山东省高三数学冲刺模拟（一）试题 理（含解析）.doc

2015年山东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）（2015山东一模）复数z=|（i）i|+i5（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（） a 2i b 2+i c 4i d 4+i【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 直接利用复数模的公式求复数的模，再利用虚数单位i的运算性质化简后得z，则复数z的共轭复数可求【解析】： 解：由z=|（i）i|+i5=，得：故选：a【点评】： 本题考查复数模的求法，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题2（5分）（2015山东一模）若1，1x|x2tx+t|1，则实数t的取值范围是（） a 1，0 b 22，0 c （，2 d 22，2+2【考点】： 集合的包含关系判断及应用【专题】： 计算题；函数的性质及应用；集合【分析】： 令y=x2tx+t，由题意，将集合的包含关系可化为求函数的最值的范围【解析】： 解：令y=x2tx+t，若t=0，则x|x21=1，1，成立，若t0，则ymax=（1）2t（1）+t=2t+11，即t0，不成立；若t0，则ymax=（1）2t+t=11，成立，ymin=（）2t+t1，即t24t40，解得，22t2+2，则22t0，综上所述，22t0故选b【点评】： 本题考查了集合的包含关系的应用，属于基础题3（5分）（2015山东一模）已知m（2，m）是抛物线y2=2px（p0）上一点，则“p1”是“点m到抛物线焦点的距离不少于3”的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 简易逻辑【分析】： 根据抛物线的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解析】： 解：抛物线的交点坐标为f（，0），准线方程为x=，则点m到抛物线焦点的距离pf=2（）=2+，若p1，则pf=2+，此时点m到抛物线焦点的距离不少于3不成立，即充分性不成立，若点m到抛物线焦点的距离不少于3，即pf=2+3，即p2，则p1，成立，即必要性成立，故“p1”是“点m到抛物线焦点的距离不少于3”的必要不充分条件，故选：b【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义和性质是解决本题的关键4（5分）（2015山东一模）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（） a b c 或 d 或【考点】： 圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质【专题】： 计算题【分析】： 先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率当m0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得最后综合答案即可【解析】： 解：依题意可知m=4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e=当m=4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选d【点评】： 本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度5（5分）（2015山东一模）在abc中，若b=2，a=120，三角形的面积s=，则三角形外接圆的半径为（） a b 2 c 2 d 4【考点】： 正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： 由条件求得 c=2=b，可得b的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径r的值【解析】： 解：abc中，b=2，a=120，三角形的面积s=bcsina=c，c=2=b，故b=（180a）=30再由正弦定理可得 =2r=4，三角形外接圆的半径r=2，故选：b【点评】： 本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题6（5分）（2015山东一模）某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此几何体的外接球的表面积为（） a 3 b 4 c 2 d 【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥因此此几何体的外接球的直径2r=正方体的对角线，利用球的表面积计算公式即可得出【解析】： 解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥因此此几何体的外接球的直径2r=正方体的对角线，其表面积s=4r2=3故选：a【点评】： 本题考查了正方体的内接正四棱锥、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）（2015山东一模）定义maxa，b=，设实数x，y满足约束条件，则z=max4x+y，3xy的取值范围是（） a 8，10 b 7，10 c 6，8 d 7，8【考点】： 简单线性规划【专题】： 分类讨论；转化思想；不等式的解法及应用【分析】： 由约束条件作出可行域，结合新定义得到目标函数的分段函数，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解析】： 解：由约束条件作出可行域如图，由定义maxa，b=，得z=max4x+y，3xy=，当x+2y0时，化z=4x+y为y=4x+z，当直线y=4x+z过b（2，1）时z有最小值为4（2）+1=7；当直线y=4x+z过a（2，2）时z有最大值为42+12=10；当x+2y0时，化z=3xy为y=3xz，当直线y=3xz过b（2，1）时z有最小值为3（2）1=7；当直线y=4x+z过a（2，2）时z有最大值为421（2）=10综上，z=max4x+y，3xy的取值范围是7，10故选：b【点评】： 