山东省威海市高三数学上学期第一次模拟试卷 理（含解析）.doc

2015年山东省威海市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1已知i是虚数单位，若z（1+3i）=i，则z的虚部为（）abcd2已知集合a=x|x21，b=x|y=，则arb=（）a（2，+）b（，1（2，+）c（，1）（2，+）d1，02，+）3设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）ax+y=2bx+y2cx2+y22dxy14如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是（）a12，4b16，5c20，5d24，65已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的离心率等于（）abcd6定义：|=a1a4a2a3，若函数f（x）=，将其图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）abcd7已知函数f（x）=，则y=f（2x）的大致图象是（）abcd8如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）a2b3c5d59若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则函数z=2ax+by在点（2，1）处取得最大值的概率为（）abcd10已知m是abc内的一点（不含边界），且=2，bac=30若mbc，mab，mca的面积分别为x，y，z，记f（x，y，z）=+，则f（x，y，z）的最小值为（）a26b32c36d48二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中相应题的横线上11已知（，2），cos=，tan2=12采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间001，300的人做问卷a，编号落入区间301，495的人做问卷b，编号落入区间496，600的人做问卷c，则抽到的人中，做问卷c的人数为13对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”： 23，33，43，仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为14已知偶函数f（x）满足f（x+1）=，且当x1，0时，f（x）=x2，若在区间1，3内，函数g（x）=f（x）loga（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是15抛物线y2=12x的焦点为f，点p为抛物线上的动点，点m为其准线上的动点，当fpm为等边三角形时，则fpm的外接圆的方程为三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，sin（ba）=cosc（）求a，b，c；（）若sabc=3+，求a，c17已知数列an是等比数列，首项a1=1，公比q0，其前n项和为sn，且s1+a1，s3+a3，s2+a2成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足an+1=（），tn为数列bn的前n项和，若tnm恒成立，求m的最大值18甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立（）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（）记x为比赛决胜出胜负时的总局数，求x的分布列和均值（数学期望）19如图，在abc中，已知abc=45，o在ab上，且ob=oc=ab，又po平面abc，dapo，da=ao=po（）求证：pd平面cod；（）求二面角bdco的余弦值20已知函数f（x）=xalnx（ar）（）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（）若g（x）=，在1，e（e=2.71828）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围21在abc中，a，b的坐标分别是，点g是abc的重心，y轴上一点m满足gmab，且|mc|=|mb|（）求abc的顶点c的轨迹e的方程；（）直线l：y=kx+m与轨迹e相交于p，q两点，若在轨迹e上存在点r，使四边形oprq为平行四边形（其中o为坐标原点），求m的取值范围2015年山东省威海市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1已知i是虚数单位，若z（1+3i）=i，则z的虚部为（）abcd考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解答： 解：由z（1+3i）=i，得，z的虚部为故选：a点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2已知集合a=x|x21，b=x|y=，则arb=（）a（2，+）b（，1（2，+）c（，1）（2，+）d1，02，+）考点： 交、并、补集的混合运算专题： 集合分析： 求出a中不等式的解集确定出a，求出b中x的范围确定出b，找出a与b补集的交集即可解答： 解：由a中不等式解得：x1或x1，即a=（，11，+），由b中y=，得到1log2x0，即log2x1=log22，解得：0x2，即b=（0，2，rb=（，0（2，+），则arb=（，1（2，+），故选：b点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键3设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）ax+y=2bx+y2cx2+y22dxy1考点： 充要条件分析： 先求出的必要不充分条件；利用逆否命题的真假一致，求出命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件解答： 