山东省临沂市高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合a=log2a，3，b=a，b，若ab=0，则ab=（）a0，3b0，1，3c0，2，3d0，1，2，32如图，d是abc的边ab的中点，则向量等于（）abcd3某商场2014年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，下列函数模型中能较准确反映该商场月销售额f（x）与月份x关系的是（）af（x）=abn（b0，且b1）bf（x）=lognx+b（a0，且a1）cf（x）=x2+ax+bdf（x）=4下列说法正确的是（）a命题“xr，2x0”的否定是“x0r，20”b命题“若sinx=siny，则x=y”的逆否命题为真命题c若命题p，q都是真命题，则命题“pq”为真命题d命题“若abc为锐角三角形，则有sinacosb”是真命题5函数y=在点（0，1）处切线的斜率为（）a2b2cd6已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=ax+xb的零点所在的区间是（）a（2，1）b（1，0）c（0，1）d（1，2）7在abc中，若cosa=，tan（ab）=，则tanb=（）abc2d38函数y=的图象大致为（）abcd9若a=log2x，b=，则“ab”是“x1”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件10定义在r上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=，则关于x的方程f（x）=a（0a1）的所有根之和为（）a3a1b13ac3a1d13a二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。把正确答案填写在答题卡给定的横线上。11函数y=cos（）的最小正周期为12函数y=的定义域为13已知等差数列an满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和s10=14已知向量=（2，1），向量=（3，k），且在方向上的投影为2，则实数k的值为15定义在r上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意xr都有f，则不等式f（x3）的解集为三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程。16已知向量=（sin2，cos），=（sin，cos），其中r（1）若，求角；（2）若|=，求cos2的值17在用“五点法”画函数f（x）=asin（x+）（0，|）在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x+02xasin（x+）0330（）请将上表空格中处所缺的数据填写在答题卡的相应位置上，并直接写出函数f（x）的解析式；（）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到y=g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间18数列an的前n项和sn满足sn=2ana1，且a1，a2+1，a3成等差数列（）求数列an的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n项和tn19在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，c=2a，且a，b，c成公差为1的等差数列，（1）求a的值；（2）求sin（2a+）的值20某市政府欲在如图所示的直角梯形abcd的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），性状为直角梯形defg（线段ed和fg为两条底边），已知bc=2ab=2ad=4km，其中曲线ac是以a为顶点，ad为对称轴的抛物线的一部分（）求曲线ac与cd、ad所围成区域的面积（）求该公园的最大面积21已知函数（i）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（）若y=f（x）在4，+）上为增函数，求实数a的取值范围；（）当a=1时，方程有实根，求实数b的最大值2015-2016学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合a=log2a，3，b=a，b，若ab=0，则ab=（）a0，3b0，1，3c0，2，3d0，1，2，3【考点】并集及其运算【专题】计算题；集合思想；集合【分析】由a，b，以及a与b的交集，求出a的值确定出a，确定出两集合的并集即可【解答】解：a=log2a，3，b=a，b，且ab=0，log2a=1，b=0，解得：a=2，b=0，即a=0，3，b=0，2，则ab=0，2，3，故选：c【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2如图，d是abc的边ab的中点，则向量等于（）abcd【考点】向量的线性运算性质及几何意义；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义【专题】计算题；平面向量及应用【分析】根据三角形中线的性质，得=（+），由平面向量减法得=，两式联解即可得到=+，得到本题答案【解答】解：d是abc的边ab的中点， =（+）=，=（）=+故选：a【点评】本题给出三角形的中线，求向量的线性表示，着重考查了向量的减法及其几何意义、向量的线性运算性质及几何意义等知识，属于基础题3某商场2014年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，下列函数模型中能较准确反映该商场月销售额f（x）与月份x关系的是（）af（x）=abn（b0，且b1）bf（x）=lognx+b（a0，且a1）cf（x）=x2+ax+bdf（x）=【考点】函数模型的选择与应用【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】欲找出能较准确反映商场2013年一月份到十二月份月销售额的模拟函数，主要依据是呈现先下降后上升的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现一个递增区间和一个递减区间，应选f（x）=x2+ax+b【解答】解：（1）若f（x）=abn（b0，且b1），f（x）=lognx+b（a0，且a1），f（x）=是单调函数，故a，b，d均不满足要求：f（x）=x2+ax+b中，函数在对称轴两侧单调性不一致，能出现一个递增区间和一个递减区间，故选：c【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型4下列说法正确的是（）a命题“xr，2x0”的否定是“x0r，20”b命题“若sinx=siny，则x=y”的逆否命题为真命题c若命题p，q都是真命题，则命题“pq”为真命题d命题“若abc为锐角三角形，则有sinacosb”是真命题【考点】命题的真假判断与应用【专题】探究型；对应思想；三角函数的图像与性质；简易逻辑【分析】写出原命题的否定，可判断a；判断原命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