第49届IMO试题解答.pdf

竞赛之窗 第4 9届IMO试 题 解 答 1 已知H是锐角 ABC的垂心 以边 BC的中点为圆心 过点H的圆与直线BC交 于A1 A2两点 以边CA的中点为圆心 过点 H的圆与直线CA交于B1 B2两点 以边AB 的中点为圆心 过点H的圆与直线AB交于 C1 C2两点 证明 A1 A2 B1 B2 C1 C2六 点共圆 俄罗斯 提供 2 1 设实数 x y z都不等于1 满足 xyz 1 求证 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 1 2 证明 存在无穷多组三元有理数组 x y z x y z都不等于1 且xyz 1 使得 上述不等式等号成立 奥地利 提供 3 证明 存在无穷多个正整数n 使得 n 2 1有一个大于2n 2n的质因子 立陶宛 提供 4 求所有的函数 f 0 0 满足对所有的正实数w x y z wx yz 有 f w 2 f x 2 f y 2 f z 2 w 2 x 2 y 2 z 2 韩国 提供 5 设n和k是正整数 k n 且k n是 一个偶数 2n盏灯依次编号为1 2 2n 每一盏灯可以 开 和 关 开始时 所有的灯 都是关的 对这些灯可进行操作 每一次操作 只改变其中一盏灯的开关状态 即开变成关 关变成开 考虑长度为k的操作序列 序列 中的第i项就是第i次操作时被改变开关状 态的那盏灯的编号 设N是k次操作后使得灯1 2 n是 开的且灯n 1 n 2 2n是关的状态的 所有不同的操作序列的个数 设M是k次操作后使得灯1 2 n是 开的且灯n 1 n 2 2n是关的 但是灯 n 1 n 2 2n始终没有被开过的所有 不同的操作序列的个数 求比值 N M 法国 提供 6 在凸四边形ABCD中 BA BC 圆 1 和 2分别是 ABC和 ADC 的内切圆 假 设存在一个圆 与射线BA相切 切点不在 线段BA上 与射线BC相切 切点不在线段 BC上 且与直线AD和CD都相切 证明 圆 1 2的两条外公切线的交点在圆 上 俄罗斯 提供 参 考 答 案 1 如图1 B0 C0分别是边CA AB的中 点 设以B0为圆心 过点H的圆与以C0为 圆心 过点H的圆的另一个交点为A 图1 则A H C0B0 712008年第9期 1994 2008 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 又因为B0 C0分别是边CA AB的中 点 所以 C0B0 BC 从而 A H BC 于是 点A 在AH上 由切割线定理得 AC1 AC2 AA AH AB1 AB2 故B1 B2 C1 C2四点共圆 分别作B1B2 C1C2的垂直平分线 设其 交点为O 则O是四边形B1B2C1C2的外接 圆圆心 也是 ABC的外心 且 OB1 OB2 OC1 OC2 同理 OA1 OA2 OB1 OB2 因此 A1 A2 B1 B2 C1 C2六点都是在 以O为圆心 OA1为半径的圆上 故A1 A2 B1 B2 C1 C2六点共圆 2 1 令 x x 1 a y y 1 b z z 1 c 则 x a a 1 y b b 1 z c c 1 由xyz 1 abc a 1 b 1 c 1 a b c 1 ab bc ca a 2 b 2 c 2 a b c 2 2 ab bc ca a b c 2 2 a b c 1 a b c 1 2 1 1 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 1 2 令 x y z k k 1 2 k k 2 k 1 k 2 k N 则 x y z 是三元有理数组 x y z都不等于1 且对于不同的正整数k 三元 有理数组 x y z 互不相同 此时 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 k 2 k2 k 1 2 k k2 2 k2 k 1 2 k 1 2 k2 k 1 2 k 4 2k 3 3k 2 2k 1 k2 k 1 2 1 从而 命题得证 3 设m m 20 是整数 p是 m 2 1 的一个质因子 则p m 20 令整数n满足0 n p 2 且 n m modp 于是 0 n p n 2n 2n 由式 知命题成立 4 令w x y z 1 则 f 1 2 f 1 所以 f 1 1 对任意t 0 令w t x 1 y z t 则 f t 2 1 2f t t 2 1 2t 去分母整理得 tf t 1 f t t 0 所以 对每个t 0 f t t或f t 1 t 若存在b c 0 使得 f b b f c 1 c 则由结论 知b c都不等于1 且 f b 1 b f c c 令w b x c y z bc 则 1 b 2 c 2 2f bc b 2 c 2 2bc 故f bc