高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题五 立体几何 1.5.2 点、直线、平面之间的位置关系课件 理 新人教版.ppt

第二讲点 直线 平面之间的位置关系 知识回顾 1 平行公理若a b b c 则a c 2 线面平行与垂直的判定与性质 3 面面平行与垂直的判定与性质 易错提醒 1 忽略判定定理和性质定理中的条件致误 应用线面平行判定定理时 忽略 直线在平面外 直线在平面内 的条件 应用线面垂直及面面平行的判定定理时 忽略 两直线相交 两直线在平面内 的条件 应用面面垂直的性质定理时忽略 直线在平面内 直线垂直于两平面的交线 的条件等 2 把平面几何中的相关结论推广到空间直接利用而致误 如平面内垂直于同一条直线的两条直线相互平行 这个结论在空间中不成立 3 不能准确掌握判定定理和性质定理致误 如线面平行的性质定理中是过与平面平行的直线的平面与该平面的交线与已知直线平行 而非作出的直线 面面平行的性质定理中平行的两条直线一定是第三个平面与两平行平面的交线等 考题回访 1 2016 山东高考 已知直线a b分别在两个不同的平面 内 则 直线a和直线b相交 是 平面 和平面 相交 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选a 若 直线a和直线b相交 则它们一定有公共点 而又直线a b分别在两个不同的平面 内 所以平面 一定存在公共点 所以 平面 和平面 相交 反过来 平面 和平面 相交 而 直线a和直线b也可能平行或异面 所以是充分不必要条件 2 2016 全国卷 平面 过正方体abcd a1b1c1d1的顶点a 平面cb1d1 平面abcd m 平面abb1a1 n 则m n所成角的正弦值为 解析 选a 如图所示 因为 平面cb1d1 所以若设平面cb1d1 平面abcd m1 则m1 m 又因为平面abcd 平面a1b1c1d1 结合平面b1d1c 平面a1b1c1d1 b1d1 所以b1d1 m1 故b1d1 m 同理可得 cd1 n 故m n所成角的大小与b1d1 cd1所成角的大小相等 即 cd1b1的大小 而b1c b1d1 cd1 均为面对角线 因此 cd1b1 即sin cd1b1 3 2013 全国卷 已知m n为异面直线 m 平面 n 平面 直线l满足l m l n l l 则 a 且l b 且l c 与 相交 且交线垂直于ld 与 相交 且交线平行于l 解析 选d 若 则m n 这与m n为异面直线矛盾 所以a不正确 将已知条件转化到正方体中 易知 与 不一定垂直 但 与 的交线一定平行于l 从而排除b c 4 2016 全国卷 是两个平面 m n是两条直线 有下列四个命题 如果m n m n 那么 如果m n 那么m n 如果 m 那么m 如果m n 那么m与 所成的角和n与 所成的角相等 其中正确的命题有 填写所有正确命题的编号 解题指南 借助正方体模型分析 论证 解析 对于 aa m 平面abcd aa m ad n ad n 平面a b c d 显然平面abcd 平面a b c d 故 错误 对于 n 由线面平行的性质定理 可知n与 内的一条直线l平行 因为m 所以m l 所以m n 故 正确 对于 设过m的平面 交 于直线l 因为 m 由面面平行的性质定理可知m l 由线面平行的判定定理 可知m 故 正确 对于 若m n分别与平面 平行 或垂直 结论显然成立 若m n分别与平面 不平行 也不垂直 可以分别作出m n在平面 内的射影 由等角定理 可知结论也成立 故 正确 答案 热点考向一判断与点 线 面位置关系有关命题的真假命题解读 主要考查利用空间点 直线 平面位置关系的定义 四个公理 八个定理来判断与点 线 面有关命题的真假 以选择题 填空题的形式出现 典例1 1 2016 洛阳二模 若m n为两条不重合的直线 为两个不重合的平面 则下列命题中正确的是 若直线m n都平行于平面 则m n一定不是相交直线 若直线m n都垂直于平面 则m n一定是平行直线 已知平面 互相垂直 且直线m n也互相垂直 若m 则n 若直线m n在平面 内的射影互相垂直 则m n a b c d 2 2016 武汉一模 如图 ab是 o的直径 va垂直于 o所在的平面 c是圆周上不同于a