数学人教版五年级下册《完全数》

完全数（人教版义务教育教科书数学五年级下册） 哈尔滨市阿城区解放小学校 赵启良【摘要】完全数是数学史上一个饶有趣味的著名问题，这一内容主要是对第一单元“因数与倍数”知识的补充。通过教学，进一步巩固因数的学习，培养学生数感、数学发现与数学猜想的意识及类比、逻辑推理等数学思想方法，从而感受数学的独特魅力。【教材分析】完全数是义务教育教科书六年制数学第十册第8页的内容，本节课学习的内容是因数知识的拓展材料，教材之所以如此安排，意在引导学生进一步了解因数的相关知识，体会数学学科的美丽之处。1. 教学目标（1）引导学生通过观察、讨论、感知生活中的完全数。 （2）帮助学生初步掌握找完全数的方法，培养数感及逻辑推理等能力。 （3）培养学生的审美情趣，引导学生具有合作探究的学习意识。2. 学情分析学生通过对因数的学习，掌握了找因数的方法，但是查找较大数据的因数时容易遗漏，另外对于因数的学习和完全数的了解只停留在表面，无深入的理解和认识。3.教学重点理解完全数的概念，掌握找完全数的方法。4.教学难点掌握找完全数的方法。5.教学用具白板、课件、学习单【教学过程】 一、谈话导入（课件出示“完美”一词）同学们，这个词认识吗？大声齐读一下！谁知道它是什么意思？是啊！正如大家所言：优秀的，没有瑕疵的就是完美。其实，生活中不乏完美，只要我们善于发现，就一定能找到。这节课老师就带领大家在数学的王国里去寻找一下完美！二、新授1.（出示课件：（）+（）+（）=（）X（）X（）师：请看下面的问题，请你找出一组自然数，填入下面的框图中，使等式成立，要求在同一形状的框图中填入相同的数。师：同学们，按照这样的要求，实际上需要找几个自然数呢？（3个）师：说的很好！那大家思考一下。生：学生汇报师：我们验证一下，左边1+2+3=6，1x2x3=6 左边=右边，完全正确！那你能说一说你是怎样尝试寻找的呢？预设：学生：因为等式左边是加法，右边是乘法，又是自然数之间的运算，所有数一定要尽量小，因此我就试了试1、2、3，果然是这样。评价：看来，你对数字的感觉和对乘法运算的理解非常好，尤其是还经过了缜密的逻辑推理。师：好，我们回过头来理解一下这个数字6,6既等于1+2+3，又等于1x2x3，真奇妙！那么1、2、3这三个数字对于6来讲可以叫做6的什么？（加数或因数）师：6的因数只有1、2、3吗？（还有6本身）评价：你的思维很灵敏！师：那我们是不是可以理解为：6等于除了它本身以外所有因数的和。（可以）师：好！我们再继续寻找。在20以内，（出示课件：1、2、320）有没有这样的数，这样的数是指什么样的数？（这个数等于除了它本身以外所有因数的和）师：大家开始找一找吧！（师巡视后让大家暂停）好，大家暂停一下，刚才老师看到有的同学在尝试的时候是从1开始的，大家觉得比6小的自然数还需要研究吗？（不需要）为什么？（因为6是在这个规则下最小的数）师：（教师把15画斜线删除）那从7开始到20这些数都要一个个尝试吗？生：不用，因为数字7是质数，除了它本身以外的因数只有1 ，按照运算规则不可能构成加法算式。评价：大家非常聪明，言之有据！师：这样的话我们就可以筛选一下，把质数去掉，留下合数，对吧？（教师利用电子白板“屏幕书写功能”把7、11、13、17、19用斜线划去）师：好！为了节省时间，提高效率，我们每个学习小组尝试其中的一个自然数，好吧？第一组选哪个？第二组选哪个大家尝试吧！（学生尝试交流）师：好，刚才我们每个小组进行了尝试，请问：哪个小组找到像6这样的数啦？（没有）师：看来，20以内的自然数没有像6这样的数，大家不要气馁，我们扩大一下范围继续寻找？在30以内吧！师：（出示课件：21、2230）需要全研究吗？（教师利用电子白板“屏幕书写功能”把23、29画斜线删除）这回喜欢哪个数就研究哪个吧！师：找到了吗？（28）师：说说看！（28的因数除了本身外分别是1.2.4.7.14，这些数的和正好等于28）评价：大家回答得非常好，条理清晰，语言严谨！师：刚才我们在探索130这些自然数的过程中，其实你们做了一件非常伟大的事情，那就是发现了数学史上最美妙的一类数，就是完全数，也叫完美数。那谁能给“完全数”下个定义？（学生说）师：（出示课件：如果一个数等于除了它本身以外所有因数的和，那这个数就是完全数。）比如：6的因数有1、2、3、6，去掉本身，6=1+2+3，所以6是完全数，也是最小的完全数。由此，远古的西方人认为，数字6是宇宙中最完美的数。甚至将数字6赋予了具有一定神秘色彩的宗教意，即：“上帝用6天创造了世界”。古希腊时代，只发现了4个完全数，分别是：（出示课件：6、28、496、8128），直到2013年，人们才找出了48个完全数。看来，完美的事物总是稀有的！师：那好！我们不妨根据完全数的定义验证一下496这个数字！（学生验证）师：谁来汇报一下496的因数除了它本身以外还有哪些？预设：学生找的因数有遗漏。师：我们平时学习的找因数的方法只适用于那些较小的数据，但是找较大数据的因数的时候很容易遗漏，那如何知道一个数到底有多少个因数呢？下面老师给大家介绍一种方法：（课件：先分解质因数，分解后的不同因数的个数+1，再相乘，得数就是这个数因数的个数。）比如496，我们先给这个数分解质因数，注意：关键就在这里，这里有几个不同的自然数，（2和31）几个2？几个31？2有4个，所以4+1；31有1个，所以1+1，这样就是5x2=10，所以496有10个因数，也就是1、496、2、248、4、124、8、62、16、31。（板书：分解质因数的过程）师：现在我们观察一下6，28，496，8128这四个完全数，观察一下有什么特征，能不能大胆猜想一下第五个完全数有什么特征？预设：学生猜测五位数或者末尾是6.师：为什么？第五个完全数的末尾的确是6，但不是五位数，是33550336，是八位数。看来猜想很美妙，虽然有时猜想不一定正确，但猜想却是发现数学规律和学习数学的重要方法。我们还可以继续猜一猜，比如从前5个完全数的奇偶性的角度来看，完全数可能还具有什么特征？生：完全数应该是偶数。师：的确这样，我们现在发现的48个完全数都是偶数，没有奇数。但是不是只有48个完全数？如果还有，是不是也都是偶数，目前还没有得到准确的结论，这恰恰是数学史上关于完全数问题的一个个大胆的猜想！三、总结升华（出示录