【优化方案】高考数学一轮复习 13.1 数学归纳法及其应用随堂检测 理（含解析）人教版.doc

【优化方案】2014届高考数学一轮复习 13.1 数学归纳法及其应用随堂检测 理（含解析）人教版已知数列an的前n项和为sn，且满足a11，tsn(2t1)sn1t，其中t0，nn*，n2.(1)求证：数列an是等比数列；(2)设数列an的公比为f(t)，数列bn满足b11，bnf()(n2)，求数列bn的通项公式；(3)在(2)的条件下，若t1，数列bn的前n项和为tn，试比较an和tn的大小关系解：(1)证明：当n2时，tsn(2t1)sn1t，tsn1(2t1)snt，得tan1(2t1)an0.因为t0，所以an1an.又当n2时，由a11，t(a2a1)(2t1)a1t，得a2，由于an0，0，所以对nn*总有，即数列an是首项为1，公比为的等比数列(2)由(1)知f(t)，则bnf()2bn1，又b11，所以数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列，故bn2n1，nn*.(3)当t1时，an3n1，tnn2，对于n1,2,3，a1t11；a23，t24；a3t39.下面用数学归纳法证明，当n4时，antn.当n4时，a427，t416，a4t4成立假设当nk(k4)时，aktk.当nk1时，ak13ak3tk3k2k2kkk2k22k1(k1)2tk1，所证不等式也成立综上：对nn*，n4均有antn，所以当n1,3时，antn，当n2时，a2tn.一、选择题1用数学归纳法证明“1aa2an1(a1，nn*)”在验证n1成立时，左边计算所得项是()a1b1ac1aa2 d1aa2a3解析：选c.左边表达式通项为an1，当n1时为a2.2(2011高考江西卷)观察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，则52 011的末四位数字为()a3125 b5625c0625 d8125解析：选d.553 125,5615 625,5778 125，58末四位数字为0625,59末四位数字为3 125，510末四位数字为5625,511末四位数字为8 125，512末四位数字为0625，由上可得末四位数字，呈规律性交替出现，周期为4.52 011545017的末四位数字为8 125.3已知数列an中a11，a22，an12anan1，用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，应证()aa4k1能被4整除 ba4k2能被4整除ca4k3能被4整除 da4k4能被4整除解析：选d.假设a4k能被4整除，即nk时的命题nk1时其项为a4(k1)a4k4.4用数学归纳法证明不等式1(nn*)成立，其初始值至少应取()a7 b8c9 d10解析：选b.由于12，122，其初始值至少应为8，故选b.5上一个n级的台阶，若每次可上一级或两级，设上法的总数为f(n)，则下列猜想中正确的是()af(n)nbf(n)f(n1)f(n2)cf(n)f(n1)f(n2)df(n)解析：选d.当n1时，f(1)1.当n2时，f(2)2.当n3时，对于n级台阶可看作n1与n2级台阶上法之和二、填空题6(2011高考山东卷)设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nn*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.解析：依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为an2n1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，故其通项公式为bn2n.所以当n2时，fn(x)f(fn1(x).答案：7观察前四个等式：11,14(12)，149123,14916(1234)，猜想第n个等式为_解析：根据前4个等式11，122(12)，12232123，1223242(1234)，可猜想第n个等式为14916(1)n1n2(1)n1(123n)答案：14916(1)n1n2(1)n1(123n)8观察下列等式：132332,13233362根据上述规律，第五个等式为_解析：由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，.因此，第五个等式为132333435363212.答案：132333435363212三、解答题9用数学归纳法证明：12222n12n1(nn*)证明：(1)当n1时，原式左边1(注意2111)，右边2111.故原式左边右边，即等式对n1成立(2)假定nk(kn*)时，等式成立，即有12222k12k1，那么，当nk1时，则有12222k12k(2k1)2k22k12k11，即当nk1时等式成立由以上可知12222n12n1对一切nn*都成立10(2012高考重庆卷节选)设数列an的前n项和sn满足sn1a2sna1，其中a20，求证an是首项为1的等比数列证明：当n1时，由s2a2s1a1，得a1a2a2a1a1，即a2a2a1，再由a20，得a11，所以结论成立假设nk时，结论成立，即aka，那么ak1sk1sk(a2ska1)(a2sk1a1)a2(sksk1)a2aka，即当nk1时，结论也成立综上可得，对任意nn*，ana.因此an是首项为1，公比为a2的等比数列11(探究选做)(2012高考大纲全国卷)函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过两点p(4,5)、qn(xn，f(xn)的直线pqn与x轴交点的横坐标(1)证明：2 xnxn13；(2)求数列xn的通项公式解：(1)证明：当n1时，x12，直线pq1的方程为y5(x4)，令y0，解得x2，所以2x1x23.假设当nk时，结论成立，即2xkxk13.直线pqk1的方程为y5(x4)，令y0，解得xk2.由归纳假设