【志鸿优化设计】七年级数学下册 第10章 10.1 相交线讲解与例题 （新版）沪科版(1).doc

10.1相交线1认识什么是相交线，理解对顶角、邻补角的概念，知道对顶角相等并能应用2认识垂直是相交的一种特殊情况，理解过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，知道垂线段最短，并能应用3会过一点作已知直线(线段)的垂线1对顶角(1)对顶角的概念两条直线相交时，可以形成四个角：如图，1，2，3，4.1和2有公共顶点o，并且它们的两边分别互为反向延长线，我们把这样两个具有特殊位置的角叫做对顶角即一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角如图中的1和2，3和4是对顶角(2)对顶角的特征两个角有公共顶点；两个角的边分别互为反向延长线，因此，只有两条直线相交才能产生对顶角两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角(3)对顶角的性质对顶角相等【例11】下列图形中1与2是对顶角的是()解析：选项a，两边不互为反向延长线，不是对顶角；选项b，两角没有公共顶点，不是对顶角；选项c，两角没有公共顶点，不是对顶角；选项d，两角有公共顶点，两边分别互为反向延长线，是对顶角答案：d(1)判断两个角是否是对顶角，要看两个角是否是两条直线相交所得到的，还要看这两个角是不是有公共顶点(2)对顶角是成对的两条直线相交所构成的四个角中，共有两对对顶角【例12】已知与的和是200，与是对顶角，则_.解析：设x，根据对顶角相等，则x，根据题意，得200，即2x200，解得x100，即100.答案：1002垂线(1)垂线的概念如图，当两条直线ab和cd相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作“abcd”，读作“ab垂直于cd”，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点o叫做垂足垂线的三要素：两条直线；相交；一个角是直角(1)线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直(2)两条直线互相垂直，则四个角为直角反之也成立(2)垂线的性质过一点有且只有一条直线垂直于已知直线其中的“有且只有”包含两层含义：“有”即存在一条与已知直线垂直的直线；“只有”是说与已知直线垂直的直线是唯一的即说的是垂线的存在性和唯一性【例21】若a与b是对顶角且互补，则它们两边所在的直线()a互相垂直b互相平行c既不垂直也不平行d不能确定解析：a与b是对顶角且互补，根据对顶角的性质，可判断这两个角相等，且都为90，因此它们两边所在的直线互相垂直答案：a【例22】如图，abcd于点b，be是abd的平分线，则cbe的度数为_解析：因为abcd，所以abdabc90.因为be是abd的平分线，所以abe9045，即cbe9045135.答案：1353垂线段(1)垂线段的定义垂线段是指连接直线外一点与垂足形成的线段如图，设点p是直线外一点，pa，pb，pc，po都和直线l相交，其中pol，垂足为o，则线段po就是点p到直线l的垂线段，可见直线外一点到这条直线的垂线段只有一条，其余的pa，pb，pc，都是斜线段，斜线段有无数条(2)垂线段的性质在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短简单的记为“垂线段最短”(3)点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离上图中线段po的长度叫点p到直线l的距离垂线是直线；垂线段特指一条线段，都是图形；点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，是有单位的【例31】如图所示，bac90，adbc，垂足为d，则下列结论：ab与ac互相垂直；ad与ac互相垂直；点c到ab的垂线段是线段ab；点a到bc的距离是线段ad；线段ab的长度是点b到ac的距离；线段ab是点b到ac的距离其中正确的有()a2个 b3个 c4个 d5个解析：根据垂直的特征：交角为直角，可得正确，错误c点到ab的垂线段应是ac，故错误点a到bc的距离是指线段ad的长度，故错误符合定义，正确，故错误答案：a【例32】教师请三名同学测量一名同学的跳远成绩(落地点与起跳线间的距离)，因测量的方法不同，报给教师的成绩是：1.8 m,2 m，2.4 m，则该同学跳远的准确成绩应是()a1.8 m b小于1.8 mc不大于1.8 m d2 m解析：因为由落地点到起跳线(直线)的距离是该同学的成绩，根据“垂线段最短”，而2.421.8，故该同学落地点到起跳线的距离应小于或等于(即不大于)1.8 m，应选c答案：c4画垂线(1)用量角器画垂线经过直线上一点画已知直线的垂线先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器底边的中心点与直线上已知的点o重合，再在量角器90度所对的位置处标出一点c，拿走量角器，过o，c两点作直线oc即可经过直线外一点画已知直线的垂线先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器90度的垂直线经过直线外的点p，再在量角器90度所对的位置处标出一点c，拿走量角器，过p，c两点作直线pc即可(2)用三角板画垂线用三角板画垂线的步骤如下：a落：使三角板的一条直角边落在已知直线上；b过：移动三角板，使三角板的另一直角边经过已知点；c画：沿过已知点的直角边画直线【例41】如图所示，abc是依次连接平面上的三点a，b，c形成的三角形，分别过点a作bc的垂线，过点c作ab的垂线，过点b作ac的垂线分析：过已知点作已知线段的垂线就是作线段所在的直线的垂线解：所作垂线如图中的线段ad，ce与bf.