三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第十一章 概率 11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差课件.ppt

11 2离散型随机变量及其分布列 均值与方差 1 离散型随机变量的分布列 均值与方差 1 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示 那么这样的变量叫做随机变量 如果随机变量可以按一定次序一一列出 这样的随机变量叫做离散型随机变量 2 设离散型随机变量x可能取的不同值为x1 x2 xn x取每一个值xi i 1 2 n 的概率p x xi pi 则称表 为随机变量x的概率分布列 也可用等式p x xi pi i 1 2 n表示x的分布列 其具有性质 3 若离散型随机变量x的分布列为上表 则称 为随机变量x的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 称d x xi e x 2pi i 1 2 n 为随机变量x的方差 它反映了随机变量x与其均值e x 的平均偏离程度 并称为随机变量x 的标准差 pi 0 i 1 2 n p1 p2 pn 1 e x x1p1 x2p2 xnpn c 3 条件概率及其性质 1 对于任何两个事件a b 在已知事件a发生的条件下 事件b发生的概率叫做条件概率 用符号p b a 表示 其计算公式为p b a 在古典概型中 若用n a 表示事件a的基本事件的个数 则p b a 2 条件概率的性质 i 0 p b a 1 ii 如果b c为两个互斥事件 则p b c a p b a p c a 2 离散型随机变量的均值与方差的性质 e ax b ae x b d ax b a2d x c c 4 相互独立事件 1 对于两个事件a b 若a的发生与b的发生互不影响 则称事件a与事件b相互独立 2 如果事件a与b相互独立 则a与 与b 与也都相互独立 3 如果事件a与b相互独立 则p b a p b p ab p a p b a 反之 若p ab p a p b 则事件a与b相互独立 p a p b 5 两点分布若一次试验中只有两个结果 且随机变量x的分布列具有下表的形式 则称x服从两点分布 6 独立重复试验与二项分布 1 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的 各次之间相互独立的一种试验 在这样的试验中每一次试验只有两种结果 即要么发生 要么不发生 且任何一次试验中发生的概率是一样的 2 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中 用k表示事件a发生的次数 设每次试验中事件a发生的概率为p x k pk 1 p n k k 0 1 2 n 此时称随机变量x服从二项分布 记作x b n p 其中p为成功概率 c 7 两点分布与二项分布的均值 方差 1 若x服从两点分布 则e x p d x p 1 p 2 若x b n p 则e x d x np np 1 p 1 周老师上数学课时 给班里同学出了两道选择题 她预估做对第一道题的概率为0 80 做对两道题的概率为0 60 则预估做对第二道题的概率是 a 0 80b 0 75c 0 60d 0 48答案b设 做对第一道题 为事件a 做对第二道题 为事件b 则p ab p a p b 0 8 p b 0 6 故p b 0 75 故选b c 2 设 是服从二项分布b n p 的随机变量 又e 15 d 则n与p的值分别为 a 60 b 60 c 50 d 50 答案b由 b n p 得e np 15 d np 1 p 则p n 60 c 3 把一枚硬币任意抛掷三次 事件a 至少有一次出现反面 事件b 恰有一次出现正面 则p b a a b c d 答案a依题意得p a 1 p ab 因此p b a 故选a 4 已知随机变量2 8 若 b 10 0 6 则e d 分别是 答案 4 9 6解析因为 b 10 0 6 所以e 10 0 6 6 d 10 0 6 0 4 2 4 又2 8 所以e e 8 2 4 d d 8 2 9 6 c c 5 甲 乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量 其分布列分别为 若甲 乙两人的日产量相等 则甲 乙两人中技术较好的是 答案乙解析e 0 3 0 4 0 3 1 e 0 5 0 4 0 9 即甲出现的废品数的期望值较大 所以乙的技术较好 c 离散型随机变量及其分布列求离散型随机变量的分布列的基础是概率的计算 如古典概率 互斥事件的概率 相互独立事件同时发生的概率 n次独立重复试验有k次发生的概率 典例1 1 从装有3个红球 2个白球的袋中随机取出2个球 设其中有 个红球 补充完整随机变量 的概率分布列 2 2015陕西 19 12分 设某校新 老校区之间开车单程所需时间为t t只与道路畅通状况有关 对其容量为100的样本进行统计 结果如下 求t的分布列与数学期望et 刘教授驾车从老校区出发 前往新校区参加一个50分钟的讲座 结束后立即返回老校区 求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率 解析 1 0意味着从袋中取出的两球都是白球 所以p 0 0 1 同理有p 1 0 6 p 2 0 3 c 2 由统计结果可得t的频率分布列为 以频率估计概率得t的分布列为 解法一 p a p t1 t2 70 p t1 25 t2 45 p t1 30 t2 40 p t1 35 t2 35 p t1 40 t2 30 0 2 1 0 3 1 0 4 0 9 0 1 0 5 0 91 解法二 p p t1 t2 70 p t1 35 t2 40 p t1 40 t2 35 p t1 40 t2 40 0 4 0 1 0 1 0 4 0 1 0 1 0 09 故p a 1 p 0 91 从而et 25 0 2 30 0 3 35 0 4 40 0 1 32 设t1 t2分别表示往 返所需时间 t1 t2的取值相互独立 且与t的分布列相同 