高考数学一轮复习 选考部分 坐标系与参数方程 2 参数方程课件 文.ppt

第二节参数方程 教材基础回顾 1 曲线的参数方程在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个 允许值 由这个方程组所确定的点m x y 都在这条曲线上 那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做 简称 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程f x y 0叫 方程 参变数 参数 普通 2 参数方程和普通方程的互化 1 参数方程化普通方程 利用两个方程相加 减 乘 除或者代入法消去参数 2 普通方程化参数方程 如果x f t 把它代入普通方程 求出另一个变数与参数的关系y g t 则得曲线的参数方程 3 直线 圆与椭圆的普通方程和参数方程 金榜状元笔记 1 参数方程化普通方程 1 常用技巧 代入消元 加减消元 平方后加减消元等 2 常用公式 cos2 sin2 1 1 tan2 2 直线参数方程的标准形式的应用过点m0 x0 y0 倾斜角为 的直线l的参数方程是若m1 m2是l上的两点 其对应参数分别为t1 t2 则 1 m1m2 t1 t2 2 若线段m1m2的中点m所对应的参数为t 则t 中点m到定点m0的距离 mm0 t 3 若m0为线段m1m2的中点 则t1 t2 0 教材母题变式 1 把下列参数方程化为普通方程 并说明它们各表示什么曲线 1 t为参数 2 为参数 解析 1 由y t 1得t y 1 代入x 3t 2得x 3 y 1 2 故所求普通方程为x 3y 5 0 这是一条直线 2 曲线方程化为所以这是椭圆 2 已知曲线c的参数方程是 t为参数 a r 点m 3 4 在曲线c上 1 求常数a的值 2 判断点p 1 0 q 3 1 是否在曲线c上 解析 1 将m 3 4 的坐标代入曲线c的参数方程消去参数t 得a 1 2 由 1 可得 曲线c的参数方程是把点p的坐标 1 0 代入方程组 解得t 0 因此p在曲线c上 把点q的坐标 3 1 代入方程组 得到这个方程组无解 因此点q不在曲线c上 3 已知点p是椭圆 y2 1上任意一点 求点p到直线l x 2y 0的距离的最大值 解析 因为椭圆 y2 1的参数方程为 为参数 故可设点p的坐标为 2cos sin 又直线l x 2y 0 因此点p到直线l的距离d 又 0 2 所以dmax 即点p到直线l x 2y 0的距离的最大值为 母题变式溯源 考向一参数方程与普通方程的互化 典例1 将下列参数方程化为普通方程 解析 1 由t2 1 0 t 1或t 1 0 x 1或 1 x 0 由 式代入 式得x2 y2 1 2 由x 2 sin2 0 sin2 1 2 2 sin2 3 2 x 3 误区警示 将参数方程化为普通方程时 要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小 必须根据参数的取值范围 确定函数f t 和g t 的值域 即x和y的取值范围 一题多变 将本例 1 的参数方程改为 t为参数 如何化为普通方程 解析 因为x 所以y 4 3 4 3x 又因为x 2 0 2 所以x 0 2 所以所求的普通方程为3x y 4 0 x 0 2 技法点拨 消去参数的方法一般有三种 1 利用解方程的技巧求出参数的表示式 然后代入消去参数 2 利用三角恒等式消去参数 3 根据参数方程本身的结构特征 灵活地选用一些方法从整体上消去参数 同源异考 金榜原创 1 设 cos 为参数 求椭圆的参数方程 解析 把cos 代入椭圆方程 得到cos2 1 于是 y 2 2 5 1 cos2 5sin2 即y 2 sin 由参数 的任意性 可取y 2 sin 因此椭圆的参数方程为 为参数 2 将下列参数方程化为普通方程 解析 1 由参数方程得et x y e t x y 所以 x y x y 1 即x2 y2 1 2 因为曲线的参数方程为由y 2tan 得tan 代入 得y2 2x 考向二参数方程的应用 典例2 1 2017 全国卷 在直角坐标系xoy中 曲线c的参数方程为 为参数 直线l的参数方程为 t为参数 若a 1 求c与l的交点坐标 若c上的点到l的距离的最大值为求a 2 已知直线l x y 1 0与抛物线y x2相交于a b两点 求线段ab的长度和点m 1 2 到a b两点的距离之积 解析 1 当a 1时 直线l的方程为x 4y 3 0 曲线c的标准方程是联立方程解得 则c与l的交点坐标是 3 0 和 直线l的一般式方程是x 4y 4 a 0 设曲线c上点p 3cos sin 则p到l的距离d 其中tan 依题意得 dmax 解得a 16或a 8 2 因为直线l过定点m 且l的倾斜角为所以它的参数方程为 t为参数 即 t为参数 把它代入抛物线的方程 得t2 t 2 0 解得由参数t的几何意义可知 ab t1 t2 ma mb t1t2 2 答题模板微课 本例 1 的求解过程可模板化为 建模板 当a 1时 直线l的方程为x 4y 3 0 曲线c的标准方程是 y2 1 化方程联立方程组 解得 则c与l的交点坐标是 3 0 和 求坐标 直线l的一般式方程是x 4y 4 a 0 设曲线c上点p 3cos sin 设坐标则p到l的距离d 其中tan 建模型 依题意得 dmax 解得a 16或a 8 求最值 套模板 已知曲线c1 t为参数 c2 为参数 若曲线c1上的点p对应的参数为t q为曲线c2上的动点 求pq中点m到直线c3 t为参数 距离的最小值 解析 直线c3的普通方程为x 2y 7 0 化方程当t 时 p 4 4 设q 8cos 3sin 故 设坐标 则点m到直线c3的距离d 4cos 3sin 13 建模型从而当时 d取得最小值 求最值 技法点拨 1 应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时 要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正 余弦值 否则参数不具备该几何含义 2 圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值 最小值以及取值范围的问题 通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值 最小值求解 同源异考 金榜原创 1 已知直线l的参数方程为 t为参数 圆c的参数方程为 为参数 1 求直线l和圆c的普通方程 2 若直线l与圆c有公共点 求实数a的取值范围 解析 1 直线l的普通方程为2x y 2a 0 圆c的普通方程为x2 y2 20 2 因为直线l与圆c有公共点 故圆c的圆心到直线l的距离d 解得 5 a 5 2 在平面直角坐标系xoy中 圆c的参数方程为 为参数 直线l经过点p 1 2 倾斜角 1 写出圆c的标准方程和直线l的参数方程 2 设直线l与圆c相交于a b两点 求 pa pb 的值 解析 1 消去 得圆的标准方程为x2 y2 16 直线l的参数方程为 t为参数 2 把直线l的方程代入x2 y2 16 得即t2 2 t 11 0 易知 0 所以t1t2 11 即 pa pb 11 考向三极坐标方程和参数方程的综合应用 高频考点 典例3 1 2017 全国卷 在直角坐标系xoy中 直线l1的参数方程为 t为参数 直线l2的参数方程为 m为参数 设l1与l2的交点为p 当k变化时 p的轨迹为曲线c 写出c的普通方程 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 设l3 cos sin 0 m为l3与c的交点 求m的极径 2 2018 衡水模拟 已知曲线c的极坐标方程是 2 4 cos 6 sin 12 以极点为原点 极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系 直线l的参数方程为 t为参数 写出直线l的普通方程与曲线c的直角坐标方程 并判断它们的位置关系 将曲线c向左平移两个单位 再向下平移三个单位得到曲线d 设曲线d经过伸缩变换得到曲线e 设曲线e上任一点为m x y 求的取值范围 3 在平面直角坐标系xoy中 椭圆c的方程为 为参数 求过椭圆的右焦点 且与直线 t为参数 垂直的直线l的普通方程 求椭圆c的内接矩形abcd面积的最大值 解析 1 直线l1的普通方程为y k x 2 直线l2的普通方程为x 2 ky 消去k得x2 y2 4 即c的普通方程为x2 y2 4 l3的直角坐标方程为x y 联立所以 2 x2 y2 所以l3与c的交点m的极径为 2 直线l的普通方程为曲线c的直角坐标方程为 x 2 2 y 3 2 1 因为所以直线l和曲线c相切 曲线d为x2 y2 1 曲线d经过伸缩变换得到曲线e的方程为x2 1 则其参数方程为 为参数 代入得 所以的取值范围为 2 2 3 椭圆方程为椭圆的右焦点为 3 0 已知直线的斜率k 于是所求直线l的方程可设为y 2x b 又直线过 3 0 所以所求直线方程为 y 2x 6 设a 4cos sin 则椭圆c的内接矩形abcd面积s 4 xy 16 sin cos 8 sin2 面积最大为8 技法点拨 极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略 1 求交点坐标 距离 线段长 可先求出直角坐标系方程 然后求解 2 判断位置关系 先转化为平面直角坐标方程 然后再作出判断 3 求参数方程与极坐标方程综合的问题 一般是先将方程化为直角坐标方程 利用直角坐标方程来研究问题 同源异考 金榜原创 命题点1求交点坐标 距离 线段长1 在直角坐标系xoy中 以坐标原点o为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线c1 2 4 cos 3 0 0 2 曲线c2 0 2 1 求曲线c1的一个参数方程 2 若曲线c1和曲线c2相交于a b两点 求 ab 的值 解析 1 由 2 4 cos 3 0可知 x2 y2 4x 3 0 所以 x 2 2 y2 1 令x 2 cos y sin 所以c1的一个参数方程为 r 2 c2 所以即2x 3 0 因为直线2x 3 0与圆 x 2 2 y2 1相交于a b两点 所以圆心到直线的距离为d 所以 命题点2判断位置关系2 在极坐标系中 已知三点o 0 0 1 求经过o a b的圆c1的极坐标方程 2 以极点为坐标原点 极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系 圆c2的参数方程为 是参数 若圆c1与圆c2外切 求实数a的值 解析 1 o 0 0 对应的直角坐标分别为o 0 0 a 0 2 b 2 2 则过o a b的圆的普通方程为x2 y2 2x 2y 0 又因为代入可求得经过o a b的圆c1的极坐标方程为 2 圆c2 是参数 对应的普通方程为 x 1 2 y 1 2 a2 当圆c1与圆c2外切时 有 a 2 解得a 命题点3求最值和取值范围问题3 2018 唐山模拟 在直角坐标系xoy中 曲线c1 x y 4 曲线c2 为参数 以坐标原点o为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求曲线c1 c2的极坐标方程 2 若射线l 0 分别交c1 c2于a b两点 求的最大值 解析 1 因为在直角坐标系xoy中 曲线c1 x y 4 曲线c1的极坐标方程为 cos sin 4 c2的普通方程为 x 1 2 y2 1 所以曲线c2的极坐标方程为 2cos 2 设a 1 b 2 则 1 2 2cos 2cos cos sin 当 时 取得最大值 核心素养系列 六十一 数学建模 参数方程中的核心素养建立有关曲线的参数方程 研究解析几何中位置关系 交点坐标 弦长和最值问题 典例 2016 全国卷 在直角坐标系xoy中 曲线c1的参数方程为 t为参数 a 0 在以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线c2 4cos 1 说明c1是哪一种曲线 并将c1的方程化为极坐标方程 2 直线c3的极坐标方程为 0 其中 0满足tan 0 2 若曲线c1与c2的公