山东省聊城市中考数学专题复习讲义 图形认识初步.doc

专题复习精品讲义第四章 图形认识初步本章小结小结1 本章内容概览 本章的主要内容是多姿多彩的图形，直线、射线、线段以及角等有关的概念及其性质其课标要求是： (1)理解线段、直线和射线的区别与联系，会比较线段的大小，并进行计算 (2)理解角的概念，会比较角的大小，会进行角的度数的计算 (3)了解互余、互补的概念，理解它们的性质小结2 本章重点、难点：本章的重点是线段和角的概念及其相关的性质；难点是对平面图形的概念及其相关性质的理解小结3 本章学法点津 1要通过直观感知，具体操作、确认等实践活动，区分图形，探索出图形的特征和性质，培养空间想象能力 2要注意多观察、多分析实物，勤动手操作、勤动脑联想，同时又要注意对图形语言的理解和符号语言的运用 3要淡化概念识记、不能机械地套用公式模式，达到“在做中学，在学中做” 4要注重“简单说理”推理能力的培养，养成言之有据的良好习惯知识网络结构图重点题型总结及应用题型一 计算几何图形的数量 1数直线条数 例1 已知n(n2)个点p1，p2，p3，pn在同一平面上，且其中没有任何三点在同一直线上设sn表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，s2=1，s33，s46，s610，由此推断，sn . 答案： 点拨经过第一个点可以引出(n1)条直线，经过第二个点可以新引出(n2)条直线，经过第三个点可以新引出(n3)条直线，所以n个点一共可以引出sn (n1)(n2)(n3)1条直线2数线段条数 例2 如图441所示，c、d为线段ab上的任意两点，那么图中共有多少条线段?解：按照从左到右的顺序去数线段条数，以a为一个端点的线段有3条：ac、ad、ab；以c为一个端点的新线段有2条：cd、cb；以d为一个端点的新线段有1条：db所以共有线段3216(条)点拨线段的条数与线段上固定点(包括线段两个端点)的个数有密切联系，线段上有n个点(包括线段两个端点)时，共有线段条 例3 小明在看书时发现这样一个问题：在一次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手呢?小明通过认真思考得出了答案为了解决一般问题，小明设计了下列图表进行探究：参加人数2345握手示意图握手次数121=3321=64321=10 请你根据上面图表归纳出参加人数与握手次数之间关系的一般结论 分析：本题研究的是握手次数问题，但可以将此问题转化成研究平面上的点构成线段的条数问题这里把每个人看作一个点，根据图表中的信息，通过探究推理可得到问题的答案 解：若有6人参加，则共握手15次结论：若有n(n2，且n为整数)人参加，则共握手(n1)(n2)(n3)4321 (次)点拨解决此类问题的关键是将实际问题抽象转化为平面图形的具体计数问题。再进行探究 3数直线分平面的块数 例4 豆腐是我们生活中的常见食品，常被分割成长方体或正方体的小块出售现请你用刀切豆腐，每次切三刀，能将豆腐切成多少块? 分析：这三刀可以随意切，不要拘泥于规范、常见切法从不同的角度下手，得到的小块豆腐的块数可能不同解：如图442所示，能将豆腐切成4块、6块、7块或8块点拨在截一个几何体之前应充分想象截面可能的形状，然后实际操作，在比较想象结果与实际结果的差异的过程中，可以丰富我们的几何直觉，积累数学活动经验，同时培养我们的空间观察能力题型二 两角互补、互余定义及其性质的应用 例5 一个角的补角是这个角的4倍，求这个角的度数解：设这个角是x，则它的补角是(180x)由题意，得180x4 x，解得x36所以这个角是36点拨 本题主要考查补角定义的应用，数学中利用方程、转化思想，可将“形”的问题转化为“数”的问题研究，从而简捷解决问题 例6 如果一个角的补角是120，那么这个角的余角是( ) a30 b60 c90 d150 解析：本题是对余角、补角的综合考查，先根据这个角的补角是120，求出这个角是60，再求出它的余角是30 答案：a 例7 根据补角的定义和余角的定义可知，10的角的补角是170，余角是80；15的角的补角是165，余角是75；32的角的补角是148，余角是58. 观察以上各组数据，你能得出怎样的结论?请用任意角代替题中的10、15、32的角来说明你的结论 解：结论为：一个角的补角比这个角的余角大90 说明：设任意角是(090)，的补角是180，的余角是90，则 (180)(90)90.题型三 角的有关运算 例8 如图443所示，ab和cd都是直线，aoe90，3=fod，12720，求2、3的度数 解：因为aoe90， 所以29019027206240 又因为aod180115240，3fod， 所以3aod7620 所以上26240，37620 例9 如图444所示，ob、oc是aod内任意两条射线，om平分aob，on平分cod，若mon，boc=，用、表示aod 解：因为mon，boc=， 所以bomconmonboc= 又om平分aob，on平分cod， 所以aobcod2bom2con =2(bomcon)2()， 所以aodaobcodboc2()=2. 