【导与练】高中数学 第一课时 正、余弦定理在实际中的应用同步作业 新人教版A版必修5.doc

1.2应用举例【选题明细表】知识点、方法题号测量距离问题1、2、3测量高度问题7、8测量角度问题4、6、9、11其他问题5、10基础达标1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形,如图,测得ac的长度为4 m,a=30,则其跨度ab的长为(d) (a)12 m(b)8 m(c)3 m(d)4 m解析:由正弦定理得absinc=acsinb,由题意得c=120,b=30,ab=acsincsinb=4sin120sin30=43(m).故选d.2.如图,为了测量a、b两点间的距离,在地面上选择适当的点c,测得ac=100 m,bc=120 m,acb=60,那么a、b的距离为(b) (a)20 m(b)20 m(c)500 m (d)60 m解析:由余弦定理得ab2=ac2+bc2-2acbccos 60=1002+1202-210012012=12400,ab=2031(m),故选b.3.(2014濮阳高二期末)如图所示,已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于a km,灯塔a在观察站c的北偏东20,灯塔b在观察站c的南偏东40,则灯塔a与灯塔b的距离为(b) (a)a km(b)3a km(c)2a km(d)2a km解析:由题意得acb=120,ab2=a2+a2-2a2cos 120=3a2,ab=3a.故选b.4.在静水中划船的速度是每分钟40 m,水流的速度是每分钟20 m,如果船从岸边a处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为(b)(a)15(b)30(c)45(d)60解析:如图,sincab=2040=12,cab=30,故选b.5.(2014临沂质量抽测)一货轮航行到m处,测得灯塔s在货轮的北偏东15,与灯塔s相距20海里,随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟到达n处后,又测得灯塔在货轮的北偏东45,则货轮的速度为(b)(a)20(2+6)海里/时(b)20(6-2)海里/时(c)20(3+6)海里/时(d)20(6-3)海里/时解析:由题意得snm=105,nsm=30,mnsin30=20sin105,mn=20sin30sin105=402+6,货轮速度v=mn0.5=806+2=20(6-2).故选b.6.张帅在操场上某点b处测得学校的科技大楼ae的顶端a的仰角为,沿be方向前进30 m至点c处测得顶端a的仰角为2.继续前进10 m至d点,测得顶端a的仰角为4,则等于.解析:画出示意图,在abe中,ac=bc=30 m,cd=da=10 m,cosacd=cos 2=cd2+ac2-ad22cdac=32=15.答案:157.如图,测量河对岸的塔高ab时,可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d.测得bcd=15,bdc=30,cd=30米,并在点c测得塔顶a的仰角为60,则塔高ab=.解析:由题意可知在bcd中,bcd=15,bdc=30,cd=30,则cbd=180-bcd-bdc=135.由正弦定理可得bc=cdsinbdcsincbd=301222=152.又在rtabc中,abc=90,acb=60,ab=bctanacb=1523=156(米).答案:156 米能力提升8.如图,某城市的电视台发射塔cd建在市郊的小山上,小山的高bc为35米,在地面上有一点a,测得a,c间的距离为91米,从a观测电视发射塔cd的视角(cad)为45,则这座电视台发射塔的高度cd为.解析:ab=912-352=84,tancab=bcab=3584=512.由cd+3584=tan(45+cab)=1+5121-512=177.得cd=169.答案:169米9.甲船在a处观察到乙船在它的北偏东60方向的b处,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船速度是乙船速度的3倍,问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船?此时乙船行驶了多少海里?解:设甲船沿直线行驶与乙船同时到c点,则a、b、c构成abc,如图.设乙船速度为v,则甲船速度为3v,设到达c处用时为t. 由题意,bc=vt,ac=3vt,abc=120.在abc中,由余弦定理得ac2=ab2+bc2-2abbccos 120,3v2t2=a2+v2t2+avt.2v2t2-avt-a2=0,解得vt=-a2(舍去)或vt=a.bc=a,在abc中ab=bc=a,bac=acb=30,60-30=30.即甲船应取北偏东30的方向去追乙船,此时乙船行驶了a海里.10.如图,a、b、c、d都在同一个与水平面垂直的平面内,b、d为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面a处测得b、d两点的仰角分别为75,30,于水面c处测得b、d两点的仰角分别为60,60,ac=0.1 km,试探究图中哪两点间距离与bd相等,并求bd(计算结果精确到0.01 km,21.414,62.449) 解:在acd中,dac=30,adc=60-dac=30,cd=ac,又bcd=180-60-60=60=acb,acbdcb,ab=db.在abc中,abc=75-acb=15.由正弦定理得ab=acsin15sin 60=32+620(km).bd=32+6200.33(km).即a、b两点距离与bd相等,bd约为0.33 km.探究创新11.(2013年高考江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径.一种是从a沿直线步行到c,另一种是先从a沿索道乘缆车到b,然后从b沿直线步行到c. 现有甲、乙两位游客从a处下山,甲沿ac匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从a乘缆车到b,在b处停留1 min后,再从b匀速步行到c.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路ac长为1260 m,经测量,cos a=1213,cos c=35.(1)求索道ab的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在abc中,因为cos a=1213,cos c=35,所以sin a=513,sin c=45.从而sin b=sin-(a+c)=sin(a+c)=sin acos c+cos asin c=51335+121345=6365.由正弦定理absinc=acsinb,得ab=acsinbsin c=1260636545=1040(m).所以索道ab的长为1040 m.(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离a处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)1213=200(37t2-70t+50).由于0t1040130,即0t8,故当t=3537(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理bcsina=acsinb,得bc=acsinbsin a=12606365513=500(m).乙