高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（2）课件1 新人教A版必修4.ppt

1 2 1任意角的三角函数 二 1 相关概念 1 单位圆以原点o为圆心 以单位长度为半径的圆为单位圆 2 有向线段带有 规定了起点和终点 的线段叫做有向线段 规定 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值 反之为负值 方向 2 三角函数线 mp om at 1 判一判 正确的打 错误的打 1 三角函数线的长度等于三角函数值 2 三角函数线的方向表示三角函数值的正负 3 若角 的正弦线长度为1 则sin 1 解析 1 错误 三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值 2 正确 凡是与x轴或y轴正向同向的为正值 反向的为负值 3 错误 没有指明正弦线的方向 故sin 1 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 如图的正弦线是 余弦线是 正切线是 2 比较大小 sin1 sin 填 或 3 若sin 0 则 的取值范围是 解析 1 由三角函数线的定义知正弦线是mp 余弦线是om 正切线是at 答案 mpomat结合单位圆中的三角函数线知答案 3 由sin 0 如图 利用三角函数线可得2k 2k k z 答案 2k 2k k z 要点探究 知识点三角函数线对三角函数线的四点说明 1 正弦线 余弦线 正切线分别是正弦 余弦 正切函数的几何表示 这三种线段都是与单位圆有关的有向线段 这些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值 2 三角函数线都是有向线段 因此在用字母表示这些线段时 也要注意它们的方向 分清起点和终点 书写顺序也不能颠倒 为此 我们规定凡由原点出发的线段 以原点为起点 不从原点出发的线段 以三角函数线与坐标轴的交点为起点 3 三角函数线的画法 作正弦线 余弦线时 首先找到角的终边与单位圆的交点 然后过此交点作x轴的垂线 得到垂足 从而得正弦线和余弦线 作正切线时 应从a 1 0 点引x轴的垂线 交 的终边 为第一或第四象限角 或 终边的反向延长线 为第二或第三象限角 于点t 即可得到正切线at 4 三角函数线的主要作用 解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小 是以后学习三角函数图象与性质的基础 微思考 1 三角函数线的长度和方向各表示什么 提示 长度等于三角函数值的绝对值 方向表示三角函数值的正负 2 三角函数线的方向有何特点 提示 正弦线由垂足指向 的终边与单位圆的交点 余弦线由原点指向垂足 正切线由切点 1 0 指向与 终边的交点 即时练 1 下列说法不正确的是 a 当角 的终边在x轴上时 角 的正切线是一个点b 当角 的终边在y轴上时 角 的正切线不存在c 正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化d 余弦线和正切线的始点都是原点 解析 选d 余弦线始点是原点 正切线的始点是点 1 0 2 已知 是锐角 若sin cos 则角 的取值范围是 解析 如图单位圆中 0 mp om 所以答案 题型示范 类型一三角函数线的概念问题 典例1 1 已知则x的取值集合是 2 在单位圆中画出满足的角 的终边 并作出其正弦线 余弦线和正切线 解题探究 1 题 1 中满足的角x有多少个 它们之间有什么关系 2 题 2 中满足的角是什么 探究提示 1 满足的角x有无穷多个 它们之间相差180 的整数倍 2 满足的角为或 自主解答 1 如图所示 在0 360 范围内 正切值为的角有两个 60 和240 满足tanx 的角x的终边与60 和240 的终边重合 则x的取值集合是 x x 60 k 360 或x 240 k 360 k z 即 x x 60 k 180 k z 答案 x x 60 k 180 k z 2 如图 作直线y 交单位圆于p q 则op oq为角 的终边 如图 所示 当 的终边是op时 角 的正弦线为mp 余弦线为om 正切线为at 当 的终边为oq时 角 的正弦线为nq 余弦线为on 正切线为at 延伸探究 若将题 2 中 sin 改为 sin 其他条件不变 则角 的终边落在什么范围内 解析 结合题 2 解析可知 当sin 时 角的终边与相交 角 的终边在内 方法技巧 