设事件a表示 刘教授共用时间不超过120分钟 由于讲座时间为50分钟 所以事件a对应于 刘教授在路途中的时间不超过70分钟 求离散型随机变量的分布列 首先要根据条件确定变量 的取值情况 然后利用排列 组合与概率的知识求出 取各个值对应的概率 要会根据分布列的两个性质检验所求分布列的正确性 1 1若随机变量 的分布列为 则当p x 0 8时 实数x的取值范围是 a x 2b 1 x 2c 1 x 2d 1 x 2答案c解析由随机变量 的分布列知 p 1 0 1 p 0 0 3 p 1 0 5 p 2 0 8 则当p x 0 8时 实数x的取值范围是1 x 2 c 答案解析由题知a b 1 且a 2b 得a b 所以a b 1 2 2015柳州模拟 随机变量x的分布列如下表 且e x 则a b c 条件概率 相互独立事件的概率典例2 1 2014课标 5 5分 某地区空气质量监测资料表明 一天的空气质量为优良的概率是0 75 连续两天为优良的概率是0 6 已知某天的空气质量为优良 则随后一天的空气质量为优良的概率是 a 0 8b 0 75c 0 6d 0 45 2 2014大纲全国 20 12分 设每个工作日甲 乙 丙 丁4人需使用某种设备的概率分别为0 6 0 5 0 5 0 4 各人是否需使用设备相互独立 求同一工作日至少3人需使用设备的概率 x表示同一工作日需使用设备的人数 求x的数学期望 解析 1 由条件概率可得所求概率为 0 8 故选a 2 记ai表示事件 同一工作日乙 丙中恰有i人需使用设备 i 0 1 2 b表示事件 甲需使用设备 c表示事件 丁需使用设备 d表示事件 同一工作日至少3人需使用设备 d a1 b c a2 b a2 c p b 0 6 p c 0 4 p ai 0 52 i 0 1 2 3分 所以p d p a1 b c a2 b a2 c p a1 b c p a2 b p a2 c p a1 p b p c p a2 p b p a2 p p c 答案 1 a 0 31 6分 x的可能取值为0 1 2 3 4 则p x 0 p a0 p p a0 p 1 0 6 0 52 1 0 4 0 06 p x 1 p b a0 a0 c a1 p b p a0 p p p a0 p c p p a1 p 0 6 0 52 1 0 4 1 0 6 0 52 0 4 1 0 6 2 0 52 1 0 4 0 25 p x 4 p a2 b c p a2 p b p c 0 52 0 6 0 4 0 06 p x 3 p d p x 4 0 25 p x 2 1 p x 0 p x 1 p x 3 p x 4 1 0 06 0 25 0 25 0 06 0 38 10分 数学期望ex 0 p x 0 1 p x 1 2 p x 2 3 p x 3 4 p x 4 0 25 2 0 38 3 0 25 4 0 06 2 12分 在解决条件概率问题时 要先判断是否属于条件概率问题 掌握条件概率的两种求法 1 利用定义 分别求出p a p ab 则p b a 2 借助古典概型概率公式求 先求事件a的基本事件的个数n a 再求事件a发生的条件下事件b包含的基本事件数n ab 则p b a 2 1 2015吉林质量监测 在6道题中有3道理综题和3道文综题 如果不放回地依次抽取2道题 则 在第1次抽到理综题的条件下 第2次抽到文综题 的概率为 a b c d 答案d解析在第1次抽到理综题的条件下 依次抽取2道题 共有3 5 15种抽法 其中第2次抽到文综题的情况共有3 3 9种 故所求概率p 故选d c 立 则该同学通过测试的概率为 a 0 648b 0 432c 0 36d 0 312答案a解析该同学通过测试的概率p 0 62 0 4 0 63 0 432 0 216 0 648 故选a 2 2 2015课标 4 5分 投篮测试中 每人投3次 至少投中2次才能通过测试 已知某同学每次投篮投中的概率为0 6 且各次投篮是否投中相互独 c 离散型随机变量的均值与方差典例3 1 设随机变量 的概率分布为p k pk 1 p 1 k k 0 1 则e d 的值分别是 a 0和1b p和p2c p和1 pd p和p 1 p 2 2014四川 17 12分 一款击鼓小游戏的规则如下 每盘游戏都需击鼓三次 每次击鼓要么出现一次音乐 要么不出现音乐 每盘游戏击鼓三次后 出现一次音乐获得10分 出现两次音乐获得20分 出现三次音乐获得100分 没有出现音乐则扣除200分 即获得 200分 设每次击鼓出现音乐的概率为 且各次击鼓出现音乐相互独立 设每盘游戏获得的分数为x 求x的分布列 玩三盘游戏 至少有一盘出现音乐的概率是多少 玩过这款游戏的许多人都发现 若干盘游戏后 与最初的分数相比 分数没有增加反而减少了 请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因 答案 1 d解析 1 随机变量 的概率分布为p k pk 1 p 1 k k 0 1 则p 0 1 p p 1 p e 0 1 p 1 p p d 0 p 2 1 p 1 p 2 p p 1 p 故选d 2 x可能的取值为10 20 100 200 根据题意 有p x 10 p x 20 c p x 100 p x 200 所以x的分布列为 设 第i盘游戏没有出现音乐 为事件ai i 1 2 3 则p a1 p a2 p a3 p x 200 所以 三盘游戏中至少有一次出现音乐 的概率为1 p a1a2a3 1 1 因此 玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 x的数学期望为ex 10 20 100 200 这表明 获得的分数x的均值为负 因此 多次游戏之后分数减少的可能性更大 求离散型随机变量期望与方差的方法 1 已知随机变量的分布列求期望与方差 可直接利用定义 公式 求解 2 已知 的期望与方差 求 的线性函数 a b的期望与方差 可用期望 方差的性质求解 3 如果变量服从常见的分布 两点分布 二项分布 则可直接利用公式求解 3 1若x b n p 且ex 6 dx 3 则p x 1 的值为 a 3 2 2b 2 4c 3 2 10d 2 8答案c解析 ex np 6 dx