【志鸿全优设计】高中数学 第二章2.2.2 椭圆的简单几何性质讲解与例题 新人教A版选修21.doc

2.2.2椭圆的简单几何性质一、椭圆的简单几何性质活动与探究1求椭圆25x216y2400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标迁移与应用1椭圆6x2y26的长轴的端点坐标是()a(1,0)，(1,0)b(6,0)，(6,0)c(，0)，(，0)d(0，)，(0，)2已知椭圆1的离心率e，求m的值1根据椭圆的方程计算椭圆的基本量时，关键是将所给方程正确化成椭圆的标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，从而准确求出a，b，进而求出椭圆的其他有关性质2在椭圆的诸多基本量中，有些是与焦点所在的坐标轴无关的，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率；而有些则是与焦点所在坐标轴有关的，如：顶点坐标、焦点坐标等，在计算时应注意确定焦点位置二、利用椭圆的几何性质求椭圆的方程活动与探究2求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x29y236有相同的焦距，且离心率为；(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，o为坐标原点，f是一个焦点，a是一个顶点，椭圆的长轴长是6，且cosofa迁移与应用1若椭圆的短轴长为4，它的一个焦点是(0,2)，则该椭圆的标准方程为_2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过p(2，6)；(2)椭圆过p(3,0)，且e1利用椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法，其步骤一般是首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数2在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在坐标轴，则应进行讨论一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定其所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长、焦距时，则不能确定焦点的位置三、直线与椭圆的位置关系活动与探究3已知椭圆1和点p(4,2)，直线l经过点p且与椭圆交于a，b两点(1)当直线l的斜率为时，求线段ab的长度；(2)当p点恰好为线段ab的中点时，求l的方程迁移与应用1直线yx1被椭圆1所截得线段的中点的坐标是()a bc d2已知椭圆1的弦ab的中点m的坐标为(2,1)，求直线ab的方程1求直线与椭圆相交所得弦长问题，通常解法是将直线方程与椭圆方程联立，然后消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求解2解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时，通常有两种方法：方法一：由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y后转化为关于x的一元二次方程，再利用根与系数的关系，运用中点坐标公式建立方程组求解方法二：通过弦ab的端点的坐标是椭圆的方程的解，得到两个“对称方程”，然后将两个方程相减，再变形运算转化为直线的斜率公式，这种方法通常称为“点差法”答案：课前预习导学【预习导引】111axa，bybbxb，ayaa1(a,0)，a2(a,0)，b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)，b1(b,0)，b2(b,0)2a2bf1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)2cx轴和y轴原点e预习交流1：提示：把已知方程化为标准方程为1，这里a5，b4，c3因此，椭圆的长轴长为2a10，短轴长为2b8，离心率为e，焦点坐标为f1(3,0)，f2(3,0)，椭圆的四个顶点坐标分别为a1(5,0)，a2(5,0)，b1(0，4)，b2(0,4)2e预习交流2：提示：可以，利用或，对椭圆的扁平程度进行刻画课堂合作探究【问题导学】活动与探究1：思路分析：结合题目给出的已知条件，先把方程化成标准形式，求出a，b的值，然后写出相关性质解：将方程变形为1，得a5，b4，所以c3故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a10和2b8，离心率e，焦点坐标为f1(0，3)，f2(0,3)，顶点坐标为a1(0，5)，a2(0,5)，b1(4,0)，b2(4,0)迁移与应用：1d2解：当焦点在x轴上时，a25，b2m，c2a2b25m又e，2，m3当焦点在y轴上时，a2m，b25，c2a2b2m5又e，2，m故m3或m活动与探究2：思路分析：根据椭圆的几何性质，正确运用a，b，c，e四个参数之间的相互关系，确定椭圆的标准方程解：(1)把方程4x29y236化成1，则其焦距为2由题意知，而c，a5，b2a2c252520所求椭圆的方程为1或1(2)椭圆的长轴长是6，cosofa，点a不是长轴的端点(是短轴的端点)|of|c，|af|a3c2，b232225椭圆的方程是1或1迁移与应用：11解析：依题意椭圆的焦点在y轴上，且c2，又知2b4，所以b2，于是a4，所以椭圆的标准方程是12解：(1)设椭圆标准方程为1或1(ab0)由已知得a2b椭圆过p(2，6)，1或1由得a2148，b237或a252，b213故所求椭圆标准方程为1或1(2)当焦点在x轴上时，过p(3,0)，a3又，cb2a2c23此时椭圆的标准方程为1，当焦点在y轴上时，过p(3,0)，b3又，a227此时椭圆的标准方程为1故所求椭圆的标准方程为1或1活动与探究3：思路分析：对于(1)，可先写出直线l的方程，再与椭圆方程联立，根据两点间距离公式以及根与系数的关系求解；对于(2)，可设出直线l的斜率得到直线的方程，然后利用根与系数的关系或“点差法”求解解：(1)由已知可得直线l的方程为y2(x4)，即yx由可得x2180，若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x20，x1x218于是|ab|63所以线段ab的长度为3(2)方法一：设l的斜率为k，则其方程为y2k(x4)联立消去y得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，由于ab的中点恰好为p(4,2)，所以4，解得k这时直线的方程为y2(x4)，即yx4方法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有两式相减得0由于p(4,2)是ab的中点，x1x28，y1y24，从而(x2x1)2(y2y1)0，kab，于是直线ab的方程为y2(x4)，即yx4迁移与应用：1c解析：联立方程消去y得3x24x20设交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，中点m(x0，y0)，x1x2，x0，y0x01所求中点的坐标为2解：方法1：易知直线斜率k存在设所求直线的方程为y1k(x2)，由得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1、x2是上述方程的两根，于是x1x2又m为ab的中点，2，解得k，且满足0故所求直线的方程为x2y40方法2：设a(x1，y1)，b(x2，y2)m(2,1)为ab的中点，x1x24，y1y22又a，b两点在椭圆上，则x4y16，x4y16，两式相减，得(xx)4(yy)0，于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，即kab故所求直线的方程为x2y40方法3：设所求直线与椭圆的一个交点为a(x，y)，由于ab的中点为m(2,1)，则另一个交点为b(4x，2y)a，b两点都在椭圆上，,，得x2y40显然a点的坐标满足这个方程，代入验证可知b点的坐标也满足这个方程，而过a，b的直线只有一条，故所求直线的方程为x2y40当堂检测1椭圆9x2y236的短轴长为()a2 b4 c6 d12答案：b解析：原方程可化为，于是b24，b2，从而短轴长为2b42中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()a bc d答案：a解析：由已知得2a18,2c6，a9，c3从而b2a2c272，又焦点在x轴上，所求椭圆的方程为3曲线与曲线 (0k9)的关系是()a有相等的焦距，相同的焦点b有相等的焦距，不同的焦点c有不等的焦距，不同的焦点d以上都不对答案：b解析：0k9，曲线是焦点在y轴上的椭圆c2(25k)(9k)16又是焦点在x轴上的椭圆且c225916，因此两曲线有相等的焦距，但焦点不相同4已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m_答案：解析：由题意知a22，b2m，c22m，5已知椭圆4x2y21及直线yxm(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；答案：解：由得5x22mxm210因为直线与椭圆有公共点，所以4m220