断b；根据复合命题真假判断的真值表，可判断c；根据正弦函数的单调性，结合诱导公式，可判断d【解答】解：命题“xr，2x0”的否定是“x0r，20”，故错误；命题“若sinx=siny，则x=y”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；若命题p，q都是真命题，则命题q为假命题，则命题“pq”为假命题，故错误；若abc为锐角三角形，则a+b，则ab，则sinasin（）=cosb，故正确；故选：d【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，四种命题，复合命题，三角函数，难度中档5函数y=在点（0，1）处切线的斜率为（）a2b2cd【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】分析法；导数的概念及应用【分析】求出函数的导数，由导数的几何意义可得在点（0，1）处切线的斜率【解答】解：函数y=的导数为y=，由导数的几何意义，可得在点（0，1）处切线的斜率为k=故选c【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键6已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=ax+xb的零点所在的区间是（）a（2，1）b（1，0）c（0，1）d（1，2）【考点】函数的零点；指数函数的图像与性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+xlog32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1log320，f（1）=log321log32=10，判定即可【解答】解：实数a，b满足2a=3，3b=2，a=log231，0b=log321，函数f（x）=ax+xb，f（x）=（log23）x+xlog32单调递增，f（0）=1log320f（1）=log321log32=10，根据函数的零点判定定理得出函数f（x）=ax+xb的零点所在的区间（1，0），故选：b【点评】本题考查了函数的性质，对数，指数的转化，函数的零点的判定定理，属于基础题7在abc中，若cosa=，tan（ab）=，则tanb=（）abc2d3【考点】两角和与差的正切函数【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tana，再根据tan（ab）的值利用两角差的正切公式求得tanb的值【解答】解：abc中，若cosa=，则sina=，tana=，又tan（ab）=，则tanb=2，故选：c【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题8函数y=的图象大致为（）abcd【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案【解答】解：函数f（x）=，f（x）=f（x），f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除a，当x从右趋向于0时，f（x）趋向于+，当x趋向于+时，f（x）趋向于0，故排除bc，故选：d【点评】本题考查了函数图象的识别，常用的方法利用函数的奇偶性，单调性，特殊值，属于中档题9若a=log2x，b=，则“ab”是“x1”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】函数思想；综合法；简易逻辑【分析】先求出ab的充要条件，从而判断出其和x1的关系即可【解答】解：当x=2时：a=b，而a=在（0，+）递增，b=在（0，+）递减，ab是x2的充要条件，故ab是x1的充分不必要条件，故选：a【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数的单调性问题，是一道基础题10定义在r上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=，则关于x的方程f（x）=a（0a1）的所有根之和为（）a3a1b13ac3a1d13a【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】数形结合；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】利用奇函数得出当x0时，f（x）=，画出图象，根据对称性得出零点的值满足x1+x2，x4+x5的值，关键运用对数求解x3=13a，整体求解即可【解答】解：定义在r上的奇函数f（x），f（x）=f（x），当x0时，f（x）=，得出x0时，f（x）=画出图象得出：如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得出：x1+x2=42=8，x4+x5=24=8，（x3+1）=a，x3=13a，故x1+x2+x3+x4+x5=8+13a+8=13a，故选：d【点评】本题综合考查函数的性质，图象的运用，函数的零点与函数交点问题，考查了数形结合的能力，属于中档题二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。把正确答案填写在答题卡给定的横线上。11函数y=cos（）的最小正周期为【考点】三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质【分析】利用诱导公式化简可得y=cos（2x），根据周期公式即可求值【解答】解：y=cos（）=cos（2x），最小正周期t=故答案为：【点评】本题主要考查了诱导公式及周期公式的应用，属于基础题12函数y=的定义域为x|1x2，且x0【考点】函数的定义域及其求法【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案【解答】解：由，解得1x2，且x0函数y=的定义域为x|1x2，且x0故答案为：x|1x2，且x0【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题13已知等差数列an满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和s10=95【考点】等差数列的性质【专题】计算题【分析】先由a2+a4=4，a3+a5=10，构造关于首项和公差的方程组，求得首项和公差，再用等差数列前n项和求解【解答】解：由a2+a4=4，a3+a5=10得可解得：故答案为：95【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和公式的应用14已知向量=（2，1），向量=（3，k），且在方向上的投影为2，则实数k的值为0或4【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】利用在方向上的投影=即可得出【解答】解：在方向上的投影=2，解得k=0或4经过验证满足方程实数k的值为0或4故答案为：0或4【点评】本题考查了向量的投影计算公式，属于基础题15定义在r上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意xr都有f，则不等式f（x3）的解集为（，1）【考点】其他不等式的解法【专题】转化思想；构造法；不等式的解法及应用【分析】设g（x）=f（x），求出g（1），求出g（x）的导函数，确定其单调性，由单调性列式求解【解答】解：定义在r上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意xr都有f，f（x）0，设h（x）=f（x）x，则h（x）=f（x）0，h（x）是r上的减函数，且h（1）=f（1）=1=故不等式f（x3），即 f（x3），即 h（x3）h（1），即 x31，解得x1，原不等式的解集为（，1），故答案为：（，1）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答的关键是正确构造出辅助函数，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程。