例谈高中数学一题多解和一题多变的意义.doc

教育学期刊2012年5月刊推荐稿件例谈高中数学一题多解和一题多变的意义杨水长摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明：例题： 已知tan= ,求sin,cos的值分析：因为题中有sin、cos、tan，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：法一 根据同角三角函数关系式tan= = ，且sina2 + cos2 =1。两式联立，得出：cos2=,cos= 或者cos= - ；而sin=或者sin=- 。分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：法二 tan=：在第一、三象限在第一象限时： cos2 = =cos=sin=而在第三象限时： cosa=- sina=- 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：法三 tan= = = = = sin=，cos= 或sin=-，cos=-分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sin、cos、tan，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：法四 当为锐角时，由于tana=,在直角ABC中，设=A,a=3x,b=4x，则勾股定理，得，c=5xsinA= = ,cosA= = sin= ，cos= 或sin= -，cos= - 分析 ：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广： 法五 当为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设=AOT， 因为tan= ，则T点坐标是T(1, ),由勾股定理得：OT= OMP0AT= ，OM=, MP =, p(, ), sin= ，cos= 或sin=-，cos= - 分析： 圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝试用解析几何法来解此题： 解法六，如上图，易求出直线OT的方程和单位圆的方程y= x；x2+y2=1两式联立，得出： ， 或 .T点坐标是P(-, -) P(, )sin= ，cos= 或sin= -，cos= - 分析： 先考虑sin、cos两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题： 解法七tan= = 4sina-3cosa=0由三角函数辅助角公式得，5sin（a+）= 0,其中，sin= , cos=a+=k ，kZsina=sin（k -）=sin在第一、三象限容易求出sin= ，cos= 或sin=-，cos= - 分析： 仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍角公式是否能解决此问题： 解法八，由二倍角公式，得，tan= 3tan2 +8tan-3=0tan= -3,或tan= sin=2sincos=2sin= ，cos= 或sin= -，cos= -判别式 此外，我们还可以尝试从向量的角度思考这个问题，这里就不再赘述。下面展示本题的变式与推广：变式1： 已知tan=-3，求sincos的值 变式2：已知tan=m，求sin，cos的值变式3 ：已知sin=m，求cos，tan的值 由上例可以看出，一题多解和一题多变可以使学生更积极参与到课堂中来,从而激发学生对数学学习的兴趣和信心。一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法,这有助于拓宽解题思路,提高学生分析问题的能力；一道数学题通过联想、类比、推广，可以得到一系列新的题目,