【步步高】（广东专用）高考数学大一轮复习 第四章 第7讲 解三角形应用举例训练 理(1).doc

第7讲 解三角形应用举例一、选择题1在某次测量中，在a处测得同一平面方向的b点的仰角是50，且到a的距离为2，c点的俯角为70，且到a的距离为3，则b、c间的距离为()a. b.c. d.解析 因bac120，ab2，ac3.bc2ab2ac22abaccos bac49223cos 12019.bc.答案 d2如图所示，为了测量某障碍物两侧a，b间的距离，给定下列四组数据，不能确定a，b间距离的是()a，a，b b，aca，b， d，b解析选项b中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定ab.选项c中可由余弦定理确定ab.选项d同b类似，故选a.答案a3一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达b处，在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是南偏东70，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b，c两点间的距离是 ()a10海里 b10海里c20海里 d20海里解析如图所示，易知，在abc中，ab20海里，cab30，acb45，根据正弦定理得，解得bc10(海里)答案a4. 如图，两座相距60 m的建筑物ab、cd的高度分别为20 m、50 m，bd为水平面，则从建筑物ab的顶端a看建筑物cd的张角为 ()a30 b45 c60 d75解析依题意可得ad20(m)，ac30(m)，又cd50(m)，所以在acd中，由余弦定理得coscad，又0cad180，所以cad45，所以从顶端a看建筑物cd的张角为45.答案b5如图，设a、b两点在河的两岸，一测量者在a的同侧，在所在的河岸边选定一点c，测出ac的距离为50 m，acb45，cab105后，就可以计算出a、b两点的距离为()a50 m b50 mc25 m d. m解析 由题意，得b30.由正弦定理，得，ab50(m)答案 a 6. 如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30，测得湖中之影的俯角为45，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m) ()a2.7 m b17.3 mc37.3 m d373 m解析在ace中，tan 30.ae(m)在aed中，tan 45，ae(m)，cm10(2)37.3(m)答案c二、填空题7如图，为测得河对岸塔ab的高，先在河岸上选一点c，使c在塔底b的正东方向上，测得点a的仰角为60，再由点c沿北偏东15方向走10米到位置d，测得bdc45，则塔ab的高是_米解析在bcd中，cd10，bdc45，bcd1590105，dbc30，bc10.在rtabc中，tan 60，abbctan 6010(米)答案108如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从a处沿正北方向行进x m到达b处发现一个生命迹象，然后向右转105，进行10 m到达c处发现另一生命迹象，这时它向右转135后继续前行回到出发点，那么x_.解析由题知，cba75，bca45，bac180754560，.x m.答案 m9. 在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位所在直线ab与旗杆所在直线mn共面，在该列的第一个座位a和最后一个座位b测得旗杆顶端n的仰角分别为60和30，且座位a，b的距离为10米，则旗杆的高度为_米解析由题可知ban105，bna30，由正弦定理得，解得an20(米)，在rtamn中，mn20 sin 6030(米)故旗杆的高度为30米答案3010. 如图，一船在海上自西向东航行，在a处测得某岛m的方位角为北偏东角，前进m海里后在b处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当与满足条件_时，该船没有触礁危险解析由题可知，在abm中，根据正弦定理得，解得bm，要使该船没有触礁危险需满足bmsin(90)n，所以当与的关系满足mcos cos nsin()时，该船没有触礁危险答案mcos cos nsin()三、解答题11如图所示，甲船由a岛出发向北偏东45的方向作匀速直线航行，速度为15 n mile/h，在甲船从a岛出发的同时，乙船从a岛正南40 n mile处的b岛出发，朝北偏东的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h.(1)若两船能相遇，求m.(2)当m10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少n mile?解 (1)设t小时后，两船在m处相遇，由tan，得sin，cos，所以sinambsin(45).由正弦定理，am40，同理得bm40.t，m15.(2)以a为原点，ba所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t 时刻甲、乙两船分别在p(x1，y1)，q(x2，y2)处，则|ap|15t，|bq|10t.由任意角三角函数的定义，可得即点p的坐标是(15t,15t)，即点q的坐标是(10t,20t40)，|pq|20，当且仅当t4时，|pq|取得最小值20，即两船出发4小时时，距离最近，最近距离为20 n mile.12如图所示，位于a处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的c处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线cb前往b处救援，求cos 的值解如题图所示，在abc中，ab40海里，ac20海里，bac120，由余弦定理知，bc2ab2ac22abaccos 1202 800，故bc20(海里)由正弦定理得，所以sinacbsinbac.由bac120，知acb为锐角，则cosacb.易知acb30，故cos cos(acb30)cosacbcos 30sinacbsin 30.13如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点a，b之间的距离，她在西江南岸找到一个点c，从c点可以观察到点a，b；找到一个点d，从d点可以观察到点a，c；找到一个点e，从e点可以观察到点b，c；并测量得到数据：acd90，adc60，acb15，bce105，ceb45，dcce1百米(1)求cde的面积；(2)求a，b之间的距离解(1)在cde中，dce3609015105150，scdedccesin 150sin 30(平方百米)(2)连接ab，依题意知，在rtacd中，acdctanadc1tan 60(百米)，在bce中，cbe180bceceb1801054530，由正弦定理，得bcsincebsin 45(百米)cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45，在abc中，由余弦定理ab2ac2bc22acbccosacb，可得ab2()2()222，ab百米14某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20海里的a处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇解(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里，则s .故当t时，smin10(海里)，此时v30(海里/时)即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在b处相遇