练习6-0 静电场5.doc

练习6 静电场电荷及其相互作用6.1 讨论下列问题:(1) 电从何来? 通常说“某物体带电”, 意味着什么?(2) 摩擦和感应是常用的两种起电方式, 试分析它们的起电机理。现给你两个装在绝缘架上的金属球壳, 你用什么办法可使它们( a )带同号电荷; ( b )带异号电荷。分析与解答(略)6.2 下列说法中哪些是错的, 并指出错在哪里:(1) 库仑定律只适用于点电荷;(2) 把质量为m, 荷电为q 的点电荷,在电场中由静止释放, 则该点电荷将沿电场线运动;(3) 根据库仑定律, 可知, 当r0 时, F;(4) 两块面积相同, 相距为d 的极板, 带电荷分别为+q, -q, 则其间的作用力为.分析与解答(1)正确.(2)错误.因为电场线的切线方向是电场强度的方向,也就是点电荷的受力方向(或加速度的方向),而运动方向是由速度方向决定的.当电场线是直线时,此说法成立,当电场线是曲线时,此说法不成立.(3)错误.因为库仑定律只适用于点电荷,当r0时带电体和已经不能看作是点电荷了.库仑定律不再适用,故由此得出的F也就没有意义了.(4)错误.因为两带电平板不一定可以看作是点电荷,则用库仑定律来计算它们之间的受力大小是不正确的.只有当间距d远远大于平板线度时,才可以将带电平板看作是点电荷,才能由上式来计算,而当间距d远远小于平板线度时,应由无限大带电平面公式来计算,当间距d不满足上述条件时,其受力大小较复杂.6.3 估算以下各题(不要求精确计算) , 以帮助建立某些数量级的概念。(1) 中子是由一个荷电2 e/ 3 的上夸克和两个荷电- e/ 3 的下夸克构成。设中子内两个下夸克之间相距2.610-15 m, 若把它们当做经典粒子处理。求它们之间的相互作用力。（2）一原子核中两个质子之间的距离约为510-15m, 试估算它们之间的静电斥力。这个力到底有多大? 你不妨计算这样的问题: 在重力场中, 这个斥力能支撑一个多大质量的物体, 使其不掉下来?( 正因为静电斥力远远大于万有引力, 要使原子核保持稳定, 人们推测核内必然存在另一种更强大的凝聚力, 这就是强相互作用。)分析与解答(1)由库仑定律: F=.=./ =9=3.78N (斥力)（2）库仑斥力 F=9.2N 令 F=mg 得 m=0.94kg表明，核中两个质子间的斥力大小可支撑0.94kg的物体.电场强度E6.4 试讨论:(1) E 是从力的角度表征电场物质性的物理量。既然前面已引入了静电库仑力F, 为什么还要引出E 呢?(2) 图中, Q 表示场源电荷, q 表示试验电荷, r 为点P 到场源的距离,试分别画出图示的6 种情况下, q 在点P 的受力方向和该点E 的方向。由此, 你从中能得到什么结论。题6.4(2) 图(3) 试用电场线表示均匀电场和非均匀电场。 分析与解答（略）6.5 判断下列说法, 若是错误的, 请指出错在何处, 并说明正确的结论。(1) 两根电场线不会相交, 表明电场中任一点的E 只有一个方向, 即电场线的延伸方向;(2) 电荷在电场中某点受力很大, 则该点E 必很大;(3) 电荷在电场中某点受力的方向, 即为该点E 的方向;(4) 两个点电荷q1 ,q2 在空间的位置不变, 现引入试验电荷q0 , 则空间各点的电场强度以及q1 ,q2之间作用力均发生变化;（5）地球表面有电场存在，而电子在电场中受到向上的静电力，可见，该处的E方向向下。分析与解答（1）错误。因为电场强度E的方向不是电场线的延伸方向，而是切线方向。（2）错误。因电荷受力的大小不仅与电场强度的大小有关，而且与q的大小也有关。若q很大时，即使电场强度的量值不是很大，该电荷的受力也是很大的。（3）错误。对正电荷而言，受力的方向就是电场强度E的方向，而对负电荷来说，受力的方向应是电场强度E的反方向。（4）错误。引入试验电荷不会影响原电场的分布。（5）正确。6.6 在阅读、研究教材上的几个典型例题的基础上填空、小结。(1) 点电荷电场中某一点的E=_ ;(2) 根据电场强度叠加原理, 点电荷系的电场强度E = ;(3) 小结一下用微元法计算连续带电体电场中任一点E 的思路、方法和必须注意的一些问题。在此基础上求解以下各题。6.7 水平放置的均匀带电细棒, 长为l , 电荷为q。试求其自身延长线上离棒中心为r 处一点的电场强度E。