高考数学一轮复习 第十一章 统计与概率 11.2 用样本估计总体课件 理.ppt

11 2用样本估计总体 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 作频率分布直方图的步骤 知识梳理 1 求极差 即一组数据中与的差 2 决定与 3 将数据 4 列 5 画 最大值 最小值 组距 组数 分组 频率分布表 频率分布直方图 2 频率分布折线图和总体密度曲线 1 频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形上端的 就得到频率分布折线图 2 总体密度曲线 随着样本容量的增加 作图时所分的增加 减小 相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线 统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线 中点 组距 组数 3 茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图 茎是指中间的一列数 叶就是从茎的旁边生长出来的数 4 标准差和方差 1 标准差是样本数据到平均数的一种 2 标准差 平均距离 1 频率分布直方图的特点 1 频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距 纵坐标表示 频率 组距 2 频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1 因为在频率分布直方图中组距是一个固定值 所以各小长方形高的比也就是频率比 3 频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式 前者准确 后者直观 2 平均数 方差的公式推广 1 若数据x1 x2 xn的平均数为 那么mx1 a mx2 a mx3 a mxn a的平均数是m a 2 数据x1 x2 xn的方差为s2 数据x1 a x2 a xn a的方差也为s2 数据ax1 ax2 axn的方差为a2s2 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平均数 众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 2 一组数据的众数可以是一个或几个 那么中位数也具有相同的结论 3 从频率分布直方图得不出原始的数据内容 把数据表示成直方图后 原有的具体数据信息就被抹掉了 4 茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写 右侧的叶按从小到大的顺序写 相同的数据可以只记一次 5 在频率分布直方图中 最高的小长方形底边中点的横坐标是众数 6 在频率分布直方图中 众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的 考点自测 1 教材改编 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示 则这组数据的中位数和平均数分别是 答案 解析 a 91 5和91 5b 91 5和92c 91和91 5d 92和92 这组数据由小到大排列为87 89 90 91 92 93 94 96 2 2015 陕西 某中学初中部共有110名教师 高中部共有150名教师 其性别比例如图所示 则该校女教师的人数为 答案 解析 a 93b 123c 137d 167 由题干扇形统计图可得该校女教师人数为110 70 150 1 60 137 故选c 3 2016 四川宜宾模拟 若数据x1 x2 x3 xn的平均数为 5 方差s2 2 则数据3x1 1 3x2 1 3x3 1 3xn 1的平均数和方差分别为 答案 解析 a 5 2b 16 2c 16 18d 16 9 x1 x2 x3 xn的平均数为5 x1 x2 x3 xn的方差为2 3x1 1 3x2 1 3x3 1 3xn 1的方差是32 2 18 4 2016 江苏 已知一组数据4 7 4 8 5 1 5 4 5 5 则该组数据的方差是 答案 解析 0 1 5 为了了解一片经济林的生长情况 随机抽测了其中60株树木的底部周长 单位 cm 所得数据均在区间 80 130 上 其频率分布直方图如图所示 则在抽测的60株树木中 有 株树木的底部周长小于100cm 答案 解析 24 底部周长在 80 90 的频率为0 015 10 0 15 样本容量为60 所以树木的底部周长小于100cm的株数为 0 15 0 25 60 24 底部周长在 90 100 的频率为0 025 10 0 25 题型分类深度剖析 题型一频率分布直方图的绘制与应用 例1 2016 北京 某市居民用水拟实行阶梯水价 每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元 立方米收费 超出w立方米的部分按10元 立方米收费 从该市随机调查了10000位居民 获得了他们某月的用水量数据 整理得到如下频率分布直方图 1 如果w为整数 那么根据此次调查 为使80 以上居民在该月的用水价格为4元 立方米 w至少定为多少 解答 如图所示 用水量在 0 5 3 的频率的和为 0 2 0 3 0 4 0 5 0 3 0 5 0 85 用水量小于等于3立方米的频率为0 85 又w为整数 为使80 以上的居民在该月的用水价格为4元 立方米 w至少定为3 2 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替 当w 3时 估计该市居民该月的人均水费 解答 当w 3时 该市居民该月的人均水费估计为 0 1 1 0 15 1 5 0 2 2 0 25 2 5 0 15 3 4 0 15 3 4 0 05 3 5 3 0 05 4 3 0 05 4 5 3 10 7 2 1 8 1 5 10 5 元 即该市居民该月的人均水费估计为10 5元 1 明确频率分布直方图的意义 即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率 所有小矩形的面积和为1 2 对于统计图表类题目 最重要的是认真观察图表 从中提炼有用的信息和数据 思维升华 跟踪训练1 2015 课标全国 某公司为了解用户对其产品的满意度 从a b两地区分别随机调查了40个用户 根据用户对产品的满意度评分 得到a地区用户满意度评分的频率分布直方图和b地区用户满意度评分的频数分布表 a地区用户满意度评分的频率分布直方图 图 b地区用户满意度评分的频数分布表 b地区用户满意度评分的频率分布直方图 图 1 在图 中作出b地区用户满意度评分的频率分布直方图 并通过直方图比较两地区满意度评分的平均数及分散程度 不要求计算出具体值 给出结论即可 解答 如图所示通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出 b地区用户满意度评分的平均数高于a地区用户满意度评分的平均数 b地区用户满意度评分比较集中 而a地区用户满意度评分比较分散 2 根据用户满意度评分 将用户的满意度分为三个等级 