【导与练】高考数学 试题汇编 第一节 排列与组合 理（含解析）.doc

第一节排列与组合 两个计数原理与排列问题考向聚焦高考对两个计数原理与排列问题的考查主要以排队、排数字、排序等为基本模型的实际问题,多带有附加条件.题型一般为选择题、填空题,有时在解答题中与概率问题相结合考查,所占分值为5分左右,难度为中、低档题,但也有个别题目难度较大备考指津(1)分类加法计数原理的特点是独立、互斥;分步乘法计数原理的特点是关联、连续.两个原理常交叉在一起使用,分类的关键在于“不重不漏”,分步的关键在于正确设计分步的步骤,恰当分类与准确分步是解答该部分题目的基础.(2)对限制条件较多的排列应用题,要周密分析,设计出合理的方案,将复杂问题分解成若干简单的基本问题后,利用两个计数原理来解决,适当地画出树状图、框图或列出表格是解决问题的有效辅助手段1.(2012年全国大纲卷,理11,5分)将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有()(a)12种(b)18种(c)24种(d)36种解析:分两步,第一步先排第1列,有a33种排法;第二步排第2列有两种排法.所以共有a332=12种排法.答案:a.2.(2012年北京卷,理6,5分)从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为()(a)24(b)18(c)12(d)6解析:第一类:若0、2中选0,则0只能在十位,百位、个位从1,3,5中选有a32=6种方法,即符合条件的奇数有6个;第二类:若0、2中选2,则2可以在百位或十位,有a21种方法,其余两位从1,3,5中选有a32种方法.选2时,符合条件的奇数有a21a32=12个.综上,由加法计数原理,符合条件的奇数有12+6=18个.答案:b.3.(2010年北京卷,理4)8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为()(a)a88a92 (b)a88c92(c)a88a72 (d)a88c72解析:解决不相邻问题采用插空法.由于要求2位老师不相邻,故可先排8名学生,共有a88种排法,然后将2名老师插到9个空中,有a92种排法,故排法种数为a88a92.故选a.答案:a.4.(2010年山东卷,理8)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()(a)36种(b)42种(c)48种(d)54种解析:若甲排在第一位,则除甲、丙外的其余4人可任意排列,有a44种排法;若甲排在第二位,则乙有a31种排法,除甲、乙、丙外的其余3人可任意排列,共有a31a33种排法,所以一共有a44+a31a33=42(种)不同的编排方案,故选b.答案:b.两个计数原理与组合问题考向聚焦两个计数原理与组合问题也几乎是高考每年必考的,且主要考查带有限制条件的组合问题,题型一般为选择题、填空题,有时与概率相结合出现在解答题中,试题难度中、低档,也有个别题目难度较大,所占分值5分左右备考指津有限制条件的组合应用题:(1)“含”与“不含”问题,其解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置,一般来讲,特殊要先满足,其余则“一视同仁”;若正面入手不易,则从反面入手,寻找问题的突破口.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义,准确把握分类标准.(2)对于多个约束条件问题,要综合考虑是分类、分步,还是交叉使用两计数原理5.(2012年浙江卷,理6,5分)若从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有()(a)60种(b)63种(c)65种(d)66种解析:和为偶数的取法共有c44+c42c52+c54=1+60+5=66,故选d.答案:d.6.(2012年陕西卷,理8,5分)两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()(a)10种(b)15种(c)20种(d)30种解析:两人打3局:2c33=2两人打4局:2c32=23=6两人打5局:2c42=24!2!2!=12故决出胜负的所有可能共有2+6+12=20种可能.答案:c.7.(2012年山东卷,理11,5分)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为()(a)232(b)252(c)472(d)484解析:本小题主要考查利用组合数公式解应用题.法一:(直接法)若红色卡片只有1张,则取法有c41c122种;若无红色卡片,则取法有c123-3c43种,所以满足条件的不同取法的种数为c41c122+c123-3c43=472种.法二:(间接法)任取3张卡片共有c163种,其中3张同色的有4c43种,2张红色的有c42c121种,所以满足条件的不同取法的种数为c163-4c43-c42c121=472种.答案:c. 本题难度较大,但思维切入点清晰,既可从条件“不能同色”想到间接法,又可从条件“至多1张”想到分类讨论思想,采用直接法,所以抓住题眼是解决本题的关键.8.(2011年安徽卷,理8)设集合a=1,2,3,4,5,6,b=4,5,6,7,8,则满足sa且sb的集合s的个数是()(a)57(b)56(c)49(d)8解析:若集合s满足sa且sb,则s中的元素至少含有4,5,6中一个,在1,2,3中任意选,由分步计数原理知,有(c30+c31+c32+c33)(c31+c32+c33)种选法,故总共有87=56(种)选法.故选b.答案:b.9.(2010年全国卷,理6)某校开设a类选修课3门,b类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有()(a)30种(b)35种(c)42种(d)48种解析:法一:分类讨论:要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法有:a类2门,b类1门或a类1门,b类2门,即c32c41+c31c42=30.法二:由正难则反思想:任选3门有c73种选法,3门全为a类的或b类的有c43+c33种选法,所以两类课程中各至少选一门的选法有c73-c43-c33=30.故选a.答案:a.10.(2010年湖南卷,理7)在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()(a)10(b)11(c)12(d)15解析:法一:分0个相同、1个相同、2个相同讨论.