分析与解答 取dx,其上带电荷 dq在p点激发的电场强度dE为 则整个细杆所带电荷在p点的电场强度E为O dx xrP6.7 (2)电荷元d= d=d， 2分 在棒的垂直平分线上， d= ，方向如图。 2分由对称性分析： d= 2dsin sin 2分 = 2分 6.8 如图所示, 一半无限长均匀带电细杆,其电荷线密度为, 试求距杆端点为d 的P点的电场强度。分析与解答 (解答略) 题6.8 图6.9 已知无限大均匀带电平板周围的电场强度，试用叠加法直接写出图中a,b,c区域的E，并讨论一下如果要求解两极板间的相互作用力，怎么处理？分析与解答取向右为x轴正方向。(甲)图中： （乙）图中： 欲求题设两无限大均匀带电极板间的相互作用力，需用下式， 式中S为极板面积。分析与解答由均匀带电圆环在轴线上一点的场： 2分将平面视为许多同心的半径为从0的细圆环组成，取任一个以为中心，半径在之间的细圆环为点电荷元， d 2分 2分 故整个带电平面在点的场为: 2分2） B板受力大小： 2分3) 同上可讨论A板受力。电场力做功的特性6.10 电场力做功具有什么特性? 并讨论下列各式的意义:(1) ; (2) (3) ; (4)(5) ( 为非静电性电场的电场强度)分析与解答电场力做功与路径无关，只与始末位置有关。(1)表示将点电荷q从场点a移到b电场力所做的功；(2) 表示将点电荷q从场点a移到远处电场力所做的功，即q位于场点a时，系统拥有的电势能；(3) 表示单位正电荷在场点P时，系统具有的电势能，即该场点的电势；（4）称为静电场的环路定理，它表明静电场是保守场；（5）称为电动势，它表明非静电性，电场是非保守场。6.11 如图所示, OCD 是以B 为圆心、R 为半径的半圆, AB = 2R, A 处有- Q, B处有+Q, 现引进试验电荷q。请填空并回答问题。(1) +q 在点O 时系统的电势能W0 = , 在点D 时系统的电势能WD = ; -q 在点O 时系统的电势能W0 = ; 在点D 时系统的电势能WD= 。(2) 把+q 从点O 沿OCD 移到点D, 电场力对它做功为多少?(3) 把-q 从点D 沿AB 延长线移到 处, 电场力对它做功为多少?(4) 把q 沿OCDBO 运动1 周, 电场力对它们做功为多少分析与解答电场力做的功(1) +q在O点的电势能 题6.11 图 在D点的电势能 同理，-q在O点的电势能 在D点的电势能 （2）电场力所做的功等于电势能增量的负值。即 （3）取（无限远处为电势能零点）（4）电场力是保守力，沿一封闭路径电场力做功为零，无论+q和-q沿OCDBO移动一周，电场力做功都是零，即。电势 U6.12 试讨论:(1) U 是从功能角度表征电场物质性的物理量, 既然前面已引入电势能, 为什么还要引入电势U 呢?(2) 如何科学地定义电势?在场源电荷为有限分布的情况下, 其数学表达式为U = 。(3) 电场线与等势面(线) 的关系如何?(4) 在下图（教材P256）所示的6 种情况下, 场源电荷为+Q 和- Q, 试验电荷为+q 和-q。当+q(或-q)分别置于A、B 两点时, 试指出E 的方向, A, B 两点电势能大小和电势高低。 题6.12（4）图分析与解答（1）（2）（3）略 (4)在+Q 场中引入+q时：由AB且,;电势，（最低）; 电势能,（最小）引入-q时：、U情况不变，它们与外试验电荷q无关; 电势能WAWB, W=0（最大）不引入电荷时：、U不变,W=06.13 判断下列说法:(1) 电势高的地方, 电场强度必大;(2) 电势为零处, 电场强度必为零;(3) 电势为零的物体必然不带电;带正电的物体, 电势必为正的;(4)“静电场中各点有确定电势, 但其数值、符号又是相对的”, 此话是矛盾的;(5) 电场中两点间的电势差与零电势点的选择无关;(6) U与E是表征电场本身某一点性质的, 与引入电场的外电荷无关。分析与解答（1） 错误。某场点的电场强度与电势梯度有关，与电势高低无关。如等势球体的电势可以很高，但内部任一场点的E=0;（2）错误。理由同（1）。如偶极子中垂线上任一场点电势为零，但电场强度却不为零。（3）错误。物体的电势与它处在电场中的位置有关，与自身是否带电无直接联系。