单位圆中求作角的终边的方法应用三角函数线可以求作满足形如f m的三角函数的角的终边 1 作出直线y m或x m与单位圆的交点 2 将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边 变式训练 试作出角的正弦线 余弦线 正切线 解析 如图 的正弦线 余弦线 正切线分别为mp om at 补偿训练 若 是第一象限角 则sin cos 的值与1的大小关系是 a sin cos 1b sin cos 1c sin cos 1d 不能确定 解析 选a 如图 角 的终边与单位圆交于p点 过p作pm x轴于m点 由三角形两边之和大于第三边可知sin cos 1 类型二利用三角函数线比较大小 典例2 1 2014 宿州高一检测 如果那么下列不等式成立的是 a cos sin tan b tan sin cos c sin cos tan d cos tan sin 2 利用三角函数线比较下列各组数的大小 解题探究 1 题 1 中能否从三角函数线上比较三角函数值的大小 2 题 2 中当角的终边在第二象限时如何作出其正切线 探究提示 1 可在同一坐标系内分别作出正弦线 余弦线和正切线 通过 形 的直观来比较大小 2 可通过作角终边的反向延长线作出正切线 自主解答 1 选a 如图所示 在单位圆中分别作出 的正弦线mp 余弦线om 正切线at 很容易地观察出om mp at 即cos sin tan 2 如图所示 角的终边与单位圆的交点为p 其反向延长线与单位圆的过点a的切线的交点为t 作pm x轴 垂足为m 则 的终边与单位圆的交点为p 其反向延长线与单位圆的过点a的切线交点为t 作p m x轴 垂足为m 则由图可见 mp m p 0 at at 0 所以 方法技巧 三角函数线比较大小的两个关注点 1 三角函数线是一个角的三角函数值的体现 从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负 其长度是三角函数值的绝对值 2 比较两个三角函数值的大小 不仅要看其长度 还要看其方向 变式训练 比较大小 sin1155 sin 1654 填 解析 sin 3 360 75 sin75 sin 5 360 146 sin146 在单位圆中 分别作出sin75 和sin146 的正弦线m2p2和m1p1 如图 因为m1p1sin 1654 答案 补偿训练 设则a b c的大小顺序为 按从小到大的顺序排列 解析 如图 在单位圆中分别作出的正弦线m1p1 的余弦线om2 正切线at 由知 m1p1 m2p2 又易知om2 m2p2 at 所以故b a c 答案 b a c 类型三利用三角函数线解三角不等式 典例3 1 2014 济南高一检测 函数的定义域为 2 求下列函数的定义域 解题探究 1 题 1 中开偶次方根时 对被开方数有什么要求 2 题 2 中需满足什么要求 探究提示 1 开偶次方根时要求被开方数为非负数 2 中需满足 中需满足 自主解答 1 要使有意义 则必须满足2sinx 1 0即sinx 结合三角函数线 如图所示 知x的取值范围是答案 2 要使函数有意义 则所以如图所示 所以 要使函数有意义 则所以如图所示 所以 方法技巧 解形如f m或f m m 1 的三角不等式的方法 1 在直角坐标系及单位圆中 标出满足f m的两个角的终边 若f为sin 则角的终边是直线y m与单位圆的两个交点与原点的连线 若f为cos 则角的终边是直线x m与单位圆的两个交点与原点的连线 若f为tan 则角的终边与角的终边的反向延长线表示的正切值相同 2 根据三角函数值的大小 找出 在0 2 内的取值 再加上k 2 k z 变式训练 利用三角函数线 写出满足下列条件的角 的集合 解析 1 由图 知 当sin 时 角 满足的集合为 2 由图 知 当cos 时 角 满足的集合为 3 如图 作出单位圆 所以角 满足的集合为 补偿训练 若 0 2 且求角 的取值范围 解析 如图 om为 0 2 内的角和的余弦线 欲使则角 的余弦线大于等于om 当om伸长时 op与oq扫过部分为扇形poq 所以 易错误区 对三角函数线概念理解不准而致误 典例 2014 天水高一检测 已知角 的余弦线是长度为单位长度的有向线段 那么角 的终边在 a x轴的正半轴上b x轴的负半轴上c x轴上d y轴上 解析 选c 由角 的余弦线是长度为单位长度的有向线段 得cos 1 故角 的终边在x轴上 常见误区 防范措施 正确理解有向线段和三角函数线有向线段既有长度又有方向 如本例中长度为单位长度