解：若时有x+y2但反之不成立，例如当x=3，y=10满足x+y2当不满足所以是x+y2的充分不必要条件所以x+y2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件故选b点评： 本题考查逆否命题的真假是相同的，注意要说明一个命题不成立，常通过举反例4如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是（）a12，4b16，5c20，5d24，6考点： 程序框图专题： 图表型；算法和程序框图分析： 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，a的值，当a=20时，满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5解答： 解：模拟执行程序，可得m=4，n=10，i=1a=4，不满足条件n整除a，i=2，a=8不满足条件n整除a，i=3，a=12不满足条件n整除a，i=4，a=16不满足条件n整除a，i=5，a=20满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5故选：c点评： 本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的i，a的值是解题的关键，属于基本知识的考查5已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的离心率等于（）abcd考点： 双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 渐近线与直线x+3y+1=0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率解答： 解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直双曲线的渐近线方程为y=3x=3，得b2=9a2，c2a2=9a2，此时，离心率e=故选：c点评： 本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题6定义：|=a1a4a2a3，若函数f（x）=，将其图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）abcd考点： 函数y=asin（x+）的图象变换；两角和与差的正弦函数专题： 三角函数的图像与性质分析： 由题意可得解析式f（x）=2sin（x），平移后所得到的图象解析式可求得y=2sin（x+m），由m=k+，kz，即可求m的最小值解答： 解：由题意可得：f（x）=sinxcosx=2sin（x），将其图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象解析式为：y=2sin（x+m），由于所得到的图象关于y轴对称，则有：m=k+，kz，故解得：m（m0）的最小值是故选：b点评： 本题主要考查了函数y=asin（x+）的图象变换，两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查7已知函数f（x）=，则y=f（2x）的大致图象是（）abcd考点： 函数的图象专题： 函数的性质及应用分析： 先由f（x）的函数表达式得出函数f（2x）的函数表达式，由函数表达式易得答案解答： 解：函数f（x）=，则y=f（2x）=，故函数f（2x）仍是分段函数，以x=1为界分段，只有a符合，故选：a点评： 本题主要考查分段函数的性质，对于分段函数求表达式，要在每一段上考虑8如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）a2b3c5d5考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是正三棱柱与一球体的组合体，结合数据求出它的体积解答： 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底部为正三棱柱，上部为一球体的组合体；且正三棱柱的底面三角形的边长为2，高为5，球的半径为=；该组合体的体积为v=v三棱柱+v球=25+=5+故选：d点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目9若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则函数z=2ax+by在点（2，1）处取得最大值的概率为（）abcd考点： 几何概型；简单线性规划专题： 应用题；概率与统计分析： 利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数n，再计算事件函数z=2ax+by在点（2，1）处取得最大值时包含的基本事件数n，最后即可求出事件发生的概率解答： 解：画出不等式组表示的平面区域，函数z=2ax+by在点（2，1）处取得最大值，直线z=2ax+by的斜率k=1，即2ab一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有66=36个其中2ab的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30个则函数z=2ax+by在点（2，1）处取得最大值的概率为 =故选：d点评： 本题考查了古典概型概率的计算方法，乘法计数原理，分类计数原理，属于基础题10已知m是abc内的一点（不含边界），且=2，bac=30若mbc，mab，mca的面积分别为x，y，z，记f（x，y，z）=+，则f（x，y，z）的最小值为（）a26b32c36d48考点： 函数的最值及其几何意义专题： 综合题；不等式的解法及应用分析： 先由条件求得abac=4，再由sabc=abacsin30=1，可得x+y+z=1 再由f（x，y，z）=+=（+）（x+y+z），利用基本不等式求得它的最小值解答： 