2016届高考理科数学创新题专题(有点难).pdf

2012016 6 届高考数学创新题专题届高考数学创新题专题 1 m O P Q MN 2012016 6 届高考数学创新题专题届高考数学创新题专题 1 已知集合 23 0123 333 Ax xaaaa 其中 0 1 2 0 1 2 3 k ak 且 3 0a 则A中所有元素之和等于 A 3240B 3120C 2997D 2889 2 函数 f x a 2 x bx c a 0 的图象关于直线 x 2 b a 对称 据此可推测 对任意的非 零实数 a b c m n p 关于 x 的方程 m f x 2 nf x p 0 的解集都不可能是 A 1 2B 1 4C 1 2 3 4D 1 4 16 64 3 对数列 n a 如果 k N及 12 k R 使 1122n kn kn kkn aaaa 成立 其中 n N 则称 n a为k阶递归数列 给出下列三个结论 1若 n a是等比数列 则 n a为1阶递归数列 2若 n a是等差数列 则 n a为2阶递归数列 3若数列 n a的通项公式为 2 n an 则 n a为3阶递归数列 其中 正确结论的个数是 A 0B 1C 2D 3 4 如图 半径为 2 的 O与直线MN相切于点P 射线PK 从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM 旋转过程中 PK交 O于点Q 设POQ 为x 弓 形PmQ的面积为 Sf x 那么 f x的图象大致是 4 x2 2 4 S O x 2 2 4 S O x2 2 S O x2 2 4 S O ABCD 5 在空间直角坐标系中 对其中任何一向量 123 Xx xx 定义范数 X 它满足以下 性质 1 0X 当且仅当X为零向量时 不等式取等号 2 对任意的实数 XX 注 此处点乘号为普通的乘号 3 XYXY 2012016 6 届高考数学创新题专题届高考数学创新题专题 2 在平面直角坐标系中 有向量 12 Xx x 下面给出的几个表达式中 可能表示向量 X的范数的是 把所有正确答案的序号都填上 1 2 2 2 1 2xx 2 22 12 2xx 3 22 12 2xx 4 22 12 xx 6 如图 已知平面l A B是l上的两个点 C D在平面 内 且 DACB 4AD 6 8ABBC 在平 面 上有一个动点P 使得APDBPC 则 PABCD 体积的最大值是 A 24 3B 16 C 48D 144 7 已知线段 AB 上有 10 个确定的点 包括端点 A 与 B 现对这些点进行往返标数 从 A B A B 进行标数 遇到同方向点不够数时就 调头 往回数 如图 在点 A 上标 1 称为点 1 然后从点 1 开始数到第二个数 标上 2 称为点 2 再从点 2 开始数到第三个数 标上 3 称为点 3 标上数 n 的点称为点 n 这样一直继续下去 直到 1 2 3 2012 都被标记到点上 则点 2012 上的所有标数 中 最小的是 8 有连续的自然数 1 2 3 n 去掉其中一个数后 剩下的数的平均数是 16 则满足 条件的 n 的最小值是 9 从 1 到 k 这 k 个整数中最少应选 m 个数才能保证选出的 m 个数中必存在三个不同的数可 构成一个三角形的三边长 1 若 k 10 则 m 2 若 k 2012 则 m 10 由 19 条水平直线与 19 条竖直直线组成的1818 的围棋棋盘中任选一个矩形 1 有种不同的选法 2 所得矩形为正方形的概率为 11 下图展示了一个由区间 0 1 到实数集 R 的映射过程 区间 0 1中的实数 m 对应数轴上 的点 M 如图 1 将线段AB围成一个圆 使两端点 A B 恰好重合 如图 2 再将这个 圆放在平面直角坐标系中 使其圆心在 y 轴上 点 A 的坐标为 0 1 如图 3 图 3 中直 线AM与 x 轴交于点 0N n 则 m 的象就是 n 记作 f mn A C B D P AB 123 56 4 2012016 6 届高考数学创新题专题届高考数学创新题专题 3 方程 0f x 的解是x 下列说法中正确命题的序号是 填出所有正确命题的序号 1 1 4 f f x是奇函数 f x在定义域上单调递增 f x的图象关于点 1 0 2 对称 12 F是抛物线 2 2ypx 0 p的焦点 过焦点F且倾斜角为 的直线交抛物线于 A B 两点 设 AFa BFb 则 若 60 且ba 则 b a 的值为 ba 用p和 表示 13 若正整数 i n i i NaaN 1 称 n i i aT 1 为 N 的一个 分解积 1 当 N 分别等于 6 7 8 时 它们的 分解积 的最大值分别为 2 当 N 3m 1 Nm 时 它的 分解积 的最大值为 14 若 12 0 nni Aa aaa 或1 1 2 in 则称 n A为0和1的一个n位排列 对于 n A 将排列 121nn a a aa 记为 1 n R A 将排列 