本题是新定义题，考查了简单的线性规划，考查了数形结合及数学转化思想方法，是中档题8（5分）（2015山东一模）函数y=log3（x+3）1（a0，且a1）的图象恒过定点a，若点a在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（） a 2 b 4 c 8 d 16【考点】： 基本不等式；对数函数的图像与性质【专题】： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】： 现根据对数函数图象和性质求出点a的坐标，再根据点在直线上，代入化简得到2m+n=1，再根据基本不等式，即可求出结果【解析】： 解：y=log3（x+3）1（a0，且a1）的图象恒过定点a，当x+3=1时，即x=2时，y=1，a点的坐标为（2，1），点a在直线mx+ny+1=0上，2mn+1=0，即2m+n=1，m，n均大于0，=+=2+24+2=8，当且仅当m=，n=时取等号，故的最小值为8，故选：c【点评】： 本题考查了对数函数图象和性质以及基本不等式，属于中档题9（5分）（2015山东一模）已知abc中，内角a、b、c所对的边分别为a，b，且acosc+c=b，若a=1，c2b=1，则角b为（） a b c d 【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： 已知等式利用正弦定理化简，整理求出cosa的值，求出a的度数，利用余弦定理列出关系式，把a与sina的值代入得到关于b与c的方程，与已知等式联立求出b与c的值，再利用正弦定理求出sinb的值，即可确定出b的度数【解析】： 解：已知等式利用正弦定理化简得：sinacosc+sinc=sinb=sin（a+c）=sinacosc+cosasinc，由sinc0，整理得：cosa=，即a=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosa，即1=b2+c2bc，与c2b=1联立，解得：c=，b=1，由正弦定理=，得：sinb=，bc，bc，则b=故选：b【点评】： 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键10（5分）（2015山东一模）设定义在d上的函数y=h（x）在点p（x0，h（x0）处的切线方程为l：y=g（x），当xx0时，若0在d内恒成立，则称p为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x26x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（） a 1 b c e d 【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 计算题；新定义；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】： 当a=4时，函数y=h（x）在其图象上一点p（x0，f（x0）处的切线方程为y=g（x）=（2x0+6）（xx0）+x026x0+4lnx0由此能推导出y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标【解析】： 解：当a=4时，函数y=h（x）在其图象上一点p（x0，h（x0）处的切线方程为：y=g（x）=（2x0+6）（xx0）+x026x0+4lnx0，设m（x）=h（x）g（x）=x26x+4lnx（2x0+6）（xx0）x02+6x04lnx0，则m（x0）=0m（x）=2x+6（2x0+6）=2（xx0）（1）=（xx0）（x）若x0，（x）在（x0，）上单调递减，当x（x0，）时，m（x）m（x0）=0，此时0；若x0，（x）在（，x0）上单调递减，当x（，x0）时，m（x）m（x0）=0，此时0；y=h（x）在（0，）（，+）上不存在“类对称点”若x0=，（x）20，m（x）在（0，+）上是增函数，当xx0时，m（x）m（x0）=0，当xx0时，m（x）m（x0）=0，故0即此时点p是y=f（x）的“类对称点”综上，y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标故选b【点评】： 本题考查函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的参数的求法，探索函数是否存在“类对称点”解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，此题是难题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）（2015山东一模）已知函数f（x）=|2xa|+a，若不等式f（x）6的解集为x|2x3，则实数a的值为a=1【考点】： 其他不等式的解法【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 不等式即|2xa|6a，解得a3x3再由已知不等式的解集为x|2x3，可得a3=2，由此求得实数a的值【解析】： 解：由题意可得，不等式即|2xa|6a，a62xa6a，解得a3x3再由不等式的解集为x|2x3，可得a3=2，故 a=1，故答案为 a=1【点评】： 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题12（5分）（2015山东一模）已知点a（2，0）抛物线c：x2=4y的焦点为f，射线fa与抛物线c相交于点m，与其准线相交于点n，则|fm|：|mn|=1：【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 求出抛物线c的焦点f的坐标，从而得到af的斜率k=过m作mpl于p，根据抛物线物定义得|fm|=|pm|rtmpn中，根据tanmnp=，从而得到|pn|=2|pm|，进而算出|mn|=|pm|，由此即可得到|fm|：|mn|的值【解析】： 解：抛物线c：x2=4y的焦点为f（0，1），点a坐标为（2，0），抛物线的准线方程为l：y=1，直线af的斜率为k=，过m作mpl于p，根据抛物线物定义得|fm|=|pm|，rtmpn中，tanmnp=k=，=，可得|pn|=2|pm|，得|mn|=|pm|因此可得|fm|：|mn|=|pm|：|mn|=1：故答案为：1：【点评】： 本题给出抛物线方程和射线fa，求线段的比值着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题13（5分）（2015山东一模）已知函数则=【考点】： 定积分【专题】： 