c b 2 c 3 b b 2 c 2 因为f bc bc或f bc 1 bc 81中 等 数 学 1994 2008 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 若f bc bc 则 bc c b 2 c 3 b b 2 c 2 得b 4 c c b 1 矛盾 若f bc 1 bc 则 1 bc c b 2 c 3 b b 2 c 2 得b 2 c 4 b 2 c 1 矛盾 所以 或者f x x x 0 或者f x 1 x x 0 经检验 f x x x 0 和f x 1 x x 0 均满足要求 5 张瑞祥的解答 所求的比值为2 k n 引理 设t是正整数 如果一个t元0 1 数组 a1 a2 at a1 a2 at 0 1 其中共有奇数个0 那么 称其为 好的 则 好数组共有2 t 1个 引理的证明 事实上 对于相同的a1 a2 at 1 在at取0 1时得到的两个数组 中的奇偶性不同 则恰好有一个为好的 于 是 可以将总共2 t 个不同的可能数组两两配 对 每对数组仅有at不同 则每对恰好有一 个好数组 故好数组占总体的一半 即2 t 1 个 引理得证 称k次操作后灯1 2 n是开的且灯 n 1 n 2 2n是关的状态的操作序列的 全体记为A类列 k次操作后灯1 2 n是 开的且灯n 1 n 2 2n是关的 但灯 n 1 n 2 2n始终没有被操作过的操 作序列的全体记为B类列 对于任意一个B类列b 将有如下性质 的A类列a全部与它对应 a的各元素在 模n的意义下对应相同 例如 n 2 k 4 时 b 2 2 2 1 可对应如a 4 4 2 1 a 2 2 2 1 a 2 4 4 1 等 那么 由 于b是B类列 其中1 2 n的个数必定 全为奇数 而a是A类列 又要求a中1 2 n的个数全为奇数 且n 1 n 2 2n 的个数全为偶数 于是 对任意的i 1 2 n 设b中 有bi个i 则a必须且只需满足 对任意的i 1 2 n b中是i的bi个元所在位上 在a中都是i或者n i 且i有奇数个 自然 n i就有偶数个 由引理及乘法原理 b恰可对应 n i 1 2 bi 1 2 k n 个不同的a 而每个A中的元a均有B中一 元 唯一的一个元 b 它是把a的各位变成 它除以n的最小正余数 可以对应它 从而 必有 A 2 k n B 即 N 2 k nM 又易知M 0 因为操作列 1 2 n n n B 则 N M 2 k n 6 牟晓生的解答 先证两个引理 引理1 设四边形ABCD是凸四边形 圆 与射线BA 不包括线段BA 相切 与射 线BC 不包括线段BC 相切 且与直线AD 和CD都相切 则 AB AD CB CD 图2 引理1的证明 如 图2 设直线AB BC CD DA分别与圆 切 于点P Q R S 则 AB AD CB CD AB AD DS CB CD DR AB AS CB CR AB AP CB CQ BP BQ 从而 引理1得证 引理2 设 O1 O2 O3的半径两 两不等 则它们的外位似中心共线 912008年第9期 1994 2008 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 引理2的证明 设X3是 O1与 O2的 图3 外 位 似 中 心 如图3 X2 是 O1与 O3 的 外 位 似 中 心 X1是 O2 与 O3的外 位似中心 ri是 Oi i 1 2 3 的半径 由位似的性质知 O1X3 X3O2 r1 r2 这里的O1X3表示有向线段O1X3 同理 O2X1 X1O3 r2 r3 O3X2 X2O1 r3 r1 故 O1X3 X3O2 O2X1 X1O3 O3X2 X2O1 r1 r2 r2 r3 r3 r1 1 由梅涅劳斯定理知 X1 X2 X3三点共 线 如图4 设U V分别是圆 1 2与AC 的切点 图4 则AV AD AC CD 2 AC 2 AD CD 2 AC 2 CB AB 2 AC CB AB 2 由引理1 CU 所以 ABC的关于顶点B的旁切圆 3 与边AC的切点亦为V 因此 2与 3内切于点V 即V 为 2 与 3的外位似中心 设K是 1与 2的外位似中心 即两条 外公切线的交点 由引理2知 K V B三点 共线 完全类似可得K D U三点共线 因为BA BC 所以 U V 否则 由AV CU知 U V是边AC的中点 与BA BC 矛盾 因此 直线BV与DU不重合 故K BV DU 于是 只需证明直线BV与DU的交点在 圆 上 作圆 的一条平行于AC的切线l 靠近 边AC的那条 设l与圆 切于点T 下证 B V T三点共线 图5 如 图5 设l 与射线BA BC分 别交于点A1 C1 则圆 是 BA1C1 的关于顶点B的 旁切圆 T是其与 A1C1的切点 而圆 3是 BAC关于 点B的旁切圆 圆 3与AC切于