112nnn aa aa 记为 2 n RA 依此类推 直 至 n nn RAA 对于排列 n A和 i n R A 1 2 1 in 它们对应位置数字相同的个 数减去对应位置数字不同的个数 叫做 n A和 i n R A的相关值 记作 i nn t A R A 例 如 3 110A 则 1 3 011R A 1 33 1t A R A 若 1 1 2 1 i nn t A R Ain 则称 n A为最佳排列 写出所有的最佳排列 3 A 若某个 21 k Ak 是正整数 为最佳排列 则排列 21k A 中1的个数 15 对于集合 M 定义函数 1 1 M xM fx xM 对于两个集合 M N 定义集合 1 MN M Nx fxfx 已知 2 4 6 8 10 A 1 2 4 8 16 B 1 用 列举法写出集合A B 2 用 Card M 表示有限集合 M 所含元素的个 数 当 Card X ACard X B 取最小值时集合 X 的可能情况有 种 16 若对于正整数k g k表示k的最大 奇数因数 例如 3 3g 10 5g 设 1 2 3 4 2 n n Sggggg 1 则 2 S 2 n S 2012016 6 届高考数学创新题专题届高考数学创新题专题 4 17 若数列 n A满足 2 1nn AA 则称数列 n A为 平方递推数列 已知数列 n a中 2 1 a 点 1 nn aa 在函数xxxf22 2 的图像上 其中 n 为正整数 证明数列 1 2 n a是 平方递推数列 且数列 1 lg 2 n a为等比数列 设 中 平 方 递 推 数 列 的 前 n 项 之 积 为 n T 即 12 12 12 21 nn aaaT 求数列 n a的通项及 n T关于n的表达式 记 21 log n nan bT 求数列 n b的前n项和 n S 并求使2012 n S 的n的最小值 18 已知函数 2 f xxx fx为函数 f x的导函数 若数列 n a满足 1 nn afa 且 1 1a 求数列 n a的通项公式 若数列 n b满足 1 bb 1 nn bf b 是否存在实数 b 使得数列 n b是等差 数列 若存在 求出 b 的值 若不存在 请说明理由 若 b 0 求证 1 1 1 n i i i b bb 2012016 6 届高考数学创新题专题届高考数学创新题专题 5 19 直线 2 1 2 1 2 1 0 1 21 xylkkkkxyl与与相交于点P 直线 1 l与x轴交 于点 1 P 过点 1 P作x轴的垂线交直线 2 l于点 1 Q 过点 1 Q作y轴的垂线交直线 1 l于点 2 P 过点 2 P作x轴的垂线交直线 2 l于点 2 Q 这样一直作下去 可得到一系列 1122 P Q P Q 点 n P 1 2 n 的横坐标构成数列 n x 1 当2 k时 求点 123 P P P的坐标并猜出点 n P的坐标 不用证明 2 证明数列 1 n x是等比数列 并求出数列 n x的通项公式 3 比较5 4 2 2 1 22 PPkPPn与的大小 2012016 6 届高考数学创新题专题届高考数学创新题专题 6 20 在直角坐标平面上有一点列 222111nnn yxPyxPyxP 对一切正整数n 点 n P位于函数 4 13 3 xy的图象上 且 n P的横坐标构成以 2 5 为首项 1 为公差的等 差数列 n x I 求点 n P的坐标 II 设抛物线列 321n cccc 中的每一条的对称轴都垂直于x轴 第n条抛物线 n c 的顶点为 n P 且过点 1 0 2 nDn 记与抛物线 n c相切于 n D的直线的斜率为 n k 求 nn kkkkkk 13221 111 III 设 NN nyyyTnxxxS nn 4 2 等差数列 n a的任一项 n aST 其中 1 a是ST 中的最大数 125265 10 a 求 n a的通项公式 2012016 6 届高考数学创新题专题届高考数学创新题专题 7 21 已知数列 12 nn Aa aa 2 nn N满足0 1 n aa 且当nk 2 Nk 时 1 2 1 kk aa 令 1 n ni i S Aa 写出 5 AS的所有可能的值 求 n AS的最大值 是否存在数列 n A 使得 2 3 4 n n S A 若存在 求出数列 n A 若不存在 说明 理由 2012016 6 届高考数学创新题专题届高考数学创新题专题 8 22 将正整数 2012 表示成n个正整数 123 n x x xx 之和 记 1 ij ij n sx x I 当2n 时 12 x x取何值时s有最大值 II 当5n 时 12345 x xx xx分别取何值时 s取得最大值 并说明理由 III 设对任意的 1 ij 5 且 ij xx 2 当 12345 x xx xx取何值时 S 取得最小值 并说明理由 2012016 6 届高考数学创新题专题届高考数学创新题专题 9 20142014 