b的任意一点 m n分别为va vc的中点 则下列结论正确的是 a mn abb mn与bc所成的角为45 c oc 平面vacd 平面vac 平面vbc 解题导引 1 根据空间线线 线面 面面平行 垂直的判定与性质逐个进行判断 并充分利用正方体或长方体模型帮助求解 2 根据条件逐项验证 规范解答 1 选a 对于 m与n可能平行 可能相交 也可能异面 对于 由线面垂直的性质定理可知 m与n一定平行 故 正确 对于 还有可能n 或n 对于 把m n放入正方体中 如图 取a1b为m b1c为n 平面abcd为平面 则m与n在 内的射影分别为ab与bc 且ab bc 而m与n所成的角为60 故 错 因此选a 2 选d 对于a 若mn ab 由已知mn ac 则得ab ac 这与已知ab ac a矛盾 故a错 对于b 由题意得bc ac 又va 平面abc bc 平面abc 所以va bc 而ac va a 所以bc 平面vac mn 平面vac 所以mn bc 故b错 由此知c错 而bc 平面vbc 故得平面vac 平面vbc 所以d正确 规律方法 判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 1 借助空间线面平行 面面平行 线面垂直 面面垂直的判定定理和性质定理进行判断 2 借助空间几何模型 如从长方体模型 四面体模型等模型中观察线面位置关系 结合有关定理 进行肯定或否定 3 借助于反证法 当从正面入手较难时 可利用反证法 推出与题设或公认的结论相矛盾的命题 进而作出判断 题组过关 1 2016 浙江高考 已知互相垂直的平面 交于直线l 若直线m n满足m n 则 a m lb m nc n ld m n 解析 选c 由题意知 l 所以l 因为n 所以n l 2 2016 太原一模 若 是两个相交平面 则在下列命题中 真命题的序号为 写出所有真命题的序号 若直线m 则在平面 内 一定不存在与直线m平行的直线 若直线m 则在平面 内 一定存在无数条直线与直线m垂直 若直线m 则在平面 内 不一定存在与直线m垂直的直线 若直线m 则在平面 内 一定存在与直线m垂直的直线 解析 对于 若直线m 如果 互相垂直 则在平面 内 存在与直线m平行的直线 故 错误 对于 若直线m 则直线m垂直于平面 内的所有直线 在平面 内存在无数条与交线平行的直线 这无数条直线均与直线m垂直 故 正确 对于 若直线m 则在平面 内 一定存在与直线m垂直的直线 故 错误 正确 答案 加固训练 1 2015 浙江高考 设 是两个不同的平面 l m是两条不同的直线 且l m a 若l 则 b 若 则l mc 若l 则 d 若 则l m 解析 选a 选项a中 由平面与平面垂直的判定 故正确 选项b中 当 时 l m可以垂直 也可以平行 也可以异面 选项c中 l 时 可以相交 选项d中 时 l m也可以异面 2 设l m是两条不同的直线 是两个不同的平面 给出下列命题 若l l 则 若l l 则 若 l 则l 若 l 则l 若l l m 则l m 其中真命题的个数为 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 选b 若l l 则 或相交 因此是假命题 若l l 根据线面垂直的判定定理可得 是真命题 若 l 则l 或l 因此是假命题 若 l 则l 不正确 因此是假命题 若l l m 则l m 是真命题 其中真命题的个数为2 3 2015 广东高考 若直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 a l至少与l1 l2中的一条相交b l与l1 l2都相交 c l至多与l1 l2中的一条相交d l与l1 l2都不相交 解析 选a 直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l 则l至少与l1 l2中的一条相交 热点考向二空间平行 垂直关系的证明命题解读 主要考查线面平行 垂直及面面平行 垂直的判定定理与性质定理 以解答题的形式出现 命题角度一空间平行关系的证明 典例2 2016 资阳二模 如图 在棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 底面abcd 