(一)函数及其性质.doc

（一）函数及其性质一、函数图象的对称性1、一条曲线自身的对称性方法：由条件可得到曲线上相应的两个动点，分析这两个动点之间的对称性。例1、若f(1+x)= f(3-x)，则函数y=f(x)关于 对称。解：设f(1+x)=m，则f(3-x)=m，说明点A(1+x，m)与A(3-x，m)都在函数y=f(x)的曲线上，显然点A与A关于直线x=2对称，所以函数y=f(x)的曲线关于直线x=2成轴对称（因为点A与A为曲线上的动点）。例2、若f(1+x)+ f(3-x)=6，则函数y=f(x)关于 对称。2、两条曲线之间的对称性方法：先把其中一条曲线的方程“整形”为另一条曲线方程的“形式”，再利用置换思想寻找两条曲线上的对应点即可。例3、曲线C1：y= f(1+x)与曲线C2：y= f(3-x)之间关于 对称。解：曲线C1：y= f(1+x)即为：C1：y= f3-(2-x)（把C1整形为了C2的形式）这说明如果点A(x,y)在曲线C1上，那么A(2-x，y)必在C2上，而点A与A恒关于直线x=1对称，所以曲线C1与C2关于直线x=1成轴对称（因为点A与A分别为曲线C1与曲线C2上的动点）。例4、曲线C1：y= f(1+x)与曲线C2：y=6-f(3-x)之间关于 对称。练习：1、若f(3-x)= f(5+x)，则函数y= f(x)的图象关于 对称；2、曲线C1：y= f(3-x)与曲线C2：y= f(5+x)关于 对称；3、若f(1-x)+ f(x-7)=0，则函数y= f(x)的图象关于 对称；4、若f(2+x)+ f(4-x)+8=0，则函数y= f(x)的图象关于 对称；5、曲线C1：y= f(2x-1)与曲线C2：y= f(3-2x)关于 对称；6、曲线C1：y= f(3+x)与曲线C2：y=4- f(1-x)关于 对称；7、曲线C1：y=与曲线C2：之间关于 对称。二、函数的周期性定义：对于函数f(x)，若存在非零常数T，使得对于定义与中的任意一个x值都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)是以T为周期的周期函数。例如f(x)=2， f(x)=， f(x)=(x-2k)2，x2k-1，2k+1，kZ例1、已知函数f(x)满足下列条件，求其相应的周期：f(x+2)= - f(x)，则T= 4 ；，则T= 4 ；，则T= 6 ；，则T= 4 ；，则T= 12 ；，则T= 12 。例2、若f(x)为奇函数， f(x+c)为偶函数(c0)，求证：函数y=f(x)为周期函数。例3、若函数f(x)既关于点M(a，b)对称，又关于直线x=c对称，其中ac，求证：函数y=f(x)为周期函数。例4、若函数f(x)既关于直线x=a对称，又关于直线x=b对称，其中ab，求证：函数y=f(x)为周期函数。例5、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对于xR恒有f(3-x)= f(x-1)，当x(0，2)时，f(x)=x2-2x+1.求f(10)与f(10.5)的值；当x-2，2时，求f(x)的解析式；当xR时，求f(x)的解析式。【解】：，当时，这时 练习1、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对于xR恒有f(x-3)= f(5-x)，当x(0，1)时，f(x)=2x，求f()的值。【解】：，则=2、已知定义在R上的函数f(x)满足：=+，（0）求证：f(x)是以2为周期的周期函数(IMO105)。【解】：，3、已知定义在R上的偶函数f(x)，恒有f(x)= f(2-x)，当x时，求f(2013)的值；当xR时，求f(x)的解析式。【解】：当时， 三、函数的单调性例1、已知定义在R上的函数满足：对于任意的都有，且当时，求的值；求证：在R上是增加的；若当时，恒有成立，求实数的取值范围。【解】：，又，设任意的，有显然，以下只需证明恒有即可（方法一）：当时，当时，有当时，有，又，故当时，恒有成立（方法二）：，只需即可假设存在使得，则存在正数m，使得又，矛盾，故或者，略例2、已知定义在上的函数满足：对于都有，且当时，求的值；求证：在上是增加的；解不等式【解】：取得：设，【练习】1、若，则（ ）(A)x-y0 (B)x+y0 (C)x-y0 (D)x+y0 (99联赛题)2、已知实数、b满足：，求的值。【解】： 设，设为奇函数，且单调递增由（1），（2）知：3、已知定义在上的函数满足：对于都有，且当时，且求与的值；求证：；求证：在上是增加的；解不等式4、设f(n)是定义在正整数集上取非负整数值的函数，f(2)=0，f(3)0，f(9999)=3333，且对所有的m、n都有：的值为0或1。求：f(2003)的值（IMO231）。【解法一】：的值为0或10， 取m=1有为非减函数，又，（）这时：若，则：，与，故【解法二】：易知，或1，则：或2，相加得：，又，即当时有：对于函数有：当时，则当时，则当时，则对于所有，有，5、设是集合到集合上的映射，且对所有的都有，求、及的