如接地的导体处于外电场中，电势为零，但表面会带电；同样，带正电的物体，电势可以为正，也可能为负，这与它所处的电场有关。（4）错误。所谓“确定的电势”是对所选定的电势零点而言的，而且零点的选择，原则上是任意的，因此，此话不矛盾。（5）（6）正确。 6.14 求题6.14图（P256）所示各种情况下点P 的电场强度E 和电势UP 。题6.14 图分析与解答根据电场强度和电势的叠加原理，有(a)； (b) ； (c) （见主教材P201-202题6.2.1） (d) (由高斯定理计算)； （r0处为电势零点，本题不能选无限远处，即r为电势零点）高斯定理6.15 讨论下列问题:( 1) 何谓电场强度通量e? 其正、负的含义如何?( 2) 面积元矢量dS 的方向如何标定?( 3) 对一个封闭曲面来说,正法线n 的方向如何确定?( 4) 有一均匀电场E 与半径为a 的半球面的轴线平行, 则通过半球面的e = 。分析与解答 略6.16 判断下列说法, 对理解高斯定理的意义会有帮助。( 1 )中的E 是由6Q产生的, 与高斯面外的电荷无关;( 2) 通过一封闭面的e = 0 ,其上的E 必为零;( 3) 高斯面上的处处不为零, 则该面内必有电荷;( 4) 高斯面上E 处处为零, 则该面内必无电荷;( 5) 电荷在高斯面内发生运动, 则e将随之变化;( 6) 一正立方体内含点电荷Q, 则通过任一侧面的;( 7) 高斯定理只在均匀对称场中成立, 在诸如电偶极子中就不适用。分析解答（1）错误。 因为高斯面上各点的电场强度不仅与高斯面内的电荷有关，而且与高斯面外的电荷也有关。（2）错误。e = 0只能说明高斯面内无电荷（或电荷代数和为零），但高斯面外的电荷可以产生电场，或高斯面内有等量异号电荷，但电荷中心不重合时，高斯面上电场强度也不为零（如球面内置一电偶极子的情况）。另外，也可由e= EScos 来说明（3）、（4）错误。因为高斯面上的电场强度可以是高斯面外的电荷产生的。（4）错误。当高斯面内有等量的异号且中心重合的电荷时（如均匀带电正电的球面，球心处有一等量负电荷），就可以使高斯面上电场强度为零。（5）错误。只要电荷仍在高斯面内，无论处于何处，其通量都不会变化。（6）错误。当Q不在立方体中心O时，此结论不成立。（7）静电场的高斯定理说明静电场是有源场，它既适用于均匀电场，也适用于非均匀电场。只是用它来简单计算电场强度时，必须是对称场。6.17 如题6.17图（P257）所示, 半径为R1 , R2 的两个同心球面上, 分别均匀分布着+Q1 , +Q2 。求:( 1), ,3 个区域的电场强度E与电势U;( 2)分别画出E r 曲线;( 3) 若Q1 ,Q2为异号电荷时, 则情况如何?( 4) 若在两球面外, 沿直径方向放一长为l = R2、电荷线密度为的均匀带电细杆ab( Oab 在同一直线上),Oa = 2R2,求ab 受力多少?分析解答(1)按题意，两同心带电球面系统的电场分布具有球对称性，可用高斯定理来求解电场强度E的分布。为此，以O为求心,r为半径作高斯球面，由高斯定理有： 则 当 rR1 ,在球内过任一点做同心球形高斯面由高斯定理可得 E1=0R1rR2 同理过球外任一点做同心球形高斯面 由高斯定理可得 = 有 (沿方向) 4） 曲线如图。 2分 ErR1R2O由电势的定义式 求各个区域的电势分布rR1 R1rR2 曲线如图 2分R1R2rOU(3)视具体情况而定，有可能改变、的大小和方向。 （4）取沿oad方向为x轴正方向，并以O点为坐标原点。 在ab杆上，距O点为x处取线元dx，其上带电荷dq=dx，该处的电场强度，则受电场力为 则 ab受电场力为 或 6.18 在一厚度为d 的无限大平板层内均匀荷电, 其体密度 0。欲求平板层内外的电场强度E 的分布。(1) 如何取高斯面?(2) 电场强度分布情况如何?(3) 画出E r 曲线。分析解答(1) 以r为半径作一圆柱面与平板层相贯穿。(2) 由高斯定理有 E故 (3) E-r曲线如图所示 x 题6.19 图 题6.20（6） 图 题6.22 图6.19 设有一均匀带电球体，半径为R，电荷体密度为试求：（1）其电场强度的分布；（2）若在球内 挖 去 一 个 半 径 为R“ 的 球 形 空 腔，求空腔内任一点的电场强度。