高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量课件 苏教版选修12.ppt

第3章3 2空间向量的应用 3 2 1直线的方向向量与平面的法向量 1 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义 2 会用待定系数法求平面的法向量 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一直线的方向向量 答案 直线l上的向量e e 0 以及与e共线的非零向量叫做直线l的 知识点二平面的法向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面 那么称向量n平面 记作 此时 我们把向量n叫做平面 的 思考1 平面的法向量有无数个 它们之间有何关系 答案相互平行 2 一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一 是否相等 答案不惟一 它们相互平行 但不一定相等 方向向量 垂直于 法向量 返回 n 例1设直线l1的方向向量为a 1 2 2 直线l2的方向向量为b 2 3 m 若l1 l2 则m 题型探究重点突破 题型一直线的方向向量及其应用 解析由题意 得a b 所以a b 1 2 2 2 3 m 2 6 2m 4 2m 0 所以m 2 2 解析答案 反思与感悟 若l1 l2 则l1与l2的方向向量垂直 若l1 l2 则l1与l2的方向向量平行 反思与感悟 跟踪训练1若直线l1 l2的方向向量分别是a 1 3 1 b 8 2 2 则l1与l2的位置关系是 解析答案 解析因为a b 1 3 1 8 2 2 8 6 2 0 所以a b 从而l1 l2 垂直 例2如图所示 在四棱锥s abcd中 底面是直角梯形 abc 90 sa 底面abcd 且sa ab bc 1 ad 建立适当的空间直角坐标系 求平面scd与平面sba的一个法向量 题型二求平面的法向量 解析答案 反思与感悟 解如图 以a为原点 以分别为x y z轴的正方向建立空间直角坐标系 设n x y z 为平面sdc的法向量 解析答案 反思与感悟 取x 2 则y 1 z 1 平面sdc的一个法向量为 2 1 1 反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤 1 求平面abc的法向量时 要选取平面内两不共线向量 反思与感悟 4 所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时 设定一个坐标为常数 常数不能为0 便可得到平面的一个法向量 跟踪训练2已知a 1 0 1 b 0 1 1 c 1 1 0 求平面abc的一个法向量 解析答案 解设平面abc的法向量为n x y z 平面abc的一个法向量为n 1 1 1 例3在正方体abcda1b1c1d1中 e f分别是bb1 cd的中点 题型三证明平面的法向量 解析答案 反思与感悟 证明如图 以d为坐标原点da dc dd1分别为x y z轴 建立空间直角坐标系 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直 因此 其思想方法与证明线线垂直相同 区别在于必须证明两个线线垂直 反思与感悟 解析答案 解建立如图所示的空间直角坐标系 设f 0 0 h e m 1 1 则a 1 0 1 b 1 1 1 b1 1 1 0 故存在 且e f满足d1f ce 利用向量法判断直线与平面平行 易错点 例4已知u是平面 的一个法向量 a是直线l的一个方向向量 若u 3 1 2 a 2 2 2 则l与 的位置关系是 解析答案 返回 错解因为u a 3 1 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 0 所以u a 所以l 错因分析错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别 实际上 本例中由向量u a可得l 或l 正解因为u a 3 1 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 0 所以u a 所以l 或l l 或l 当堂检测 1 2 3 4 5 1 已知a 2 4 5 b 3 x y 分别是直线l1 l2的方向向量 若l1 l2 则x y 解析答案 6 1 2 3 4 5 2 在正方体abcd a1b1c1d1的所有棱 面对角线 体对角线所对应的向量中 是平面a1b1cd的法向量的是 答案 1 2 3 4 5 3 若a 1 2 3 是平面 的一个法向量 则下列向量中能作为平面 的法向量的是 0 1 2 3 6 9 1 2 3 3 6 8 解析向量 1 2 3 与向量 3 6 9 共线 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 8 1 2 3 4 5 5 在直三棱柱abc a1b1c1中 以下向量可以作为平面abc法向量的是 填序号 解析答案 解析 aa1 平面abc b1b 平面abc 课堂小结 1 直线的方向向量的应用利用方向向量可以确定空间中的直线 若有直线l 点a为直线上的点 这样 点a和向量a不仅可以确定直线l的位置还可以具体地表示出直线l上的任意点 2 平面的法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标 一般要建立空间直角坐标系 然后用待定系数法求解 一般步骤如