【志鸿全优设计】高中数学 第二章 第3节函数的单调性目标导学 北师大版必修1.doc

3 函数的单调性 1理解函数单调性的定义2会用函数单调性的定义判断函数的单调性3能从给定的函数图像上直观得出函数的单调性及单调区间1增函数(1)定义：在函数yf(x)的定义域内的一个区间a上，如果对于任意两数x1，x2a，当x1x2时，都有_，那么，就称函数yf(x)在区间a上是增加的，有时也称函数yf(x)在区间a上是递增的 设x1，x2a，x1x2，f(x)在a上是增加的(x1x2)f(x1)f(x2)00.(2)几何意义：函数f(x)的图像在区间a上是_的(3)图示：如图所示【做一做1】 下列命题正确的是( )a定义在(a，b)上的函数f(x)，如果存在x1，x2(a，b)，使得x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数b定义在(a，b)上的函数f(x)，如果有无穷多对x1，x2(a，b)，使得x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数c如果f(x)在区间i1上为增函数，在区间i2上也为增函数，那么f(x)在i1i2上也一定为增函数d如果f(x)在区间i上为增函数且f(x1)f(x2)(x1，x2i)，那么x1x22减函数(1)定义：在函数yf(x)的定义域内的一个区间a上，如果对于任意两数x1，x2a，当x1x2时，都有_，那么，就称函数yf(x)在区间a上是减少的，有时也称函数yf(x)在区间a上是递减的设x1，x2a，x1x2，f(x)在a上是减少的(x1x2)f(x1)f(x2)00.(2)几何意义：函数f(x)的图像在区间a上是_的(3)图示：如图所示【做一做21】 设函数f(x)(2a1)xb是r上的减函数，则有( )aa ba ca da【做一做22】 函数f(x)在r上是减函数，则有( )af(3)f(5) bf(3)f(5)cf(3)f(5) df(3)f(5)3单调性(1)定义：如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是_或是_，那么就称函数yf(x)在这个子集上具有单调性如果函数yf(x)在_内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数(2)几何意义：函数f(x)的图像在区间a上是_或_的 一个函数出现两个或者两个以上单调区间时，不能用“”而应该用“和”来表示如函数y，其定义域为(，0)(0，)，不能说函数在(，0)(0，)上递减，而只能说函数在(，0)和(0，)上递减书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可以；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间【做一做31】 函数yx2的单调增区间为( )a(，0 b0，)c(1，) d(，)【做一做32】 已知函数yf(x)的图像如图所示，则它的单调减区间为_4最大值和最小值(1)定义：一般地，对于函数yf(x)，其定义域为d，如果存在x0d，f(x0)m，使得对于任意的xd，都有f(x)m或f(x)m，那么，我们称m是函数yf(x)的最大(小)值，即当xx0时，f(x0)是函数yf(x)的最大(小)值，记作ymaxf(x0)或yminf(x0)(2)几何意义：函数yf(x)的最大(小)值是其图像上最高(低)点的纵坐标【做一做4】 函数f(x)x1在区间3,6上的最大值和最小值分别是( )a6,3 b5,2 c9,3 d7,4答案：1(1)f(x1)f(x2)(2)上升【做一做1】 da，b项中的x1，x2不具有任意性，c项中f(x)在i1和i2上均为增函数，但在i1i2上的单调性无法判定2(1)f(x1)f(x2)(2)下降【做一做21】 df(x)是r上的减函数，2a10，即a.【做一做22】 c函数f(x)在r上是减函数，35，f(3)f(5)3(1)增加的减少的整个定义域(2)上升下降【做一做31】 a【做一做32】 和【做一做4】 b函数f(x)x1在区间3,6上是增加的，则当3x6时，f(3)f(x)f(6)，即2f(x)5，所以最大值和最小值分别是5,2.理解函数的单调性剖析：函数的单调性刻画了函数的图像特征，它反映了函数图像的变化趋势(当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图像是上升还是下降)；函数yf(x)在区间d上是增函数(减函数)，等价于对于d中任意的两个自变量x1，x2且x1x2，都有f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)，其中“任意”二字是关键，不能用具体的两个自变量代替，否则会产生错误比如函数f(x)，取x11x21，f(x1)1，f(x2)1，f(x1)f(x2)，如果由此推出f(x)是增函数就会产生错误，原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性另一方面，从反面考虑，由于存在x11x21，f(x1)1，f(x2)1，f(x1)f(x2)，我们可以下这样的结论：f(x)在整个定义域上肯定不是减函数；由定义还可以看出，函数的单调性是函数定义域内某个区间上的性质，因此它是一个局部的性质，并且在考察单调性时，必须先看函数的定义域，如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)，而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”)例如f(x)的单调减区间可以写成(0，)，(，0)或者写成(0，)和(，0)，但不能写成(0，)(，0)；由于函数的单调性是反映函数图像变化趋势的，所以在一点处没法讨论函数的单调性，比如函数yx2的单调增区间可以写成(0，)，也可以写成0，)，但是如果定义域中不包含这个点，则必须使用开区间表示；如果要证明一个函数的单调性，要严格按照定义进行，步骤如下：(1)取值：在指定区间上任意取两个自变量x1，x2且x1x2；(2)变形：主要是配方或分解因式、通分等；(3)定号：判断f(x1)f(x2)的符号；(4)结论：由定义给出结论题型一 