例10 (1)用度、分、秒表示5412 (2)324424等于多少度? (3)计算：13322433 解：(1)因为01260012=72，0.2=6002=12， 所以5412=54712 (2)因为24=()2404，444=()444=074， 所以324424=32.74 (3)13322433(13282)3433=44823433 44(811)3433=442713433=4427103344273=44273.方法总结角的有关运算是指角的单位换算和角的加、减、乘、除运算角度制的单位是 60进制的，和计量时间的时、分、秒一样加减时，要将度、分、秒分别相加、相减，分、秒逢60要进位，而相减不够时要借1作60；度、分、秒形式乘一个数时，要将度、分、秒分别乘这个数，分、秒逢60进位；度、分、秒形式除以一个数时，也是将度、分、秒分别除以这个数，不过要将高位的余数转化成低位，与原位上的数相加后再除以这个数题型四 钟表的时针与分针夹角问题例11 15：25时钟面上时针和分针所构成的角是 度解析：起始时刻定为15：00(下午3点整时，时针和分针构成的角是90)，终止时刻为15：25，从图445中可以看出分针从12转到5用了25分钟，转了625150，时针转了0525125，所以15：25时钟面上时针和分针所构成的角为15090 125475 答案：475点拨解决此类问题时要选择恰当的起始时刻，注意时针和分针同时在运动，并牢记时针每分钟转o5=0.5，分针每分钟转6题型五 图形的转化例12 下列图形中不是正方体的平面展开图的是( )解析：通过折叠验证四个选项，可得正确答案 答案：c点拨 立体图形的平面展开图是沿着立体图形的一些棱将它剪开，把立体图形展开成一个平面图形一个正方体的平面展开图中，在同一直线上相邻的三个正方形中，首尾两个正方形是正方体中相对的两个面例13 如图446所示，将标号为a、b、c、d的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为p、q、m、n的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空：a与 对应；b与 对应；c与 对应；d与 对应解析：按照剪开的形状，找出对应的图形 答案：m，p，q，n题型六 方位角 例14 如图447所示，我海军的两艘军舰(分别在a、b两处)同时发现了一艘敌舰，其中a舰发现它在北偏东15的方向上，b舰发现它在东北方向上，试画出这艘敌舰的位置(用字母c表示)解：如图448所示，分别以点a、点b为中心建立方位图，表示东北方向的射线 be与表示北偏东15方向的射线ad的交点c即为这艘敌舰的位置点拨利用角度来描述方位，以正北、正南的方向为基准，先确定是北还是南，然后确定东、西方向，最后确定偏东(或西)的角度，注意东北方向是北偏东45思想方法归纳 1分类讨论思想 分类讨论，就是对问题所给对象的条件、结论、图形等不能进行统一研究时，就需要将研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答注意分类时要做到按同一标准且不重不漏 例1 已知线段ab8cm，在直线ab上画线段bc，使它等于3cm，求线段ac的长 解：本题分两种情况： 如图449所示，当点c在线段ab的延长线上时， acabbc8311(crn)； 如图4410所示，当点c在线段ab上时， ac=abbc835(cm) 所以线段ac的长为11 cm或5cm. 例2 经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是( ) a1或3 b3 c2 d1解析：这道题要分两种情况考虑：一是这三点都在一条直线上时，就只能画出一条直线；二是这三点不在同一条直线上时，此时共可以画出三条直线 答案：a2数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的，线段、直线、角的重要性质也都是通过数形结合的思想体现的 例3 如图4411所示放置的三角板，把三角板较长的直角边从水平状态开始，在平面上沿着直线bc滚动一周，求b点转动的角度解：三角板转动的路线如图4412所示由图可知第一次转动90，第二次转动 120，第三次没动，所以b点转动了210点拨解决本题的关键是明确角的变化情况，因此，可根据题意画出从起点到终点转动一圈的示意图，然后根据图形就很容易确定出b点转动的角度了 3转化思想 解决一个问题，往往是由未知向已知转化，由陌生向熟悉转化，由复杂向简单转化，转化思想贯穿整个数学学习的始终 例4 将下列选项中的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到如图4413所示立体图形的是( ) 解析：分析立体图形可知，直线l应为初始旋转的直角梯形垂直于两底的腰所在直线 答案：b 点拨本题主要考查了同学们识别图形的能力对于类似的图形识别问题我们要能从所给立体图形入手，分析形成它的基本图形，把复杂的立体图形转化为平面图形去认识、解决中考热点聚焦 考点1 线段 考点突破：线段问题在中考题中一般难度不大，解题时要结合图形，认真分析，问题便会迎刃而解 