分析解答（1）按题意，均匀带电球体系统的电场分布具有球对称性，可用高斯定理来求解电场强度E的分布。为此，以O为求心,r为半径作高斯球面，由高斯定理有： 则 当 rR (沿方向)（2）在球内挖去一个半径为R的球形空腔，相当于在均匀带电球体该处放进一个带异号电荷半径为R的球体。则空腔内的电场强度可用电场强度叠加原理求。2）由1）的结果及补偿法求解。 空腔可等效与一个体密度为的完整均匀带电球体和一个体密度为-，球心在处的带电球体的场强的叠加。 1分由1）的结果：带电球体内任一点场强为 故： 空腔内任一点场强为： 2分又由矢量三角形关系： 得： 2分导体与电介质6.20 正误题:(1) 导体放入电场中, 自由电荷要重新分布。两端感应出的正负电荷一定相等。此时, 导体两端的电势相等, 但符号相反;(2) 带电导体表面附近的电场强度方向总是与表面垂直, 与外部是否存在其他带电体无关;(3) 将带+ Q的导体A移近不带电的孤立导体B时, B的电势将升高;如果B 是接地的,则B的电势就保持不变, 且UB = 0;(4) 导体静电平衡时, 内部电场强度必为零;(5) 介质中的电场强度E 与真空中的电场强度的关系, 表明E 与极化电荷无关; (6) 图中, A 为电位移线, B 为电场线。它们的密度应该是不同的。 分析与解答 (1)错误。导体是等位体，故两端电位相等，符号相同。(2)(3)(4)(6)正确。(5)错误。电介质中电场强度E是真空中电场强度E0与极化电荷所激 发电场的叠加，所以与极化电荷有关，式中的与介质种类有关，正是反映极化电荷影响的参数。6.21 讨论、分析下列问题。(1) 在孤立导体球壳A 的中心放一个点电荷q , 球壳内外表面上的电荷分布是否均匀? 如果点电荷偏离球心, 情况又如何?(2) 若在壳内移动q 或将q 与壳接触, 壳外部的电场是否会改变?(3) 若从外部将另一带电导体B 移近导体球壳A, 壳上的电荷分布和壳内电场强度有无变化?分析与解答(1)+q置于球壳A的中心时，由于静电感应，球壳内表面均匀分布等量的感应电荷-q，外表面均匀的分布等量的+q。若+q偏离球心，内表面的-q将变为不均匀分布，外表面+q仍均匀分布。 (2)若+q在壳内移动，只改变表面-q的分布情况，对外表面+q的分布情况没有影响，若将+q与壳接触，则+q均匀分布到球壳外表面上。因此，均不会影响壳外的电场分布。(3)带电体B移近A时，A壳外表面的电荷分布将发生变化，因静电屏蔽作用，不会改变壳内的电场分布。6.22 如图所示, 半径为R1 的导体球A, 电荷为q, 其外套同心导体球壳B, 内半径为R2 , 外半径为R3 , 且R2 = 2 R1 , R3 = 3 R1 。今距球心O 为d = 4 R1 的点P 处放一点电荷Q, 并将球壳B接地。试问: (1) 球壳B 所带的净电荷Q是多少? (2) 如用导线将导体球A 与球壳B 相连, 球壳B 所带的电荷Q为多少?(3) 若球壳B 不接地, 而将球A 接地, 此时, 球A 和球壳B 各带多少电荷?分析与解答 (1) 球壳B接触地时,它是三个电势叠加的结果，球A上的q产生的、Q产生的和B壳上的感应电荷Q产生的总和。即 则 (2) 将导线把A、B相连，球壳B接地，仍保持 题6.22 图，它是Q和Q产生的电势叠加结果，即 故 (3)球A接地时，,欲使，则,而壳B上的电荷为 故 电容、电场能量6.23 填空或选择:(1) 孤立导体的电容 = ;(2) 地球的电容C地 = ;(3) 两个电容器A,B,分别带电荷qA , qB , 且qA qB , 则两者的电容关系:(a) CA CB ；(b) CA qB无法确定电容值的大小。 （4）选（a）。因为平板电容器的电容C0=(0S)/d，插入导体板后，两极板间距d变小，故电容C值增大。 (5) 选（a）。因为充以介质后，变大（介质中的电容率总是大于真空中的电容率0），故电容值增大。（6）e= (E2 ) / 26.24 一球形电容器, 由半径分别为R1 和R2 的两同心球壳构成, 球壳间充以相对电容率为r 的均匀电介质。若电容器所带电荷为q, 证明此电容器中所储存的能量为 分析与解答在R1r R2区域内的电场强度为取体积元dV=4r2dr,则dV内的电场能量为该区域内的电场能量为 证毕。应用研究6.25 大型造纸厂在生产纸张过程中,