高中数学 第2章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和课件 新人教A版必修5.ppt

第二章 数列 2 5等比数列的前n项和 第1课时等比数列的前n项和 课前自主学习 一天 小林和小明做 贷款 游戏 他们签订了一份合同 从签订合同之日起 在整整一个月 30天 中 小明第一天贷给小林1万元 第二天贷给小林2万元 以后每天比前一天多贷给小林1万元 而小林按这样的方式还贷 小林第一天只需还1分钱 第二天还2分钱 第三天还4分钱 以后每天还的钱数是前一天的两倍 合同开始生效了 第一天小林支出1分钱 收入1万元 第二天 他支出2分钱 收入2万元 第三天 他支出4分钱 收入3万 到了第10天 他共得55万元 付出的总数只有10元2角3分 到了第20天 小林共得210万元 而小明才支出了1048575分 共1万元多一点 小林想 要是合同订两个月 三个月该多好 果真是这样吗 我们一起来帮他算一算 1 等比数列的前n项和已知等比数列 an 的公比为q 前n项和为sn a1 a2 an a1 a1q a1q2 a1qn 1 1 若q 1 则sn与a1有何关系 2 当q 1时 易知sn a1 q a1 a1q a1qn 2 a1 qsn 1据此你能得出用a1 q表示sn的公式吗 3 当q 1时 计算sn qsn 想一想你能用a1和q表达sn吗 注意 1 等比数列前n项和公式及通项公式中共有五个量a1 q an n sn 这五个量可 知三求二 2 利用等比数列的前n项和公式求和时 要特别注意公比q的取值 应当按q 1和q 1分别求解 如果其中含有参数不能确定时 必须进行分类讨论 2 等比数列前n项和公式与函数的关系我们已知等差数列前n项和sn是n的二次函数 可依据二次函数的图象与性质解决等差数列的有关问题 那么等比数列的前n项和sn是n的函数吗 3 等比数列前n项和的性质 1 我们已知等差数列前n项和sn满足sm s2m sm s3m s2m m n 成等差数列 在等比数列中 你能得比类似结论吗 设等比数列前n项和为sn 则如sm s2m sm s3m s2m 仍组成等比数列 注意这连续m项的和必须非零才能成立 2 在等差数列中 若项数n为偶数 则s偶 s奇 nd 类比上述结论你能得出等比数列的类似性质吗 q qn q qn qm d b 40 课堂典例讲练 命题方向1 等比数列求和公式 分析 考查等差 等比 数列的通项公式及前n项和公式及方程思想 解答本题 1 用首项和公差依据等差数列通项公式及前n项和公式列方程组求解 2 先求首项b1和公比q 再代入前n项和公式求解 规律总结 在等比数列 an 的五个量a1 q an n sn中 a1 q是最基本的元素 当条件与结论间的联系不明显时 均可以用a1 q列方程组求解 2n 1 命题方向2 等比数列前n项和的性质 c 规律总结 下标成等差的等差 等比数列的项或前n项和的问题 常考虑应用等差 等比数列的性质求解 b 命题方向3 错位相减法求数列的前n项和 规律总结 一般地 若 bn 成等差数列 公差为d cn 成等比数列 公比为q q 1 an bn cn 求数列 an 的前n项和sn可用乘公比错位相减法 命题方向4 综合应用 规律总结 1 等差数列与等比数列综合应用的问题 一般通过基本量和通项公式 前n项和公式 等差 等比中项及相关性质列方程求解 2 与函数交汇的数列问题 一般通过函数提供数列具备的某种条件或满足的某种关系式 解题时要先等价转化为纯数列问题 按数列相关知识方法求解 命题方向5 数列的实际应用