底面abcd为直角梯形 其中ab cd ab ad ab ac 2cd 2 aa1 过ac的平面分别与a1b1 b1c1交于e1 f1 且e1为a1b1的中点 1 求证 平面acf1e1 平面a1c1d 2 求证 f1为b1c1的中点 3 求锥体b acf1e1的体积 解题导引 1 连接c1e1 则可证四边形a1d1c1e1是平行四边形 四边形acc1a1是平行四边形 故ae1 dc1 ac a1c1 于是由面面平行的判定定理得平面acf1e1 平面a1c1d 2 由e1为a1b1的中点只需证明a1c1 e1f1即可 3 将棱锥分解成三棱锥e1 abc和三棱锥e1 bcf1 分别计算两个小三棱锥的体积 规范解答 1 连接c1e1 因为棱柱abcd a1b1c1d1中 a1b1 2d1c1 a1b1 c1d1 又e1为a1b1的中点 则a1e1 d1c1 所以四边形a1d1c1e1是平行四边形 所以c1e1 a1d1 又a1d1 ad 所以c1e1 ad 所以四边形adc1e1是平行四边形 所以ae1 dc1 在棱柱abcd a1b1c1d1中 因为aa1 cc1 aa1 cc1 所以四边形acc1a1是平行四边形 所以ac a1c1 又ae1 平面acf1e1 ac 平面acf1e1 dc1 平面a1c1d a1c1 平面a1c1d ac ae1 a dc1 a1c1 c1 所以平面acf1e1 平面a1c1d 2 因为在棱柱abcd a1b1c1d1中 ac 平面a1b1c1d1 ac 平面acf1e1 平面acf1e1 平面a1b1c1d1 e1f1 所以ac e1f1 又ac a1c1 所以a1c1 e1f1 又e1为a1b1的中点 所以f1为b1c1的中点 3 因为底面abcd为直角梯形 且ab cd ab ad ab 2cd 2 所以 abc是边长为2的等边三角形 e1b1c1是边长为1的等边三角形 连接ce1 be1 点e1到平面bcc1b1的距离h 则所以锥体b acf1e1的体积 易错警示 解答本题易出现以下三种错误1 1 中忽略ae1 ac在平面acf1e1内 dc1 a1c1在平面a1c1d内 及其相交 致误 2 2 中忽略ac在平面acf1e1及e1f1为两平面交线而致误 3 3 不能转化为两个三棱锥的体积和求解 母题变式 1 在本例条件下 求证 a1d 平面bce1 证明 连接ce1 因为cd ab a1e1 ab 所以cd a1e1 故四边形cda1e1为平行四边形 所以a1d e1c 又a1d 平面bce1 e1c 平面bce1 所以a1d 平面bce1 2 在本例的条件下 求证 平面adc1e1 平面dcc1d1 证明 连接c1e1 因为ab cd ab ad 所以ad cd 又a1a 底面abcd aa1 dd1 所以dd1 平面abcd ad 平面abcd 所以ad dd1 而dd1 dc d 所以ad 平面dcc1d1 又ad 平面adc1e1 所以平面adc1e1 平面dcc1d1 3 在本例中若m n分别为ab cc1的中点 求证 mn 平面add1a1 证明 取dd1的中点为g 连接gn ga 由已知得gn cd cd ab am 所以am gn 故四边形amng为平行四边形 所以ag mn 又mn 平面add1a1 ag 平面add1a1 所以mn 平面add1a1 命题角度二空间垂直关系的证明 典例3 2016 全国卷 如图 已知正三棱锥p abc的侧面是直角三角形 pa 6 顶点p在平面abc内的正投影为点d d在平面pab内的正投影为点e 连接pe并延长交ab于点g 1 证明 g是ab的中点 2 在图中作出点e在平面pac内的正投影f 说明作法及理由 并求四面体pdef的体积 题目拆解 解答本题 第 1 问可拆成两个小题 证明ab pg 证明pa pb 第 2 问可拆成两个小题 证明ef 平面pac 求四面体pdef的体积 规范解答 1 因为p在平面abc内的正投影为d 所以ab pd 因为d在平面pab内的正投影为e 所以ab de 因为pd de d 所以ab 平面pde 故ab pg 又由已知可得 pa pb 从而g为ab的中点 2 在平面pab内 过点e作pb的平行线交pa于点f f即为e在平面pac内的正投影 理由如下 由已知可得pb pa pb pc 又ef pb 所以ef pa