判断或证明函数的单调性【例1】 证明函数f(x)x在(0,1)上是减少的分析：在(0,1)上任取x1，x2，且x1x2，只需证明f(x1)f(x2)即可反思：证明函数单调性，主要有2种方法(1)定义法其步骤是：在所给的区间上任取两个自变量x1和x2，通常令x1x2；比较f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；再归纳结论(2)图像法借助图像，依据函数单调性的几何意义来判断此法适合客观题(选择题和填空题)题型二 求函数的单调区间【例2】 画出函数yx22|x|3的图像，并指出函数的单调区间分析：只需画出函数的图像，看曲线在哪些区间是上升的，在哪些区间是下降的，即可确定函数的单调区间反思：利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间题型三 函数单调性的应用【例3】 已知函数f(x)在区间(0，)上是减函数，试比较f(a2a1)与f的大小分析：要比较两函数值的大小，需先比较自变量的大小反思：利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若yf(x)在给定区间上是增函数，当x1x2时，f(x1)f(x2)，当x1x2时，f(x1)f(x2)；另一方面是逆向应用，即若yf(x)在给定区间上是增函数，当f(x1)f(x2)时，x1x2，当f(x1)f(x2)时，x1x2.当yf(x)在给定区间上是减函数时，同理可得相应的结论【例4】 已知f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围分析：欲求x的取值范围，需由f(x2)f(1x)得出x2与1x的大小关系，同时要注意函数的定义域反思：解答此类问题的关键是充分利用函数的单调性，将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即将抽象不等式转化为具体不等式求解题型四 单调性与最值的综合运用【例5】 已知函数yf(x)对任意x，yr均有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)判断并证明f(x)在r上的单调性；(2)求f(x)在3,3上的最大、最小值分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用反思：证明函数的单调性，必须用定义严格证明，不能用特殊值去检验，判断函数的最值，往往从单调性入手题型五 易错辨析易错点 对单调区间与在区间上单调两个概念理解错误【例6】 若函数y|xa|在区间(，4上是减少的，则实数a的取值范围是_错解：函数y|xa|的图像如图所示，由于函数在区间(，4上是减少的，因此a4.错因分析：错解中把函数在区间(，4上是减少的误认为函数的单调减区间是(，4若把原题目改为：函数y|xa|的单调减区间是(，4，则a4符合题意答案：【例1】 证明：设0x1x21，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2).0x1x21，x1x210，x1x20.则f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)x在(0,1)上是减少的【例2】 解：yx22|x|3函数图像如图所示函数在(，1和0,1上是增加的；函数在1,0和1，)上是减少的所以函数的单调增区间是(，1和0,1，单调减区间是1,0和1，)【例3】 解：a2a12，与a2a1都是区间(0，)上的值又f(x)在区间(0，)上是减函数，ff(a2a1)【例4】 解：由题意可知解得1x2.f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，x21x.x.1x为满足题设条件的x的取值范围【例5】 解：(1)令xy0，可得f(0)0，令yx可得f(x)f(x)在r上任取x1x2，则f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)x1x2，x2x10.又x0时，f(x)0，f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)由定义可知f(x) 在r上为单调递减函数(2)f(x)在r上是减函数，f(x)在3,3上是减少的f(3)最大，f(3)最小f(3)f(2)f(1)f(1)f(1)f(1)32.f(3)f(3)2，即f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.【例6】 正解：函数y|xa|的图像如图所示，所以只要a4或a在4的右侧，都能保证函数y|xa|在区间(，4上是减少的，因此a4.1 函数yx26x10在区间(2,4)上是( )a递减函数 b递增函数c先递增再递减 d先递减再递增2 函数的单调递减区间是( )a0，) b(，0c(，0)，(0，) d(，0)(0，)3 下列函数中，在区间(0,2)上增加的是( )ay3x byx21cyx2 dyx22x34 函数f(x)x2|x|的单调递减区间是_5 求证：函数f(x)在(1，)上是减少的答案：1d由函数图像可知，函数yx26x10在区间(2,4)上先递减再递增，选d.2c由y的图像知，选c.3b(排除法)选项a，y3x在