高中数学 第二章 函数本章归纳总结课件 北师大版必修1.ppt

第二章 函数 本章归纳总结 知识结构 知识整合 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型 高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系 同时还用集合与对应的语言刻画函数 函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终 配方法 换元法 待定系数法等基本方法 特殊化思想 分类讨论思想 数形结合等数学思想在本章中有较大应用 通过学习幂函数 二次函数 体会函数思想在数学和其他学科中的重要性 因此说函数是中学数学的一条主线 是中学数学的重要内容 是学习数学其他知识和分支的基础 1 函数的概念函数的实质是两个非空数集之间的一种特殊映射 学习时要注意体会用函数的思想解方程 不等式 要善于总结归纳求函数的定义域 值域的常见题型及相应的求解思路 2 函数的图像函数的图像可以形象地揭示函数的有关性质 在考试题中主要考查基本初等函数的图像特征及函数的图像变换 要学会利用函数的图像来解题 若题目中已给出图像 应注意深入挖掘图像中所反映出的有助于解题的明显信息和隐含信息 若题目中未给出图像 应有意识地画出函数的草图 3 函数的性质函数的性质主要包括函数的单调性 奇偶性 这是考试考查的重点中的重点 与此相关的综合题 不仅局限于函数本身的综合 还可以是与不等式的交叉综合 但归根结底都要利用函数的性质来进行解题 4 二次函数熟练掌握二次函数的三种表示方式 1 一般式 f x ax2 bx c a 0 2 顶点式 f x a x k 2 h a 0 3 两根式 f x a x x1 x x2 a 0 二次函数与二次方程密切联系 在解决二次函数的有关问题 特别是含参数的二次方程的有关问题时 通常借助于二次函数的图像特征 如单调区间 与坐标轴的交点 对称轴的位置 最值等 专题探究 函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型 它是两个非空数集间的映射 它要求任给一个自变量的值 都有唯一的函数值与之对应 由此可判断在某种对应关系f的作用下 从非空数集a到非空数集b的对应是否是函数 函数的表示方法主要有列表法 图像法 解析法 在解决问题时 面对不同的需要 选择恰当的方法表示函数是非常重要的 函数的图像是变量间关系的直观反映 能较形象地分析出变量间的变化趋势 函数图像广泛地应用于解题过程当中 利用数形结合解题直观 明了 易懂 在历届高考中 常出现有关函数图像和利用图像解题的试题 专题一 函数的概念及表示法 b 解析 f x 的定义域为 1 3 而1 1 3 点 1 f 1 在函数y f x 的图像上 又在直线x 1上 由于函数的定义知 函数是一种特殊的对应 即对于定义域 1 3 中的任意一个元素 在其值域中有唯一确定的元素与之对应 故直线x 1与y f x 的图像有且只有一个交点 c 1 直接法求基本初等函数 正 反比例函数 一次 二次函数 的最值 应用基本初等函数的最值结论 直接写出其最值 专题二 求函数最值 值域 的方法 d 解析 f x x 2 2 1 0 x 3 f x min f 2 1 f x max f 0 3 1 f x 3 3 配方法当函数的解析式中出现二次式的结构时 常用配方法求值域 5 图像法画出函数图像 最高点的纵坐标是函数的最大值 最低点的纵坐标是函数的最小值 2 6 单调性法先判断函数的单调性 再利用其单调性求最值 常用到下面的结论 如果函数y f x 在区间 a b 上是增加的 在区间 b c 上是减少的 则函数y f x 在x b处有最大值f b 如果函数y f x 在区间 a b 上是减少的 在区间 b c 上是增加的 则函数y f x 在x b处有最小值f b 7 分离常数法注意到分子 分母的结构特点 分离出一个常数后 再通过观察或配方等其他方法求出值域 研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要 也是数学本身的自然要求 其中 单调性是在某个区间上刻画函数值随自变量的变化而变化的趋势 奇偶性是从整个定义域内反映函数的对称性质 对函数的这两个性质 不仅会从图像上直观感知 还要能利用它们解决有关函数问题 专题三 函数的性质及应用 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式 只是给出一些特殊关系式的函数 它是高中数学中的一个难点 高考中经常出现关于抽象函数的试题 因为抽象 解题时思维常常受阻 思路难以展开 抽象函数问题一般是由所给的性质 讨论函数的单调性 奇偶性 图像的对称性 或是求函数值 解析式等 主要处理方法是 赋值法 通常是抓住函数特性 特别是定义域上的恒等式 利用变量代换解题 专题四 抽象函数问题 1 函数与方程思想函数与方程思想就是利用函数 方程的观点和方法来处理变量或未知数之间的关系 从而解决问题的一种思维方式 函数与方程思想体现了动与静 变量与常量的辩证统一 函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两方面 一是借助有关初等函数的性质 解有关最值 解不等式或方程以及讨论参数的取值范围问题 二是在问题的研究中 通过建立函数关系式或构造中间函数 把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质 达到化难为易 化繁为简的目的 专题五 函数中的思想方法 解析 1 设y a x 1 2 1 图像经过原点 将点 0 0 的坐标代入 得a 1 y x 1 2 1 x2 2x 2 先作出y x2 2x的图像 再根据绝对值的定义 得到y x2 2x 的图像 如图所示 3 把方程 f x k的实数根个数转化为y k与y x2 2x 的图像交点的个数 根据图像可知 当k 0或k 1时 方程有2个根 当k 1时 方程有3个根 当0 k 1时 方程有4个根 2 数形结合思想函数的数形结合思想是变量间的直观反映 能较形象地分析出变量间的变化趋势 更是研究函数性质 最值 单调性 的有力工具 尤其是在新课标 多考一点想 少考一点算 的指导下 数形结合将成为考查学生理性思维的一个切入口 2 3 分类讨论思想当某