ef pc 又pa pc p 因此ef 平面pac 即点f为e在平面pac内的正投影 连接cg 因为p在平面abc内的正投影为d 所以d是正三角形abc的中心 由 1 知 g是ab的中点 所以d在cg上 故cd cg 由题设可得pc 平面pab de 平面pab 所以de pc 因此pe pg de pc 由已知 正三棱锥的侧面是直角三角形且pa 6 可得de 2 pe 2 在等腰直角三角形efp中 可得ef pf 2 所以四面体pdef的体积v 规律方法 1 证明空间三种平行关系的常用方法 1 证明线线平行 利用三角形中位线定理证明 利用平行四边形对边平行证明 利用平行公理证明 利用线面平行的性质证明 利用面面平行的性质证明 2 证明线面平行 利用线面平行的判定定理 把证明线面平行转化为证明线线平行 利用面面平行的性质定理 把证明线面平行转化为证明面面平行 3 证明面面平行证明面面平行 依据判定定理 将证明面面平行转化为证明线面平行 再转化为证明线线平行 2 证明空间三种垂直关系的常用方法 1 证明线线垂直 利用特殊平面图形的性质 如利用直角三角形 矩形 菱形 等腰三角形等得到线线垂直 利用勾股定理的逆定理 利用线面垂直的性质 即要证明线线垂直 只需证明一线垂直于另一线所在平面即可 2 证明线面垂直 利用线面垂直的判定定理 把线面垂直的判定转化为证明线线垂直 利用面面垂直的性质定理 把证明线面垂直转化为证明面面垂直 利用常见结论 如两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面等 3 证明面面垂直证明面面垂直常用面面垂直的判定定理 将证明面面垂直转化为证明线面垂直 一般先从现有直线中寻找 若图中不存在这样的直线 则借助中点 高线或添加辅助线解决 变式训练 2016 宜春二模 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 pd 平面abcd 点e是线段bd的中点 点f是线段pd上的动点 1 若f是pd的中点 求证 ef 平面pbc 2 求证 ce bf 3 若ab 2 pd 3 当三棱锥p bcf的体积等于时 试判断点f在边pd上的位置 并说明理由 解析 1 在 pdb中 因为点e是bd的中点 点f是pd的中点 所以ef pb 又因为ef 平面pbc pb 平面pbc 所以ef 平面pbc 2 因为pd 平面abcd 且ce 平面abcd 所以pd ce 又因为底面abcd是正方形 且点e是bd的中点 所以ce bd 因为bd pd d 所以ce 平面pbd 而bf 平面pbd 所以ce bf 3 点f为边pd上靠近d点的三等分点 理由如下 由 2 可知 ce 平面pbf 又因为pd 平面abcd bd 平面abcd 所以pd bd 设pf x 由ab 2得bd 2 ce 所以vp bcf vc bpf 由已知所以x 2 因为pd 3 所以点f为边pd上靠近d点的三等分点 加固训练 1 2016 石家庄一模 如图 已知四棱台abcd a1b1c1d1的上 下底面分别是边长为3和6的正方形 aa1 6 且a1a 底面abcd 点p q分别在棱dd1 bc上 bq 4 1 若dp dd1 证明 pq 平面abb1a1 2 若p是d1d的中点 证明 ab1 平面pbc 证明 1 在aa1上取一点n 使得an aa1 因为dp dd1 且a1d1 3 ad 6 所以pn ad 又bq ad 所以pn bq 所以四边形bqpn为平行四边形 所以pq bn 因为bn 平面abb1a1 pq 平面abb1a1 所以pq 平面abb1a1 2 如图所示 取a1a的中点m 连接pm bm pc 因为a1a d1d是梯形的两腰 p是d1d的中点 所以pm ad 于是由ad bc知 pm bc 所以p m b c四点共面 由题设可知 bc ab bc a1a ab aa1 a 所以bc 平面abb1a1 所以bc ab1 因为tan abm tan a1ab1 所以 abm a1ab1 所以 abm bab1 a1ab1 bab1 90 所以ab1 bm 再bc bm b 知ab1 平面pbc 2 2016 茂名一模 如图 在直角梯形abcd中 ab cd 且ab ad 2 cd 4 四边形ade1f1是正方形 且平面ade1f1 