届高考数学创新题专题届高考数学创新题专题 参考答案参考答案 1 12 23 34 45 56 6 D DD DD DD D 1 4 1 4 C C 5 解析 知当且仅当X为零向量时 X 0因此可以排除 2 3 现 在 探 索 一 下 1 是 否 满 足 性 质 3 222222 2 22nbmanmba 2222 2mbnaabmn 这是显然成立的 所以 1 满足性质 3 又 1 显然满足性质 2 所以 1 能表示 X 的范数 同理可以知道 4 也可以表示所以经过验证后可以知道正确的是 1 4 7 3 8 30 9 1 若 k 10 则 m 6 2 若 k 2012 则 m 17 10 1 有29241种不同的选法 2 所得矩形为正方形的概率为 513 37 11 解析 i 0 xf则 2 1 x ii 当 4 1 m 时 ACM 2 此时1 n故 1 4 1 f 错 xf的定义域为 1 0 不关于原点对称 错 显然随着 m 的增大 n 也增大 所以 f x在定义域上单调递增 对 又整个过程是对称的 所以 对 12 3 2 sin 2p AB 或 2 2 tan 1tan2 p 13 1 9 12 18 2 1 m 34 14 解 最佳排列 3 A为110 101 100 011 010 001 211221 0 kki Aa aaa 或1 1 2 21 ik 得 1 2121 122 kkk R Aaa aa 2 21221 1221 kkkk RAa aa aa 21 213421 12 k kk RAa aaa a 2 212321 1 k kk RAa aaa 因为 2121 1 1 2 2 i kk t AR Aik 所以 21k A 与每个 21 i k R A 有k个对应位置数码相同 有1k 个对应位置数码不 同 因此有 12121221212 1 kkkkk aaaaaaaak 122212222121 1 kkkkkk aaaaaaaak 132421212 1 kk aaaaaaaak 1223221211 1 kkk aaaaaaaak 以上各式求和得 1 2Skk 2012016 6 届高考数学创新题专题届高考数学创新题专题 10 另一方面 S还可以这样求和 设 12221 kk a aaa 中有x个0 y个1 则2Sxy 所以 21 22 1 xyk xyk k 解得 1 xk yk 或 1 xk yk 所以排列 21k A 中1的个数是k或1k 15 解 1 6 10 16 A B 根 据 题 意 可 知 对 于 集 合 C X 若aC 且aX 则 1Card CXaCard C X 若aC 且aX 则 1Card CXaCard C X 所以 要使 Card X ACard X B 的值最小 2 4 8 一定属于集合X 1 6 10 16 是否属于X不影响 Card X ACard X B 的 值 集合X不能含有AB 之外的元素 所以 当X为集合 1 6 10 16 的子集与集合 2 4 8 的并集时 Card XACard XB 最小值 4 X 的可能情况有 16种 16 解 2 1 2 3 4 1 1 3 16Sgggg 不难发现对m N 有 2 gmg m 所以当2n 时 1 2 3 4 21 2 nn n Sgggggg 1 3 5 21 2 4 2 nn ggggggg 1 1 35 21 2 1 2 2 2 2 nn ggg 1 1 121 2 1 2 2 2 nn n ggg 1 1 4n n S 于是 1 1 4n nn SS 2 nn N 所以 112211 nnnnn SSSSSSSS 122 44442 nn 1 4 14 42 2 1433 nn 2 nn N 又 1 2S 满足上式 所以对n N 1 42 3 n n S 17 解 I 因为 222 11 22 212 22 1 21 nnnnnnn aaaaaaa 所以数列 1 2 n a是 平方递推数列 2 分 由以上结论 2 1 lg 21 lg 21 2lg 21 nnn aaa 所以数列 1 lg 2 n a为首项是lg5公比为 2 的等比数列 II 1 112 1 lg 21 lg 21 22lg5lg5 n nn n aa 11 22 1 215 51 2 nn nn aa 1 lglg 21 lg 21 21 lg5 n nn Taa 21 5 n n T III 11 lg 21 lg51 2 lg 21 2lg52 n n n nn n T b a 1 1 22 2 n n Sn 1 1 222012 2n n 1 1007 2n n min 1007n 18 解 因为 2 f xxx 所以 21fxx 所以 1 21 nn aa 所以 1 12 1 nn aa 且 1 11 12a 所以数列 1 n a 是首项为 2 公比为2的等比数列 2012016 6 届高考数学创新题专题届高考数学创新题专题 11 所以 1 12 22 nn n