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大 说明理由 a地区用户的满意度等级为不满意的概率大 记ca表示事件 a地区用户的满意度等级为不满意 cb表示事件 b地区用户的满意度等级为不满意 由直方图得p ca 的估计值为 0 01 0 02 0 03 10 0 6 p cb 的估计值为 0 005 0 02 10 0 25 所以a地区用户的满意度等级为不满意的概率大 解答 题型二茎叶图的应用 例2 1 2015 山东 为比较甲 乙两地某月14时的气温情况 随机选取该月中的5天 将这5天中14时的气温数据 单位 制成如图所示的茎叶图 考虑以下结论 甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温 甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温 甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差 甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为a b c d 答案 解析 甲地5天的气温为26 28 29 31 31 乙地5天的气温为28 29 30 31 32 2 以下茎叶图记录了甲 乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩 单位 分 已知甲组数据的中位数为15 乙组数据的平均数为16 8 则x y的值分别为a 2 5b 5 5c 5 8d 8 8 答案 解析 由茎叶图及已知得x 5 又乙组数据的平均数为16 8 引申探究1 本例 2 中条件不变 试比较甲 乙两组哪组成绩较好 解答 由原题可知x 5 而乙组平均数为16 8 所以甲组成绩较好 2 在本例 2 条件下 求乙组数据的中位数 众数 解答 由茎叶图知 乙组中五名学生的成绩为9 15 18 18 24 故中位数为18 众数为18 求乙组数据的方差 解答 茎叶图的优缺点由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况 这一点同频率分布直方图类似 它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据 没有任何信息损失 第二点是茎叶图便于记录和表示 其缺点是当样本容量较大时 作图较烦琐 思维升华 跟踪训练2 1 某学校随机抽取20个班 调查各班中有网上购物经历的人数 所得数据的茎叶图如图所示 以组距为5将数据分组成 0 5 5 10 30 35 35 40 时 所作的频率分布直方图是 由于频率分布直方图的组距为5 排除c d 又 0 5 5 10 两组各一人 排除b 应选a 答案 解析 2 将某选手的9个得分去掉1个最高分 去掉1个最低分 7个剩余分数的平均分为91 现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊 无法辨认 在图中以x表示 则7个剩余分数的方差为 答案 解析 题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征 例3 1 抽样统计甲 乙两位射击运动员的5次训练成绩 单位 环 结果如下 答案 解析 则成绩较为稳定 方差较小 的那位运动员成绩的方差为 2 2 甲 乙二人参加某体育项目训练 近期的五次测试成绩得分情况如图 分别求出两人得分的平均数与方差 解答 由图象可得甲 乙两人五次测试的成绩分别为 甲 10分 13分 12分 14分 16分 乙 13分 14分 12分 12分 14分 根据图和上面算得的结果 对两人的训练成绩作出评价 解答 从折线图看 甲的成绩基本呈上升状态 而乙的成绩上下波动 可知甲的成绩在不断提高 而乙的成绩则无明显提高 平均数与方差都是重要的数字特征 是对总体的一种简明的描述 它们所反映的情况有着重要的实际意义 平均数 中位数 众数描述其集中趋势 方差和标准差描述其波动大小 思维升华 跟踪训练3 2016 全国乙卷 某公司计划购买1台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个200元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个500元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得以下柱状图 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数 y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用 单位 元 n表示购机的同时购买的易损零件数 1 若n 19 求y与x的函数解析式 解答 当x 19时 y 3800 当x 19时 y 3800 500 x 19 500 x 5700 所以y与x的函数解析式为 2 若要求 需更换的易损零件数不大于n 的频率不小于0 5 求n的最小值 解答 由柱状图知 需更换的零件数不大于18的频率为0 46 不大于19的频率为0 7 故n的最小值为19 3 假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件 或每台都购买20个易损零件 分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 以此作为决策依据 购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件 解答 若每台机器在购机的同时都购买19个易损零件 则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800元 20台的费用为4300元 10台的费用为4800元 因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件 则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000元 10台的费用为4500元 因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 比较两个平均数可知 购买1台机器的同时应购买19个易损零件 频率分布直方图是高考考查的热点 考查频率很高 题型有选择题 填空题 也有解答题 难度为低中档 用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布 难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用 在计数和计算时一定要准确 在绘制小矩形时 宽窄要一致 通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计 频率分布直方图的纵坐标为频率 组距 每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率 条形图的纵坐标为频数或频率 把直方图视为条形图是常见的错误 高考中频率分布直方图的应用 