平面abcd m是e1c的中点 1 证明 bm 平面ade1f1 2 求三棱锥d bme1的体积 解析 1 取e1d的中点n 连接mn an 在 e1dc中 m n分别为e1c e1d的中点 所以mn cd mn cd 因为ab cd ab cd 所以mn ab mn ab 则四边形abmn是平行四边形 则bm an 因为an 平面ade1f1 bm 平面ade1f1 所以bm 平面ade1f1 2 由平面ade1f1 平面abcd e1d 平面ade1f1 平面ade1f1 平面abcd ad e1d ad 所以e1d 平面abcd 因为ad cd e1d cd d 所以ad 平面e1dc 因为ab cd cd 平面e1dc ab 平面e1dc 所以ab 平面e1dc 则b到平面e1dc的距离就是a到平面e1dc的距离 即b到平面e1dc的距离是ad 由则即三棱锥d bme1的体积v 热点考向三与空间平行 垂直有关的综合性问题命题解读 主要考查与空间线面 面面的平行 垂直关系有关的折叠问题 探索性问题 常以解答题形式出现 典例4 1 2016 哈尔滨一模 如图 在矩形abcd中 ab 8 bc 4 e为dc的中点 沿ae将 ade折起 在折起过程中 下列结论中能成立的序号为 ed 平面acd cd 平面bed bd 平面acd ad 平面bed 2 2016 郑州二模 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是菱形 dab 30 pd 平面abcd ad 2 点e为ab上一点 且 m 点f为pd中点 若m 证明 直线af 平面pec 是否存在一个常数m 使得平面ped 平面pab 若存在 求出m的值 若不存在 说明理由 解题导引 1 在折起过程中 画出d点在平面bce上的投影轨迹 利用线面垂直的判定定理即可逐项判断得解 2 作fm cd 交pc于m 推导出四边形aemf为平行四边形 由此能证明直线af 平面pec 要使平面ped 平面pab 只需ab de 求出ae adcos30 推导出平面ped 平面pab 由此能求出存在一个常数m 使得平面ped 平面pab 规范解答 1 因为在矩形abcd中 ab 8 bc 4 e为dc的中点 所以在折起过程中 d点在平面bce上的投影如图 因为de与ac所成角不能为直角 所以de不会垂直于平面acd 故 错误 只有d点投影位于o2位置时 即平面aed与平面aeb重合时 才有be cd 此时cd不垂直于平面aebc 故cd与平面bed不垂直 故 错误 bd与ac所成角不能成直角 所以bd不能垂直于平面acd 故 错误 因为ad ed 并且在折起过程中 存在一个位置使ad be 且de be e 所以在折起过程中存在ad 平面bed的位置 故 正确 答案 2 作fm cd 交pc于点m 因为点f为pd的中点 所以fm cd 因为m 所以ae ab fm 又fm cd ae 所以四边形aemf为平行四边形 所以af em 因为af 平面pec em 平面pec 所以直线af 平面pec 存在一个常数m 使得平面ped 平面pab 理由如下 要使平面ped 平面pab 只需ab de 因为ab ad 2 dab 30 所以ae adcos30 又因为pd 平面abcd pd ab pd de d 所以ab 平面pde 因为ab 平面pab 所以平面pde 平面pab 所以m 规律方法 1 求解平面图形折叠问题的关键和方法 1 关键 分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变 哪些不变 抓住翻折前后不变的量 充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口 2 方法 把平面图形翻折后 经过恰当连线就能得到三棱锥 四棱锥等几何体 从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决 2 探索性问题求解的途径和方法 1 对命题条件探索的三种途径 先猜后证 即先观察 尝试给出条件再证明 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件 再证明充分性 将几何问题转化为代数问题 探索出命题成立