16已知向量=（sin2，cos），=（sin，cos），其中r（1）若，求角；（2）若|=，求cos2的值【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】三角函数的求值；平面向量及应用【分析】（1）由向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得角；（2）运用向量的平方即为模的平方，求得sin，再由二倍角公式即可得到所求值【解答】解：（1）向量=（sin2，cos），=（sin，cos），若，则=0，即为sin（sin2）cos2=0，即sin=，可得=2k+或2k+，kz；（2）若|=，即有（）2=2，即（2sin2）2+（2cos）2=2，即为4sin2+48sin+4cos2=2，即有88sin=2，可得sin=，即有cos2=12sin2=12=【点评】本题考查向量的数量积的性质，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的运用，属于中档题17在用“五点法”画函数f（x）=asin（x+）（0，|）在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x+02xasin（x+）03030（）请将上表空格中处所缺的数据填写在答题卡的相应位置上，并直接写出函数f（x）的解析式；（）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到y=g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】（）根据用五点法作函数y=asin（x+）在一个周期上的图象的方法，将上表数据补充完整，直接写出函数f（x）的解析式（）由条件利用y=asin（x+）的图象变换规律，以及正弦函数的图象的性质，得出结论【解答】解：（）根据表中已知数据可得：a=3，+=，+=，解得=，=，数据补全如下表：x+02xasin（x+）03030且函数表达式为f（x）=3sin（x）（）函数y=3sin（x）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到3sin（2x），再将所得函数的图象向左平移个单位，得到g（x）=3sin2（x+）=3sin（2x+），由2k2x+2k，kz可解得g（x）的单调递增区间为：k，k，kz【点评】本题主要考查用五点法作函数y=asin（x+）在一个周期上的图象，利用了y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题18数列an的前n项和sn满足sn=2ana1，且a1，a2+1，a3成等差数列（）求数列an的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n项和tn【考点】数列的求和【专题】综合题；方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（i）由sn=2ana1，利用递推可得：an=2an1由a1，a2+1，a3成等差数列，2（a2+1）=a1+a3，代入解出即可（ii）an+1=2n+1，可得sn，bn=，利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（i）由sn=2ana1，当n2时，sn1=2an1a1，an=2an2an1，化为an=2an1由a1，a2+1，a3成等差数列2（a2+1）=a1+a3，2（2a1+1）=a1+4a1，解得a1=2数列an是等比数列，首项为2，公比为2an=2n（ii）an+1=2n+1，sn=2n+12，sn+1=2n+22bn=数列bn的前n项和tn=+=【点评】本题考查了递推关系的应用、“累加求和”方法、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，c=2a，且a，b，c成公差为1的等差数列，（1）求a的值；（2）求sin（2a+）的值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】（1）由已知条件利用正弦定理求出cosa=，利用余弦定理求出cosa=，由此能求出a（2）分别求出a，b，c的值，从而求出cosa，sina，sin2a，cos2a的值，由此利用正弦加法定理能求出sin（2a+）的值【解答】解：（1）在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，c=2a，且a，b，c成公差为1的等差数列，a=a，b=a+1，c=a+2， =，解得cosa=由余弦定理得 a2=（a+2）2+（a+1）22（a+2）（a+1）cosa，解得 cosa=，解得a=4（2）由（1）得b=5，c=6，cosa=，sina=，sin2a=2sinacosa=，cos2a=cosc=，sin（2a+）=sin2acos+cos2asin=+=【点评】本题考查三角形边长的求法，考查两角和正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理和正弦加法定理的合理运用20某市政府欲在如图所示的直角梯形abcd的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），性状为直角梯形defg（线段ed和fg为两条底边），已知bc=2ab=2ad=4km，其中曲线ac是以a为顶点，ad为对称轴的抛物线的一部分（）求曲线ac与cd、ad所围成区域的面积（）求该公园的最大面积【考点】定积分【专题】应用题；函数思想；数学模型法；导数的综合应用【分析】（1）建立坐标系，求出曲线ac的解析式，则所求面积等于梯形面积减去曲边三角形面积；（2）设出f点横坐标a，将公园面积表示为a的函数，求出函数的最大值即可【解答】解：（1）以ab为x轴，ad为y轴建立平面直角坐标系，则a（0，0），b（2，0），c（2，4），d（0，2）s梯形abcd=（2+4）2=6曲线ac的方程为y=x2，（0x2）曲线ac与cd、ad所围成区域的面积为6=6|=（2）直线cd方程为，即y=x+2，设点f横坐标为a，（0a）则f（a，a2），g（a，a+2），e（0，a2）de=2a2，ef=a，fg=a+2a2，则公园的面积为f（a）=a3+a2+2af（a）=3a2+a+2令f（a）=0得a1=（舍），a2=1当0a1时，f（a）0，当1a时，f（a）0，f（a）在（0，1）上是增函数，在1，）上是减函数fmax（a）=f（1）=该公园的最大面积是