【志鸿优化设计】（湖南专用）高考数学一轮复习 第四章三角函数、解三角形4.3三角函数的图象与性质教学案 理.doc

4.3三角函数的图象与性质1能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性1周期函数及最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_，则称f(x)为周期函数，t为它的一个周期若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域xrxrxr且xk，kz值域_单调性在_上递增，kz；在_上递减，kz在_上递增，kz；在_上递减，kz在_上递增，kz最值x_(kz)时，ymax1；x_(kz)时，ymin1x_(kz)时，ymax1；x_(kz)时，ymin1无最值奇偶性_对称性对称中心_对称轴_无对称轴最小正周期_1函数ycos，xr()a是奇函数b是偶函数c既不是奇函数也不是偶函数d既是奇函数又是偶函数2下列函数中，在上是增函数的是()aysin xbycos xcysin 2xdycos 2x3函数ycos的图象的一条对称轴方程是()ax bxcx dx4函数f(x)tan x(0)的图象的相邻的两支截直线y所得线段长为，则f的值是()a0 b1 c1 d5已知函数ysin x的定义域为a，b，值域为，则ba的值不可能是()a bc d一、三角函数的定义域与值域【例1】(1)求函数ylg sin 2x的定义域(2)求函数ycos2xsin x的最大值与最小值方法提炼1求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sin x，cos x的值域；(2)形式复杂的函数应化为yasin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题请做演练巩固提升2二、三角函数的单调性【例21】已知函数f(x)2sin(x)，xr，其中0，.若f(x)的最小正周期为6，且当x时，f(x)取得最大值，则()af(x)在区间2，0上是增函数bf(x)在区间3，上是增函数cf(x)在区间3，5上是减函数df(x)在区间4，6上是减函数【例22】设ar，f(x)cos x(asin xcos x)cos2满足ff(0)，求函数f(x)在上的最大值和最小值方法提炼1熟记ysin x，ycos x，ytan x的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础2求形如yasin(x)k的单调区间时，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间即可，注意a的正负以及要先把化为正数求yacos(x)k和yatan(x)k的单调区间类似请做演练巩固提升3三、三角函数的周期性和奇偶性及对称性【例31】设函数f(x)sin(x)，给出以下四个论断：它的最小正周期为；它的图象关于直线x成轴对称图形；它的图象关于点成中心对称图形；在区间上是增函数以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_(用序号表示即可)【例32】(2012湖北高考)设函数f(x)sin2x2sin xcos xcos2x(xr)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域方法提炼1求三角函数周期的方法：(1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：yasin(x)和yacos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为；(3)利用图象2三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用请做演练巩固提升1不注意a，的符号，易把单调性弄反或把区间左右的值弄反【典例】 设f(x)asin 2xbcos 2x，其中a，br，ab0，若f(x)对一切xr恒成立，则f0f(x)既不是奇函数也不是偶函数f(x)的单调递增区间是(kz)存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交以上结论正确的是_(写出正确结论的编号)解析：由f(x)对一切xr恒成立知，直线x是f(x)的对称轴，又f(x)sin(2x)的周期为，ff可看作x的值加了个周期f0，故正确，和与对称轴的距离相等，故不正确x是对称轴，sin1.2k，kz.2k或2k，kz.tan ，ab.f(x)2|b|sin或f(x)2|b|sin.f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故正确由以上知，f(x)2|b|sin的单调递增区间为，kz，f(x)2|b|sin的单调递增区间为，kz，由于f(x)的解析式不确定，单调递增区间也不确定，故不正确f(x)asin 2xbcos 2xsin(2x)，f(x).又ab0，a0，b0.b.过点(a，b)的直线必与函数f(x)的图象相交，故不正确答案：答题指导：1在解答本题时易犯以下两点错误：(1)在求中f(x)的单调递增区间时，运算化简不准确，而使判断错误；(2)对于的判断不是根据推导，而是凭借印象想当然做出判断，而使解答错误2解决三角函数性质的问题时，还有以下几点在备考时要高度关注：(1)化简时公式应用要准确；(2)有的题目涉及到角的范围时要考虑全面；(3)和其他内容结合时要注意三角函数的值域1(2012大纲全国高考)若函数f(x)sin(0,2)是偶函数，则()a. b. c. d.2函数yln(sin xcos x)的定义域为_3函数y2sin的单调递增区间为_4已知函数f(x)2sincoscos.(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；(2)令g(x)f，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由5已知函数f(x)sin x(cos xsin x)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数ysin 2x的图象向左平移a个单位，向下平移b个单位，得到函数yf(x)的图象，求a，b的值；(3)求函数f(x)的单调增区间参考答案基础梳理自测知识梳理1f(xt)f(x)2y|1y1y|1y1r(2k1)，2k2k，(2k1)2k2k2k2k奇偶奇(k，0)，kz，kz，kzxk，kzxk，kz22基础自测1c解析：f(x)f(x)且f(x)f(x)，f(x)cos，xr既不是奇函数，也不是偶函数2d解析：ysin x和ycos x在上是减函数，ysin 2x在上不单调，ycos 2x在上是增函数3b解析：令2xk(kz)即x(kz)，检验知，x，故选b.4a解析：由题意，周期t，4.则ftantan 0.故选a.5a解析：画出函数ysin x的草图(图略)，分析知ba的取值范围为，故选a.考点探究突破【例1】 解：(1)依题意有解得即函数的定义域为.(2)设sin xt，则t.y1sin2xsin x2，t.故当t，即x时，ymax，当t，即x时，ymin.【例21】 a解析：函数f(x)的最小正周期为6，6，得，在x时，函数f(x)取得最大值，2k.又，.f(x)2sin.由2kx2k(kz)，得6kx6k(kz)f(x)的增区间是(kz)取k0，得是f(x)的一个增区间，函数f(x)在区间2，0上是增函数【例22】解：f(x)asin xcos xcos2xsin2xsin 2xcos 2x.由ff(0)得1，解得a2.因此f(x)sin 2xcos 2x2sin.当x时，2x，f(x)为增函数，当x时，2x，f(x)为减函数，所以f(x)在上的最大值为f2.又因f，f，故f(x)在上的最小值为f.【例31】 (答案不唯一，也可填)解析：若把作条件可知2，x2k，取.因此f(x)sin， 可验证都是正确的，因此，同理可验证.【例32】 解：(1)因为f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin，由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1.所以2k(kz)，即(kz)又，kz，所以.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点，得f0，即2sin2sin ，即.故f(x)2sin，函数f(x)的值域为2，2演练巩固提升1c解析：f(x)sin是偶函数，f(0)1.sin1.k(kz)3k(kz)又0,2，当k0时，.故选c.2.解析：由已知得sin xcos x0，即sin xcos x.在0,2内满足sin xcos x的x的集合为.又正弦、余弦函数的周期为2，所求定义域为.3.(kz)解析：由2kx2k(kz)，得2kx2k(kz)，函数的单调递增区间为(kz)4解：(1)f(x)sincos2sin，f(x)的最小正周期t4.当sin1时，f(x)取得最小值2，当sin1时，f(x)取得最大值2.(2)由(1)知f(x)2sin，又g(x)f，g(x)2sin2sin2cos.g(x)2cos2cosg(x)，函数g