2013年高中数学教学精品讲义《1-1-4 导数及其应用》课.doc

第一部分 专题一 第4课时(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)A级1(2012武汉名校调研)曲线y2xln x在点(1,2)处的切线方程为()Ayx1Byx3Cyx1 Dyx1解析：由y2xln x可得y2，则在点(1,2)处的切线的斜率为k211，其切线方程为y2x1，即yx1，故应选C.答案：C2(2012陕西卷)设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：f(x)xex，f(x)exxexex(1x)当f(x)0时，即ex(1x)0，即x1，x1时函数yf(x)为增函数，同理可求，x9时，y0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x9是函数的极大值点，又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值答案：C5(2012江西六校联考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)(f(x)，若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上不是凸函数的是()Af(x)sin xcos x Bf(x)ln x2xCf(x)x32x1 Df(x)xex解析：由凸函数的定义可得该题即判断f(x)的二阶导函数f(x)的正负对于A，f(x)cos xsin xf(x)sin xcos x，在x上，恒有f(x)0；对于B，f(x)2，f(x)，在x上，恒有f(x)0；对于C，f(x)3x22，f(x)6x，在x上，恒有f(x)0；对于D，f(x)exxex，f(x)exexxex2exxex，在x上，恒有f(x)0，故选D.答案：D6(2012福建卷)已知f(x)x36x29xabc，abc，且f(a)f(b)f(c)0.现给出如下结论：f(0)f(1)0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是()A BC D解析：f(x)x36x29xabc.f(x)3x212x93(x1)(x3)，令f(x)0，得x1或x3.依题意有，函数f(x)x36x29xabc的图象与x轴有三个不同的交点，故f(1)f(3)0，即(169abc)(3363293abc)0，0abc4，f(0)abc0，f(1)4abc0，f(3)abc0，故是对的，应选C.答案：C7(2012辽宁卷)已知P，Q为拋物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作拋物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_解析：因为yx2，所以yx，易知P(4,8)，Q(2,2)，所以在P、Q两点处切线的斜率的值为4或2.所以这两条切线的方程为l1：4xy80，l2：2xy20，将这两个方程联立方程组求得y4.答案：48已知函数f(x)，导函数为f(x)，在区间2,3上任取一点x0，使得f(x0)0的概率为_解析：f(x)，由f(x)0得0，0xe，故由几何概型可得f(x0)0的概率为pe2.答案：e29(2012苏锡常镇四市一调)已知a，b为正实数，函数f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值为4，则f(x)在1,0上的最小值为_解析：依题意得，当a0，b0时，f(x)3ax2b2xln 20，因此函数f(x)在0,1上是增函数，于是有f(1)ab24，ab2；当a0，b0时，函数f(x)在1,0上也是增函数，于是f(x)在1,0上的最小值是f(1)ab212.答案：10(2012重庆卷)设f(x)aln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值解析：(1)因为f(x)aln xx1，故f(x).由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2.当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.11已知函数f(x)ln x.(1)当a时，求f(x)在1，e上的最大值和最小值；(2)若函数g(x)f(x)x在1，e上为增函数，求正实数a的取值范围解析：(1)当a时，f(x)ln x，f(x)，令f(x)0，得x2.当x1,2)时，f(x)0，故f(x)在1,2)上单调递减；当x(2，e时，f(x)0，故f(x)在(2，e上单调递增f(x)在区间1，e上有唯一的极小值点，故f(x)minf(x)极小值f(2)ln 21.又f(1)0，f(e)0.f(x)在区间1，e上的最大值f(x)maxf(1)0.综上可知，函数f(x)在1，e上的最大值是0，最小值是ln 21.(2)g(x)f(x)xln xx，g(x)(a0)，设(x)ax24ax4，由题意知，只需(x)0在1，e上恒成立即可满足题意a0，函数(x)的图象的对称轴为x2，只需(1)3a40，即a即可故正实数a的取值范围为.B级1(2012江西九校联考)已知函数f(x)aln xbx2.(1)当a2，b时，求函数f(x)在上的最大值；(2)当b0时，若不等式f(x)mx对所有的a，x(1，e2都成立，求实数m的取值范围解析：(1)由题知，f(x)2ln xx2，f(x)x，当xe时，令f(x)0得x；令f(x)0，得xe，f(x)在上单调递增，在(，e上单调递减，f(x)maxf()ln 21.(2)当b0时，f(x)aln x，若不等式f(x)mx对所有的a，x(1，e2都成立，则aln xmx对所有的a，x(1，e2都成立，即maln xx，对所有的a，x(1，e2都成立，令h(a)aln xx，则h(a)为一次函数，mh(a)min.x(1，e2，ln x0，h(a)在上单调递增，h(a)minh(0)x，mx对所有的x(1，e2都成立1xe2，e2x1，m(x)mine2.2(2012浙江卷)已知aR，函数f(x)4x32axa.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当0x1时，f(x)|2a|0.解析：(1)由题意得f(x)12x22a.当a0时，f(x)0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(，)当a0时，f(x)12，此时函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为.(2)证明：由于0x1，故当a2时，f(x)|2a|4x32ax24x34x2.当a2时，f(x)|