22.3.1 利用二次函数求几何面积的最值问题教案与例题.doc

第1课时 利用二次函数求几何面积的最值问题1.二次函数的最值问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h30t5t2(0t6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？可以借助函数图象解决这个问题画出函数h30t5t2(0t6)的图象(如图)可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值因此，当t 时，h有最大值也就是说，小球运动的时间是3 s时，小球最高小球运动中的最大高度是45 m.一般地，当a0(a0)时，抛物线yax2bxc的顶点是最低(高)点，也就是说，当x时，二次函数yax2bxc有最小(大)值。例题：1二次函数yx24xc的最小值为0，则c的值为（B）A.2 B.4 C.-4 D.162已知0x，那么函数y2x28x6的最大值是（B）A. -6 B.-2.5 C.2 D不能确定3已知yx（x3a）1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1x5时，若y在x1时取得最大值，则实数a的取值情况是（D）A.a=9 B.a=5Ca9 Da54二次函数y2x26x1，当0x5时，y的取值范围是-y21 .5若二次函数yx2ax5的图象关于直线x2对称，且当mx0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是4m2 .2.几何面积的最值问题：总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积S最大？解：矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，所以另一边长为 m场地的面积Sl(30l)，即Sl230l(0l30)因此，当l时，S有最大值 也就是说，当l是15 m时，场地的面积S最大在周长一定的情况下，所围成的几何图形的形状不同，所得到的几何图形的面积也不同.利用二次函数求几何图形的最大（小）面积的一般步骤：（1）引入自变量，用含自变量的代数式分别表示与所求问题相关的量.（2）分析题目中的数量关系，根据题意列出函数解析式.（3）根据函数解析式求出最值及取得最值时自变量的值，注意自变量的取值范围.例题：1已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为（B）A25cm2 B50cm2 C100cm2 D不确定2用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（D）A.20 B.40 C.100 D.1203如图，在矩形ABCD中，AD1，AB2，从较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE的长，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在（A）AAD的中点 B.AE:ED=(-1):2C.AE:ED=:1 D.AE:ED=(-1):24 （2016兰州)某农场拟建三间长方形种牛饲养室饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为144 m25如图，线段AB6，点C是AB上一点，点D是AC的中点，分別以AD，DC，CB为边作正方形，则当AC4 时，三个正方形的面积之和最小。6如图，在ABC中，B90，AB8cm，BC6cm点P从点A开始沿AB向B以2cms的速度移动点Q从点B开始沿BC向C以1cms的速度移动,如果P，Q分别从A，B同时出发，当PBQ的面积最大时，运动时间为2s .7.2016内江 某中学课外兴趣活动小组准备围建个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30m的篱笆围成，已知墙长为18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为xm（1）若苗圃园的面积为72m2，求x（2）若平行于墙的一边长不小于8m，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由（3）当这个苗圃园的面积不小于100m2时，直接写出x的取值范围解：（1）根据题意得（302x）x72解得x13，x2120302x18，x06x15x12（2）有最大值和最小值设苗圃园的面积为ym2，yx（302x）2x230x由题意知8302x18，x0，解得6x11a=-20，-=-=.当x时，y有最大值，y最大值1125当x11时，y有最小值，y最小值88.即这个苗圃园的面积有最大值和最小值，最大值为1125m2，最小值为88m2.（3）6x10考查角度1利用二次函数解决实际中围成面积的最值问题1.2016绍兴课本中有一例题：有一个窗户形状如图所示，上部是一个半圆，下部是一个矩形如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，材料总长仍为6m，如图所示解答下列问题:（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积.（2）与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明.解：（1）由已知可得AD（m），则窗户的透光面积为1=(m2).（2）设ABxm，则AD(3x)m30，且x0，0x设窗户的透光面积为Sm2，由已知得S=AB.AD=x(3x)=-x2+3x=-(x-)2+,x=在0x的范围内，当x时，S最大值=1.05.与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大考查角度2利用二次函数解决动态几何面积的最值问题1如图，在ABC中，B90，AB12mm，BC24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mms的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mms的速度移动已知P，Q分别从A，B同时出发，求PBQ的面积S（mm2）与出发时间t（s）的函数解析式，并求出t为何值时，PBQ的面积最大，最大值是多少？解：由题意可知，BP（122t）mm，BQ4tmmSBPBQ（122t）4t，整理，得S4t22