【全程复习方略】（山东专用）高中数学 7.9利用空间向量求空间角课时提能训练 理 新人教B版.doc

【全程复习方略】（山东专用）2013版高中数学 7.9利用空间向量求空间角课时提能训练 理 新人教b版 (45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分) 1.已知直线l1的方向向量是a(2,4，x)，直线l2的方向向量是b(2，y,2)，若|a|6，且ab0，则xy的值是()(a)3或1 (b)3或1(c)3 (d)12.若平面的法向量为u，直线l的方向向量为v，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是()(a)cos (b)cos(c)sin (d)sin3.(2012烟台模拟)已知正三棱柱abca1b1c1的棱长与底面边长相等，则ab1与侧面acc1a1所成角的正弦值等于()(a) (b) (c) (d)4.已知长方体abcda1b1c1d1中，abbc4，cc12，则直线bc1和平面dbb1d1所成角的正弦值为()(a) (b) (c) (d)5.在一个45的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45，则此直线与二面角的另一个面所成的角为()(a)30 (b)45 (c)60 (d)906.(2012无锡模拟) 如图，矩形abcd中，ab3，bc4，沿对角线bd将abd折起，使a点在平面bcd内的射影o落在bc边上，若二面角cabd的大小为，则sin 的值等于()(a) (b) (c) (d)二、填空题(每小题6分，共18分)7.(易错题)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为.8.如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是底面a1b1c1d1的中心，则ob与平面abc1d1所成角的正弦值为.9.正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成的角是.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012潍坊模拟)在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，paad4，ab2，以ac的中点o为球心、ac为直径的球面交pd于点m.(1)求证：平面abm平面pcd；(2)求直线cd与平面acm所成的角的大小.11.(2012济南模拟)如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，侧面add1a1底面abcd，d1ad1d，底面abcd为直角梯形，其中bcad，abad，ad2ab2bc2，o为ad的中点.(1)求证：a1o平面ab1c；(2)求锐二面角ac1d1c的余弦值.【探究创新】(16分)如图，在矩形abcd中，ab2，bca，pad为等边三角形，又平面pad平面abcd.(1)若在边bc上存在一点q，使pqqd，求a的取值范围；(2)当边bc上存在唯一点q，使pqqd时，求二面角apdq的余弦值.答案解析1.【解析】选a.由题意知|a|6，得x4.由ab44y2x0得x2y2，当x4时，y3，xy1；当x4时，y1，xy3，综上xy3或1.2.【解析】选d.u与v的夹角与直线l与平面的夹角的关系为sin|cosu，v|.3.【解析】选b.方法一：取a1c1的中点d，连结ad，b1d，则b1d平面acc1a1，b1ad是ab1与侧面acc1a1所成的角，设abaa12，则：ab12，b1d，sinb1ad.方法二：取ab中点o，a1b1中点o1，分别以直线ob，oc，oo1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设abaa12，则a(1,0,0)，b1(1,0,2)，c(0，0)，a1(1,0,2)，(2,0,2)，(1，0)，(0,0,2)，设平面acc1a1的法向量为n(x，y，z)，则，解得，取y，则n(3，0)，cos，n.直线ab1与侧面acc1a1所成角的正弦值是.4.【解题指南】建立空间直角坐标系，利用直线bc1与平面dbb1d1的法向量所成的角求出所求角的正弦值.【解析】选c.以d为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则a(4,0,0)，b(4,4,0)，c(0,4,0)，c1(0,4,2)，(4，4,0)，(4,0,2).易知ac平面dbb1d1，所以是平面dbb1d1的一个法向量.设bc1与平面dbb1d1所成角为，则sin|cos，|.5.【解题指南】先根据已知条件作出正确图形，确定出所求的线面角是解题的关键，然后将所求的线面角转化为求三角形内的角.【解析】选a.如图，二面角l为45，ab，且与棱l成45角，过a作ao于o，作ahl于h.连接oh、ob，则aho为二面角l的平面角，abo为ab与平面所成角.不妨设ah，在rtaoh中，易得ao1；在rtabh中，易得ab2.故在rtabo中，sinabo，abo30为所求线面角.6.【解析】选a.由题意可求得bo，oc，ao，建立空间直角坐标系如图，则c(，0,0)，b(，0,0)，a(0,0，)，d(，3,0)，(4,3,0)，(，0，)设m(x，y，z)是平面abd的一个法向量.则，取z3，x7，y.则m(7，3).又(0,3,0)是平面abc的一个法向量.cosm，.sin.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法，其步骤是建系，分别求构成二面角的两个半平面的法向量，求法向量夹角的余弦值，根据题意确定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法，该法就是首先利用二面角的定义，找出二面角的平面角，然后用向量法或解三角形法求其余弦值.7.【解析】cosm，n，m，n，两平面所成二面角的大小为或.答案：或【误区警示】本题容易认为两平面所成角只有，而忽视.8.【解析】以d为原点，da、dc、dd1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，c1(0,1,1)，o(，1)，设平面abc1d1的法向量n(x，y，z)，由，得，令x1，得n(1,0,1)，(，1)设ob与平面abc1d1所成的角为，则sin答案：9.【解析】如图，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)，设平面pac的一个法向量为n，可取n(0,1,1)，则cos，n，n60，直线bc与平面pac所成的角为906030.答案：3010.【解析】(1)依题设知，ac是所作球面的直径，则ammc.又因为pa平面abcd，则pacd，又cdad，所以cd平面pad，则cdam，所以am平面pcd，所以平面abm平面pcd.(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，p(0,0,4)，b(2,0,0)，c(2,4,0)，d(0,4,0)，m(0,2,2)；(2,4,0)，(0,2,2)，(2,0,0)设平面acm的一个法向量n(x，y，z)，由n，n，可得：，令z1，n(2，1,1).设所求角为，则sin|.所以所求角的大小为arcsin.11.【解析】(1)如图，连接co，ac，则四边形abco为正方形，ocaba1b1，ocaba1b1，故四边形a1b1co为平行四边形，a1ob1c，又a1o平面ab1c，b1c平面ab1c，a1o平面ab1c.(2)d1ad1d，o为ad的中点，d1oad，又侧面add1a1底面abcd，故d1o底面abcd，以o为原点，oc，od，od1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则c(1,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,0,1)，a(0，1,0)，(1，1,0)，(0，1,1)，(0，1，1)，(1，1,0)，设m(x，y，z)为平面cdd1c1的一个法向量，由m，m，得，令z1，则y1，x1，m(1,1,1)又设n(x1，y1，z1)为平面ac1d1的一个法向量，由n，n，得，令z11，则y11，x11，n(1，1,1)，则cosm，n，故所求锐二面角ac1d1c的余弦值为.【探究创新】【解析】(1)取ad中点o，连接po，则poad平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，po平面abcd.建立如图的空间直角坐标系，则p(0,0，a)，d(，0,0).设q(t,2,0)，则(t,2，a)，(t，2,0).pqqd，t(t)40.a2(t)，a0，t0，2(t)8，等号成立当且仅当t2.故a的取值范围为8，). (2)由(1)