例1 （2011广东佛山，12，3分）已知线段ab=6，若c为ab中点，则ac=3考点两点间的距离分析由题意可知，线段ab=6，c为ab中点，所以，ac=bc，即ac=3；解答解：如图，线段ab=6，c为ab中点，ac=bc，ac=3故答案为：3点评本题考查了两点间的距离，牢记两点间的中点到两端点的距离相等（2011广西崇左，5，2分）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是 考点：线段的性质：两点之间线段最短 分析：根据线段的性质：两点之间线段最短解答 解答：解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短故答案为：两点之间线段最短 点评：本题考查了两点之间线段最短的性质，是基础题，比较简单如图4414所示，点a、 b、c是直线l上的三个点，图中共有线段的条数是( ) a1 b2 c3解析：图中有线段ab、bc、ac 答案：c考点2 余角和补角 考点突破：此类题在中考中的考查为基础性题目，一般为选择题或填空题，只要牢记余角和补角的定义，便能准确求解 例2 （2011清远，6，3分）已知35，则的余角是（）a.35 b.55 c.65 d.145考点：余角和补角.专题：计算题.分析：根据互为余角的两个角的和为90度作答解答：解：根据定义的余角度数是903555故选点评：本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角属于基础题，较简单（2011南通）已知=20，则的余角等于70考点：余角和补角。分析：若两个角的和为90，则这两个角互余；根据已知条件可直接求出角的余角解答：解：=20，的余角=9020=70故答案为：70点评：本题考查了余角的定义，解题时牢记定义是关键 （2011福建福州，5，4分）下列四个角中，最有可能与70角互补的角是（）ab cd考点：余角和补角分析：根据互补的性质，与70角互补的角等于18070=110，是个钝角；看下4个答案，哪个符合即可；解答：解：根据互补的性质得，70角的补角为：18070=110，是个钝角；答案abc都是锐角，答案d是钝角；答案d正确故选d点评：本题考查了角互补的性质，明确互补的两角和是180，并能熟练求已知一个角的补角 例3 如果60，那么的余角的度数是( ) a30 b60 c90 d120 解析：的余角的度数为906030 答案：a30角的补角是( ) a30角 b60角 c90角 d150角解析：30角的补角度数为18030150 答案：d考点3 钟表上的角度问题 考点突破：此类题是近几年中考中的热点问题，考查形式为选择题或填空题解决此类问题需明确：在钟表上，1分钟分针走6，1小时时针走30 例4 从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是( ) a30 b60 c90 d120解析：从3时到6时共3小时，时针旋转角的度数为30390 答案：c考点4 从不同方向看立体图形 考点突破：从不同方向看立体图形是中考的热点问题，几乎每套中考题中都会出现，解决问题时应发挥空间想象能力，把立体图形转化为平面图形例5如图4415所示四个几何体中，从上面看得到的平面图形是圆的几何体共有( ) a1个 b2个 c3个 d4个 解析：题图中从上面看得到的平面图形是圆的几何体是圆柱和球 答案：b例6如图4416所示的几何体是由7个大小相同的小正方体组成的，该几何体从上面看得到的平面图形为( )答案：c综合验收评估测试题一、选择题1. 下列说法正确的是( )a平角是一条直线b周角是一条射线c用2倍的放大镜看1 cm的线段，这条线段变成了2 cmd用2倍的放大镜看30的角，这个角变成了602下列说法正确的是( )a直线ab与直线ba不是同一条直线b线段ab与线段ba不是同一条线段c射线oa与射线ao不是同一条射线d射线oa与射线ao是同一条射线3. 如图4417所示，abcd，则ac与bd的大小关系是( )aacbd bacbd cacbd d不能确定4. 如果线段ab6 cm，bc=5cm，那么a、c两点间的距离是( )a1 cm b55 cm c11 cm d11 cm或1 cm5. 若的补角是42，的余角是52，则和的大小关系是( )a b c d不能确定6. 如图4418所示，115，aoc90，b、o、d三点在一条直线上，则3等于( )a75 b105 c15 d1657. 一个角和它的补角的度数比为18，则这个角的余角为( )a10 b20 c70 d808. 如图4419所示，已知aocbod=78，boc 35，则aod等于( )a113 b121 c156 d86二、填空题9. 2930= 度，1825 度 分 秒10. 15分钟时间，时钟上的时针转了 度，分针转了 度11. 如图4420所示，由点b观测点a的方向是 12. 一个画家有14个棱长为1米的正方体，他在地面上把它们摆成如图4421所示的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被