解：=2，bac=30，abaccos30=2，abac=4sabc=abacsin30=1=x+y+zf（x，y，z）=+=（+）（x+y+z）=1+4+9+14+4+6+12=36，即f（x，y，z）=+的最小值为36，故选：c点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式的应用，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中相应题的横线上11已知（，2），cos=，tan2=考点： 二倍角的正切专题： 三角函数的求值分析： 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin、tan的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2的值解答： 解：（，2），cos=，sin=，tan=2，tan2=，故答案为：点评： 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题12采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间001，300的人做问卷a，编号落入区间301，495的人做问卷b，编号落入区间496，600的人做问卷c，则抽到的人中，做问卷c的人数为8考点： 系统抽样方法专题： 概率与统计分析： 由题意可得抽到的号码构成以3为首项、以12为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=12n9，由49612n9600，求得正整数n的个数，即为所求解答： 解：60050=12，由题意可得抽到的号码构成以3为首项、以12为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=3+12（n1）=12n9落入区间496，600的人做问卷c，由 49612n9600， 即50512n609解得42n50再由n为正整数可得 43n50，做问卷c的人数为5043+1=8，故答案为：8点评： 本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础13对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为9考点： 等差数列的通项公式；数列的函数特性专题： 等差数列与等比数列分析： 由题意可得a3a2=73=4=22，a4a3=137=6=23，amam1=2（m1），累加由等差数列的求和公式可得am，验证可得解答： 解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为am，则由题意可得a3a2=73=4=22，a4a3=137=6=23，amam1=2（m1），以上m2个式子相加可得ama2=（m+1）（m2），am=a2+（m+1）（m2）=m2m+1，当m=9时，am=73，即73是93的“分裂”数中的第一个故答案为：9点评： 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及累加法求数列的通项公式，属中档题14已知偶函数f（x）满足f（x+1）=，且当x1，0时，f（x）=x2，若在区间1，3内，函数g（x）=f（x）loga（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是5，+）考点： 抽象函数及其应用；函数的零点与方程根的关系专题： 综合题；函数的性质及应用分析： 根据f（x+1）=，可得f（x）是周期为2的周期函数 再由f（x）是偶函数，当x1，0时，f（x）=x2，可得函数在1，3上的解析式根据题意可得函数y=f（x）的图象与y=loga（x+2有4个交点，即可得实数a的取值范围解答： 解：函数f（x）满足f（x+1）=，故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数再由f（x）是偶函数，当x1，0时，f（x）=x2，可得当x0，1时，f（x）=x2，故当x1，1时，f（x）=x2 ，当x1，3时，f（x）=（x2）2由于函数g（x）=f（x）loga（x+2）有4个零点，故函数y=f（x）的图象与y=loga（x+2）有4个交点，所以可得1loga（3+2），实数a的取值范围是5，+）故答案为：5，+）点评： 本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题15抛物线y2=12x的焦点为f，点p为抛物线上的动点，点m为其准线上的动点，当fpm为等边三角形时，则fpm的外接圆的方程为考点： 抛物线的简单性质专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用抛物线的定义得出pm垂直于抛物线的准线，设m（3，m），则p（9，m），求出pmf的边长，写出有关点的坐标，得到外心q的坐标，fpm的外接圆的半径，从而求出其方程解答： 解：据题意知，pmf为等边三角形，pf=pm，pm抛物线的准线，f（3，0）设m（3，m），则p（9，m），等边三角形边长为12，如图在直角三角形apf中，pf=12，解得外心q的坐标为（3，4） 则fpm的外接圆的半径为4，则fpm的外接圆的方程为故答案为：点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，sin（ba）=cosc（）求a，b，c；（）若sabc=3+，求a，c考点： 正弦定理；两角和与差的正弦函数专题： 解三角形分析： （）直接利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，结合已知条件，通过解三角方程即可求a，b，c；（）通过sabc=3+，以及正弦定理即可求a，c解答： 解：（），sinccosa+sinccosb=coscsina+coscsinb，即 sinccosacoscsina=coscsinbsinccosb，得 sin（ca）=sin（bc） ca=bc，或ca=（bc）（不成立） 即 2c=a+b，得，则，或（舍去） （）又，即 ，点评： 本题考查正弦定理以及三角形的面积的求法，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力17已知数列an是等比数列，首项a1=1，公比q0，其前n项和为sn，且s1+a1，s3+a3，s2+a2成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足an+1=（），tn为数列bn的前n项和，若tnm恒成立，求m的最大值考点： 