a 即21 n n a 4 分 假设存在实数b 使数列 n b为等差数列 则必有 213 2bbb 且 1 bb 2 21 bf bbb 222 32 bf bbbbb 所以 2222 2 bbbbbbb 解得0b 或2b 当0b 时 1 0b 1 0 nn bf b 所以数列 n b为等差数列 当2b 时 1 2b 2 2b 3 6b 4 42b 显然不是等差数列 所以 当0b 时 数列 n b为等差数列 9 分 1 0bb 1 nn bf b 则 2 1 nnnn bf bbb 所以 2 1nnn bbb 所以 2 1 11111 11 nnnnnn nnnnnnnnn bbbbbb bbbbbbbbb 因为 2 1 0 nnn bbb 所以 111 0 nnn bbbbb 所以 1 1122311 111111111 n i i innn b bbbbbbbbbb 19 解 1 16 15 32 31 4 3 8 7 0 2 1 321 PPP 可猜得 22 22 12 12 2 12 2 12 n n n n n P 2 设点 n P的坐标是 nn yx 由已知条件得 点 1 nn Q P 的坐标分别是 2 1 2 1 2 1 2 1 1 nnnn xxxx 由 1n P 在直线 1 l上 得 1 2 1 2 1 1 kkxx nn 所以 1 1 2 1 1 nn xkx即 1 1 1 1 2 nn xxn k N 所以数列 1 n x是首项为 1 1 x公比为 k2 1 的等比数列 由题设知 0 1 1 1 1 11 k x k x 从而 1 111 1 12 22 nn nn xxn kkk N即 3 由 2 1 2 1 1 xy kkxy 得点P的坐标为 1 1 所以 2 1 2 2 1 8 11 2 1 2 2 222222 nn nnn kk kkxxPP 945 10 1 1 1 45 4 22222 1 2 k k kPPk i 当 2 1 2 1 2 1 kkk或即时 5 4 2 1 2 PPk1 910 而此时 5 4 2 10218 2 1 2 1 0 2 1 222 PPkPPPP k nn 故所以 ii 当 2 1 0 0 2 1 2 1 0 kk即即时 5 4 2 1 2 PPk1 910 2012016 6 届高考数学创新题专题届高考数学创新题专题 12 而此时 5 4 2 10218 2 1 2 1 2 1 222 PPkPPPP k nn 故所以 20 解 I 2 3 1 1 2 5 nnxn 13535 33 3 4424 nnn yxnPnn II n c 的对称轴垂直于x轴 且顶点为 n P 设 n c的方程为 4 512 2 32 2 nn xay把 1 0 2 nDn代入上式 得1 a n c 的方程为 1 32 22 nxnxy 322 nxy 当0 x时 32 nkn 32 1 12 1 2 1 32 12 11 1 nnnnkk nn nn kkkkkk 13221 111 32 1 12 1 9 1 7 1 7 1 5 1 2 1 nn 64 1 10 1 32 1 5 1 2 1 nn III 1 32 nNnnxxS 1 512 nNnnyyT 1 3 16 2 nNnnyy STT T 中最大数17 1 a 设 n a公差为d 则 125 265 917 10 da 由此得 Nn n247a 24d Nm m12dTa 12d 9 248 n n 又 21 解 由题设 满足条件的数列 5 A的所有可能情况有 1 0 1 2 1 0 此时 5 4S A 2 0 1 0 1 0 此时 5 2S A 3 0 1 01 0 此时 5 0S A 4 0121 0 此时 5 4S A 5 01 0 1 0 此时 5 0S A 6 01 01 0 此时 5 2S A 所以 5 AS的所有可能的值为 4 2 0 2 4 4 分 由1 2 1 kk aa 可设 11kkk aac 则 1 1 k c 或 1 1 k c nk 2 k N 因为 11nnn aac 所以 11221nnnnnn aacacc 11221nn acccc 因为0 1 n aa 所以 121 0 n ccc 且n为奇数 121 n c cc 是由 2 1 n 个 1 和 2 1 n 个1 构成的数列 所以 112121 nn S Acccccc 1221 1 2 2 nn ncnccc 则当 121 n c cc 的前 2 1 n 项取1 后 2 1 n 项取1 时 n AS最大 此时 n AS 11 1 2 2 1 22 nn nn 2 1 4 n 证明如下 2012016 6 届高考数学创新题专题届高考数学创新题专题 13 假设 121 n c cc 的前 2 1 n 项中恰有t项 12 t mmm ccc 取1 则 121 n c cc 的后 2 1 n 项中恰有t项 12 t nnn ccc 取1 其中 1 1 2