【例42】如图，过点a，分别画oa，ob的垂线分析：过a点作oa的垂线，就是过直线oa上的点a所作的垂直于oa的直线，垂足为a；作ob的垂线，就是作ob所在直线的垂线解：如图，直线cd，ae即为所求，即直线cdoa，垂足为a，aebo，垂足为e.如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上5与相交线有关的角的计算与相交线有关的角的计算问题所涉及的知识主要是对顶角、垂直及角的和差倍分问题，解答的关键是正确应用对顶角的性质和垂直的定义由两条直线互相垂直，我们可以有下列的简单推理：如图，因为aoc90(已知)，所以abcd(垂直的定义)反过来，因为abcd(已知)，所以aoc90(垂直的定义)【例5】如图，直线ab，cd相交于点o，oecd，ofab，dof65，求boe和aoc的度数解：因为oecd，ofab(已知)，所以bofdoe90(垂直定义)因为bodbofdof906525，所以boedoebod902565，aocbod25(对顶角相等)6邻补角两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角如图，1和2有公共顶点o，且有一条公共边oa，另两边成一条直线，所以1和2是邻补角邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角如图中的1和2是邻补角对于邻补角的概念要抓住其本质特征：一是有公共顶点；二是有一条公共边；三是另一边互为反向延长线(1)邻补角是具有特殊位置关系的两个角，是两角互补的特例，补角主要是从数量关系上来看两个角的，而邻补角不仅从数量关系上满足两个角的和是180，还必须同时具备位置上的关系(2)如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定互补；但两个角互补，它们不一定互为邻补角(3)一个角的补角可以有很多，但一个角的邻补角只有两个【例61】如图所示，直线ab，cd，ef相交于点o，指出aoc，eob的对顶角，aoc的邻补角图中一共有几对对顶角？几对邻补角？分析：找一个角的对顶角时，可分别反向延长这个角的两边，以延长线为边的角即是原角的对顶角找一个角的邻补角时，可先固定一边，反向延长另一边，则由固定边和延长线组成的角即是原角的邻补角aoc的邻补角应有两个，一个为固定oa，反向延长oc；另一个为固定oc，反向延长oa三条直线相交于一点，共有三组不同的两条直线相交，即ab与cd，ab与ef，cd与ef，每两组直线相交，就得到2对对顶角，4对邻补角，故有32对对顶角，34对邻补角解：aoc的对顶角是bod，eob的对顶角是aof；aoc的邻补角是aod，boc图中共有6对对顶角，12对邻补角【例62】如图所示，直线ab和cd相交于点o，若aod与boc的和为236，则aoc的度数为()a62b118c72d59解析：aod与boc是对顶角，因此它们相等，从而可求出aod118，再根据邻补角关系求出aoc62.故选a答案：a【例63】若1的对顶角是2，2的邻补角是3，345，则1的度数为_解析：因为2的邻补角是3，345，所以21803135.因为1的对顶角是2，所以12135.答案：1357垂线段最短在实际生活中的应用求最短路线问题就是一类最优化问题，我们所学的“两点之间，线段最短”与“垂线段最短”是解决这类问题的两个重要依据当然如何将实际问题转化为数学问题也是解题的关键之一“两点之间，线段最短”主要解决两点之间的距离最短问题；“垂线段最短”是解决点与直线间距离最短的问题，通常过这个点作已知直线的垂线段，垂线段的长度就是最短距离【例7】如图，要挖一条水渠，要求先把水送到b地，然后再送到a地请你设计一条最短的路线，并在图上画出来分析：解本题的关键是在直线l上找一点c，使线段bc最短要使点到直线的距离最小，考虑垂线段解：如图，连结点a、点b，过点b作bcl于点c，折线abc就是水渠的线路8相交线中的规律探究如图，是两两相交的直线在平面内，两条直线相交只有一个交点，能形成2对对顶角，而且最多把平面分为4部分；如果3条直线两两相交，最多有3个交点，能形成6对对顶角，而且最多把平面分为7部分；，n条直线两两相交，最多有n(n1)个交点，能形成n(n1)对对顶角，最多把平面分为1n(n1)部分解题时，要逐个画出图形，对所画出的图形与前一个图形进行对比探究，找到前后之间的内在联系【例81】三条直线两两相交共有交点()a1个 b2个c3个 d1个或3个解析：有两种情况，一是三条直线过同一点，