数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和专题： 等差数列与等比数列分析： （）法一：由s1+a1，s3+a3，s2+a2成等差数列，推出4a3=a1，求出公比，然后求解通项公式（）法二：由s1+a1，s3+a3，s2+a2成等差数列，结合等比数列的和，求出公比，然后求解通项公式（）求出，利用错位相减法求出，转化tnm恒成立，为（tn）minm，通过tn为递增数列，求解m的最大值即可解答： 解：（）法一：由题意可知：2（s3+a3）=（s1+a1）+（s2+a2）s3s1+s3s2=a1+a22a3，即4a3=a1，于是，q0，； a1=1，（）法二：由题意可知：2（s3+a3）=（s1+a1）+（s2+a2）当q=1时，不符合题意；当q1时，2（1+q+q2+q2）=2+1+q+q，4q2=1，q0，a1=1，（），（1）（2）（1）（2）得：=tnm恒成立，只需（tn）minmtn为递增数列，当n=1时，（tn）min=1，m1，m的最大值为1点评： 本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列的通项公式的求法以及数列求和的方法的应用，数列的函数的性质，考查计算能力18甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立（）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（）记x为比赛决胜出胜负时的总局数，求x的分布列和均值（数学期望）考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差专题： 概率与统计分析：（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求x的分布列；以及均值解答： 解：用a表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，ak表示第k局甲获胜，bk表示第k局乙获胜，则p（ak）=，p（bk）=，k=1，2，3，4，5（）p（a）=p（a1a2）+p（b1a2a3）+p（a1b2a3a4）=（）2+（）2+（）2=（）x的可能取值为2，3，4，5p（x=2）=p（a1a2）+p（b1b2）=，p（x=3）=p（b1a2a3）+p（a1b2b3）=，p（x=4）=p（a1b2a3a4）+p（b1a2b3b4）=，p（x=5）=p（a1b2a3b4a5）+p（b1a2b3a4b5）+p（b1a2b3a4a5）+p（a1b2a3b4b5）=，或者p（x=5）=1p（x=2）p（x=3）p（x=4）=，故分布列为： x 2 3 4 5 p e（x）=2+3+4+5=点评： 本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力19如图，在abc中，已知abc=45，o在ab上，且ob=oc=ab，又po平面abc，dapo，da=ao=po（）求证：pd平面cod；（）求二面角bdco的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定专题： 空间位置关系与距离；空间向量及应用分析： （）设oa=1，则po=ob=2，da=1，由dapo，po平面abc，知da平面abc，可得daao利用勾股定理的逆定理可得：pddo由oc=ob=2，abc=45，可得coab，又po平面abc，可得pooc，得到co平面pab得到copd即可证明（）如图建立空间直角坐标系，点a为坐标原点，设ab=1，利用线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系得出两个平面的法向量，求出其夹角即可解答： （）证明：设oa=1，则po=ob=2，da=1，由dapo，po平面abc，知da平面abc，daao从而，在pdo中，po=2，pdo为直角三角形，故pddo又oc=ob=2，abc=45，coab，又po平面abc，pooc，又po，ab平面pab，poab=o，co平面pab故copdcodo=o，pd平面cod（）解：以oc，ob，op所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图则由（）知，c（2，0，0），b（0，2，0），p（0，0，2），d（0，1，1），由（）知pd平面cod，是平面dco的一个法向量，设平面bdc的法向量为，令y=1，则x=1，z=3，由图可知：二面角bdco为锐角，二面角bdco的余弦值为点评： 本题考查了线面垂直的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力20已知函数f（x）=xalnx（ar）（）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（）若g（x）=，在1，e（e=2.71828）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 导数的综合应用分析： （）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程（）求出函数的定义域，函数的导函数，a1时，a1时，分别求解函数的单调区间即可（）转化已知条件为函数在1，e上的最小值h（x）min0，利用第（）问的结果，通过ae1时，a0时，0ae1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围解答： 解：（）当a=2时，f（x）=x2lnx，f（1）=1，切点（1，1），k=f（1）=12=1，曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y1=（x1），即x+y2=0（），定义域为（0，+），当a+10，即a1时，令h（x）0，x0，x1+a令h（x）0，x0，0x1+a当a+10，即a1时，h（x）0恒成立，