高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修11.ppt

3 3导数在研究函数中的应用3 3 1函数的单调性与导数 一 情境设置 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具 那种风驰电掣 有惊无险的快感令不少人着迷 二 函数单调性定义 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值 当时 都有 那么就说函数f x 在区间d上是增函数 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值 当时 都有 那么就说函数f x 在区间d上是减函数 1 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理 重点 2 利用导数判断函数单调性 难点 3 掌握利用导数判断函数单调性的方法 如图 1 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象 图 2 表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象 运动员从起跳到最高点 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别 a a b b t t v h o o 1 2 探究点 函数的单调性与其导函数的关系 1 2 a a b b t t v h o o 运动员从起跳到最高点 离水面的高度h随时间t的增加而增加 即h t 是增函数 相应地 从最高点到入水 运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少 即h t 是减函数 相应地 1 2 提示 这种情况是否具有一般性 1 观察图象 完成下列填空 图 中的函数y x的导函数y 此函数的单调增区间为 图 中的函数y x2的导函数y 此函数的单调增区间为 单调减区间为 图 中的函数y x3的导函数y 此函数的单调增区间为 图 中的函数y 的导函数y 此函数的单调减区间为 1 2x 0 3x2 0 0 0 2 根据 1 中的导函数与单调区间之间的关系 思考函数的单调性与导函数的正负有什么关系 提示 根据 1 中的结果可以看出 函数的单调区间与导函数的正负有关 当导函数在某区间上大于0时 此时对应的函数为增函数 当导函数在某区间上小于0时 此时对应的函数为减函数 思考 1 在区间 a b 上 如果f x 0 则f x 在该区间上单调递增 反过来也成立吗 提示 不一定成立 例如 f x x3在r上为增函数 但f 0 0 即f x 0是f x 在该区间上单调递增的充分不必要条件 2 利用导数求函数单调区间时 能否忽视定义域 提示 首先需要确定函数的定义域 函数的单调区间是定义域的子集 规律总结 1 函数的单调性与其导数正负的关系 1 充分条件 注意f x 0 或f x 0 仅是函数f x 在某个区间上递增 或递减 的充分条件 2 恒成立 在区间 a b 内可导的函数f x 在区间 a b 上递增 或递减 的充要条件应是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立且f x 在区间 a b 的任意子区间内都不恒等于0 3 常数函数 特别地 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内是常数函数 2 利用导数研究函数单调性时应注意的四个问题 1 定义域 在利用导数讨论函数的单调区间时 首先要确定函数的定义域 解决问题的过程只能在定义域内 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 2 端点值 在对函数划分单调区间时 除了必须确定使导数等于零的点外 还要注意在定义域内的间断点 3 符号 如果一个函数的单调区间不止一个 这些单调区间之间不能用 连接 而只能用 逗号 或 和 字等隔开 4 常数函数 如果函数在某个区间上 恒有f x 0 则f x 为该区间上的常数函数 如f x 3 则f x 3 0 设f x x x 0 则f x 的单调增区间是 a 2 b 2 0 c d 0 c 即时训练 例1已知导函数的下列信息 当1 x 4时 当x 4或x 1时 当x 4或x 1时 试画出函数的图象的大致形状 当x 4或x 1时 可知在此区间内单调递减 当x 4或x 1时 综上 函数图象的大致形状如图所示 y f x 变式训练 2016 吉安高二检测 函数y f x 在定义域内可导 其图象如图所示 记y f x 的导函数为y f x 则不等式f x 0的解集为 解析 由题意不等式f x 0的解集即函数y f x 的递减区间为 2 3 答案 2 3 例2判断下列函数的单调性 并求出单调区间 因此 函数在上单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 根据导数确定函数的单调性步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求出函数的导数 3 解不等式f x 0 得函数单调递增区间 解不等式f x 0 得函数单调递减区间 提升总结 1 函数y x2 x 3 的减区间是 增区间是 2 0 2 0 2 函数f x cos2x的单调减区间是 k k k z 变式练习 求证函数f x 2x3 6x2 7在 0 2 内是减函数 变式练习 c 上 解析 f x x2 ax a 1 x 1 x a 1 当a 1 1 即a 2时 函数f x 在 1 上为增函数 不合题意 当a 1 1 即a 2时 函数f x 在 1 上为增函数 解 由已知得 因为函数在 0 1 上单调递增 1 求可导函数f x 单调区间的步骤 1 求f x 2