审高频小考点9 考点分析 典例 12分 2016 四川 我国是世界上严重缺水的国家 某市为了制定合理的节水方案 对居民用水情况进行了调查 通过抽样 获得了某年100位居民每人的月均用水量 单位 吨 将数据按照 0 0 5 0 5 1 4 4 5 分成9组 制成了如图所示的频率分布直方图 1 求直方图中a的值 规范解答 由频率分布直方图可知 月均用水量在 0 0 5 的频率为0 08 0 5 0 04 同理 在 0 5 1 1 5 2 2 2 5 3 3 5 3 5 4 4 4 5 等组的频率分别为0 08 0 21 0 25 0 06 0 04 0 02 3分 由1 0 04 0 08 0 21 0 25 0 06 0 04 0 02 0 5 a 0 5 a 解得a 0 30 5分 2 设该市有30万居民 估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数 说明理由 规范解答 由 1 知 100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0 06 0 04 0 02 0 12 由以上样本的频率分布 可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000 0 12 36000 8分 3 估计居民月均用水量的中位数 规范解答 设中位数为x吨 因为前5组的频率之和为0 04 0 08 0 15 0 21 0 25 0 73 0 5 而前4组的频率之和为 0 04 0 08 0 15 0 21 0 48 0 5 所以2 x 2 5 由0 50 x 2 0 5 0 48 解得x 2 04 故可估计居民月均用水量的中位数为2 04吨 12分 课时作业 1 2017 铁岭月考 在某次测量中得到的a样本数据如下 42 43 46 52 42 50 若b样本数据恰好是a样本数据每个都减5后所得数据 则a b两样本的下列数字特征对应相同的是a 平均数b 标准差c 众数d 中位数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 由b样本数据恰好是a样本数据每个都减5后所得数据 可得平均数 众数 中位数分别是原来结果减去5 即与a样本不相同 标准差不变 故选b 2 2016 山东 某高校调查了200名学生每周的自习时间 单位 小时 制成了如图所示的频率分布直方图 其中自习时间的范围是 17 5 30 样本数据分组为 17 5 20 20 22 5 22 5 25 25 27 5 27 5 30 根据直方图 这200名学生中每周的自习时间不少于22 5小时的人数是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a 56b 60c 120d 140 设所求人数为n 则n 2 5 0 16 0 08 0 04 200 140 故选d 3 2017 北京西城区质检 下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量 单位 台 的茎叶图 则数据落在区间 22 30 内的频率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a 0 2b 0 4c 0 5d 0 6 10个数据落在区间 22 30 内的数据有22 22 27 29 共4个 4 2016 西安模拟 某公司10位员工的月工资 单位 元 为x1 x2 x10 其平均数和方差分别为和s2 若从下月起每位员工的月工资增加100元 则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a nmc n md 不能确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 2016 北京朝阳区期末 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处 现随机抽取其中的200辆进行车速统计 统计结果如下面的频率分布直方图所示 若该处高速公路规定正常行驶速度为90km h 120km h 试估计2000辆车中 在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a 30辆b 300辆c 170辆d 1700辆 以正常速度通过该处的汽车频率为1 0 01 0 005 10 0 85 所以以正常速度通过该处的汽车约有0 85 2000 1700 辆 7 样本中共有五个个体 其值分别为a 0 1 2 3 若该样本的平均数为1 则样本方差为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 2 由题意可知样本的平均数为1 解得a 1 所以样本的方差为 8 2015 湖北 某电子商务公司对10000名网络购物者在2014年度的消费情况进行统计 发现消费金额 单位 万元 都在区间 0 3 0 9 内 其频率分布直方图如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 直方图中的a 2 在这些购物者中 消费金额在区间 0 5 0 9 内的购物者的人数为 3 6000 答案 解析 由频率分布直方图及频率和等于1可得0 2 0 1 0 8 0 1 1 5 0 1 2 0 1 2 5 0 1 a 0 1 1 解得a 3 于是消费金额在区间 0 5 0 9 内的频率为0 2 0 1 0 8 0 1 2 0 1 3 0 1 0 6 所以消费金额在区间 0 5 0 9 内的购物者的人数为0 6 10000 6000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 若样本数据x1 x2 x10的标准差为8 则数据2x1 1 2x2 1 2x10 1的标准差为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 若x1 x2 xn的标准差为s 则ax1 b ax2 b axn b的标准差为as 由题意s 8 则上述标准差为2 8 16 10 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间 单位 分钟 并将所得数据绘制成频率分布直方图 如图 其中 上学所需时间的范围是 0 100 样本数据分组为 0 20 20 40 40 60 60 80 80 100 则 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 图中的x 0 0125 由频率分布直方图知20 x 1 20 0 025 0 0065 0 003 0 003 解得x 0 0125 2 若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿 则该校600名新生中估计有 名学生可以申请住宿 答案 解析 上学时间不少于1小时的学生的频率为0 12 72 因此估计有0 12 600 72 人 可以申请住宿 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12