(1)若0个相同,则信息为:1001,共1个.(2)若1个相同,则信息为:0001,1101,1011,1000.共4个.(3)若2个相同,若位置一与二相同,则信息为:0101;若位置一与三相同,则信息为:0011;若位置一与四相同,则信息为:0000;若位置二与三相同,则信息为:1111;若位置二与四相同,则信息为:1100;若位置三与四相同,则信息为:1010.共有6个.故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1+4+6=11.法二:若0个相同,共有1个;若1个相同,共有c41=4(个);若2个相同,共有c42=6(个);故共有1+4+6=11(个).故选b.答案:b.11.(2011年北京卷,理12)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有个.(用数字作答)解析:分类讨论:若2出现一次,则四位数有c41个;若2出现二次,则四位数有c42个;若2出现3次,则四位数有c43个,所以共有c41+c42+c43=14(个).答案:14排列与组合综合问题考向聚焦高考试题常常是把排列问题与组合问题综合起来进行考查,以现实的生产、生活问题为背景,一般以选择题、填空题的形式出现,有时与概率知识相结合出现在解答题中,难度中档,占5分左右备考指津(1)解决排列与组合的应用题,通常有三种思路:以元素为主考虑,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;以位置为主考虑,应先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.前两种方法叫直接法,后一种方法叫间接(排除)法.对于复杂问题不仅要分类还要分步求解.(2)解决排列与组合问题,常用的方法有:直接计算法与间接计算法;分类法与分步法;元素分析法和位置分析法;捆绑法和插空法;隔板法和有序分组与无序分组法等方法.常用的思想有:分类讨论思想、等价转化思想、特殊优先思想、正难则反思想与一一对应思想12.(2012年新课标全国卷,理2,5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()(a)12种(b)10种(c)9种(d)8种解析:主要考查排列组合的简单应用.法一:先分组再分派,c42c22a22a22a22=12,法二:由位置选元素,先安排甲地,其余去乙地,c21c42c11c22=12,故选a.答案:a.13.(2012年辽宁卷,理5,5分)一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为()(a)33!(b)3(3!)3(c)(3!)4(d)9!解析:9个座位坐3个三口之家,每家人坐在一起,用捆绑法,不同的坐法种数为a33(a33a33a33)=(3!)4.故选c.答案:c.14.(2011年浙江卷,理9)有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机地并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是()(a)15(b)25(c)35(d)45解析:从左到右5个位置可记为1号,2号,3号,4号,5号位置,同一科目不相邻时,当语文2本在1,5位置,则数学2本在2,4位置,有22种排法.当语文2本在1,4位置,数学2本可在2,5位置或3,5位置,有222种排法.当语文2本在1,3位置,数学2本可在2,4位置或2,5位置,有222种排法.当语文2本在2,5位置,数学2本可在1,3位置或1,4位置,有222种排法.当语文2本在2,4位置,数学2本可在1,3位置或1,5位置或3,5位置,有223种排法.当语文2本在3,5位置,数学2本可在1,4或2,4位置,有222种排法.同一科目不相邻有48种排法,又5本书的总排法共有a55=120种,同一科目不相邻时的概率为48120=25.故选b.答案:b.15.(2012年重庆卷,理15,5分)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为(用数字作答).解析:随意排6节课的方法有a66=720,相邻两节文化课之间至多间隔一节艺术课的对立事件为:相邻两节文化课之间安排3节艺术课或相邻两节文化课之间安排2节艺术课,共有2a33a33+a33c21a32c31=288,所以其概率为1-288720=35.答案:35 本题考查了两个计数原理,古典概型,考查利用排列组合知识解决实际问题的能力、转化能力,难度适中.16.(2012年湖南卷,理16,5分)设n=2n(nn*,n2),将n个数x1,x2,xn依次放入编号为1,2,n的n个位置,得到排列p0=x1x2xn.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前n2和后n2个位置,得到排列p1=x1x3xn-1x2x4xn,将此操作称为c变换,将p1分成两段,每段n2个数,并对每段作c变换,得到p2.当2in-2时,将pi分成2i段,每段n2i个数,并对每段作c变换,得到pi+1,例如,当n=8时,p2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于p2中的第4个位置.(1)当n=16时,x7位于p2中的第个位置;(2)当n=2n(n8)时,x173位于p4中的第个位置.解析:(1)当n=16时,p0=x1x2x3x4x15x16,p1=x1x3x5x15x2x4x16,p2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16,所以x7位于p2中的第6个位置.(2)当n=2n时,p0=x1x2xn,p1=x1x3x5xn-12n-1个x2x4xn2n-1个,173为奇数,x173位于p1的第1段;p2=x1x5x92n-2个x3x72n-2个x2x62n-2个x4x82n-2个173=443+1,此时x173位于p2的第1段p3=x1x9x172n-3个x5x13x212n-3个p3分成8段,每段共2n-3个数,173=821+5,此时x173位于p3的第2段,p4=x1x172n-4个x9x252n-4个x5x212n-4个x13x292n-4个p4分成16段,每段共2n-4个数,173=1610+13,此时x173位于p4的第4段