定理的应用利用余弦定理可以解决两类斜三角形问题 1 已知三边 求 2 已知两边和它们的夹角 求 和 友情提示 理解应用余弦定理应注意以下四点 1 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律 是解三角形的重要工具 2 余弦定理是 的推广 勾股定理是 的特例 3 在余弦定理中 每一个等式均含有四个量 利用方程的观点 可以 4 运用余弦定理时 因为已知三边求 或已知两边及夹角求 由三角形全等的判定定理知 三角形是确定的 所以解也是唯一的 在解三角形时 选择正弦定理和余弦定理的标准是什么 在没有学习余弦定理之前 还会解三角形 但是学习了余弦定理后 就不会解三角形了 不知是用正弦定理还是用余弦定理 这时要依据正弦定理和余弦定理的适用范围来选择 还要依靠经验的积累 根据解题经验 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时 通常选择正弦定理来解三角形 已知两边及夹角或已知三边时 通常选择余弦定理来解三角形 特别是求角时 尽量用余弦定理来求 其原因是三角形中角的范围是 0 在此范围内同一个正弦值一般对应两个角 一个锐角和一个钝角 用正弦定理求出角的正弦值后 还需要分类讨论这两个角是否都满足题意 但是在 0 内一个余弦值仅对应一个角 用余弦定理求出的是角的余弦值 可以避免分类讨论 先用余弦定理求出第三边长 进而用余弦定理或正弦定理求出其他两个角 例2 在 abc中 已知a 2 b c 15 求角a b和边c的值 变式训练2 如图 已知ad为 abc的内角 bac的平分线 ab 3 ac 5 bac 120 求ad的长 分析 由余弦定理可解三角形abc 求出bc长度 由三角形内角平分线定理可求出bd长 再解 abd即可求出ad长 解析 在 abc中 由余弦定理 bc2 ab2 ac2 2ab ac cos bac 32 52 2 3 5 cos120 49 bc 7 设bd x 则dc 7 x 由内角平分线定理 在 abd中 设ad y 由余弦定理 bd2 ab2 ad2 2ab ad cos bad 例3 在 abc中 a cosa b cosb 试确定此三角形的形状 当a b时 abc为等腰三角形 当c2 a2 b2时 abc为直角三角形 abc为等腰三角形或直角三角形 解法2 由a cosa b cosb以及正弦定理得2r sina cosa 2r sinb cosb 即sin2a sin2b 又 a b 0 2a 2b 0 2 故有2a 2b或2a 2b 即a b或a b abc为等腰三角形或直角三角形 变式训练3 2010 辽宁卷 在 abc中 a b c分别是a b c的对边 且2asina 2b c sinb 2c b sinc 1 求a的大小 2 若sinb sinc 1 试判断 abc的形状 例4 数学与日常生活 如图 某市三个新兴工业小区a b c决定平均投资共同建一个中心医院o 使得医院到三个小区的距离相等 已知这三个小区之间的距离分别为ab 4 3km bc 3 7km ac 4 7km 问该医院应建在何处 精确到0 1km或1 分析 实际问题的解决 应