导数的综合应用【分析】： =，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y0）的面积，即可得出利用微积分基本定理即可得出dx=【解析】： 解：=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y0）的面积，=又dx=e2e=好故答案为：【点评】： 本题考查了定积分的几何意义、微积分基本定理，属于中档题14（5分）（2015山东一模）把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为96（用数字作答）【考点】： 排列、组合及简单计数问题【专题】： 概率与统计【分析】： 根据题意，先将票分为符合题意要求的4份，可以转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案【解析】： 解：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号在4个空位插3个板子，共有c43=4种情况，再对应到4个人，有a44=24种情况，则共有424=96种情况故答案为96【点评】： 本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法进行解决15（5分）（2015山东一模）已知函数f（x）=xex，记f0（x）=f（x），f1（x）=f（x0），fn（x）=fn1（x）且x2x1，对于下列命题：函数f（x）存在平行于x轴的切线；0；f2012（x）=xex+2014ex；f（x1）+x2f（x2）+x1其中正确的命题序号是（写出所有满足题目条件的序号）【考点】： 导数的运算【专题】： 导数的概念及应用【分析】： 根据导数的几何意义判断正确，根据导数和函数的单调性判断错；根据导数的运算，得到正确，根据导数与函数的单调性的关系判断错【解析】： 解：对于，因为f（x）=（x+1）ex，易知f（1）=0，函数f（x）存在平行于x轴的切线，故正确；对于，因为f（x）=（x+1）ex，所以x（，1）时，函数f（x）单调递减，x（1，+）时，函数f（x）单调递增，故0的正负不能定，故错；对于，因为f1（x）=f（x0）=xex+2ex，f2（x）=f（x1）=xex+3ex，fn（x）=fn1（x）=xex+（n+1）ex，所以f2012（x）=f2013（x）=xex+2014ex；故正确；对于，f（x1）+x2f（x2）+x1等价于f（x1）x1f（x2）x2，构建函数h（x）=f（x）x，则h（x）=f（x）1=（x+1）ex1，易知函数h（x）在r上不单调，故错；故答案为：【点评】： 本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性的关系，以及导数的运算法则，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）（2015山东一模）已知函数f（x）=2sinx+2sin（x）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c已知f（a）=，a=b，证明：c=3b【考点】： 两角和与差的正弦函数；正弦定理【专题】： 计算题；三角函数的图像与性质；解三角形【分析】： （1）运用两角差的正弦公式，即可化简，再由正弦函数的单调增区间，即可得到；（2）由f（a）=，及0a，即可得到a=，再由正弦定理，及边角关系，即可得证【解析】： （1）解：函数f（x）=2sinx+2sin（x）=2（sinx+sinxcosx）=2（sinxcosx）=2sin（x），令2kx2k，kz，则2kx2k，则f（x）的单调递增区间是2k，2k，kz（2）证明：由f（a）=，则sin（a）=，由0a，则a，则a=，由=，a=b，则sinb=，由ab，a=，b=，c=，故c=3b【点评】： 本题考查三角函数的化简，正弦函数的单调区间，考查正弦定理及边角关系，注意角的范围，属于中档题17（12分）（2015山东一模）2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮数量 1 1 1 2 3从中随机地选取5只（）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推设表示所得的分数，求的分布列及数学期望【考点】： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【专题】： 概率与统计【分析】： （）根据排列组合知识得出p=运算求解即可（）确定的取值为：10，8，6，4分别求解p（=10），p（=8），p（=6），p（=4），列出分布列即可【解析】： 解：（）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率p=，（）的取值为：10，8，6，4p（=10）=，p（=8）=，p（=6）=，p（=4）=的分布列为： 10 8 6 4p e=7.5【点评】： 本题综合考查了运用排列组合知识，解决古典概率分布的求解问题，关键是确定随机变量的数值，概率的求解，难度较大，仔细分类确定个数求解概率，属于难题18（12分）（2015山东一模）在正三角形abc中，e、f、p分别是ab、ac、bc边上的点，满足ae：eb=cf：fa=cp：pb=1：2（如图1）将aef沿ef折起到a1ef的位置，使二面角a1efb成直二面角，连结a1b、a1p（如图2）（1）求证：a1e平面bep（2）求直线a1e与平面a1bp所成角的大小；（3）求二面角ba1pf的余弦值【考点】： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【专题】： 空间角【分析】： （1）设正三角形abc的边长为 3在图1中，取be的中点d，连结df由已知条件推导出adf是正三角形，从而得到efad在图2中，推导出a1eb为二面角a1efb的平面角，且a1ebe由此能证明a1e平面bep（2）建立分别以eb、ef、ea为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线a1e与平面a1bp所成的角的大小（3）分别求出平面a1fp的法向量和平面ba1f的法向量，利用向量法能求出二面角ba1pf的余弦值【解析】： （1）证明：不妨设正三角形abc 的边长为3在图1中，取be的中点d，连结dfae：eb=cf：fa=1：2，af=ad=2，而a=60度，adf是正三角形，又ae=de=1，efad在图2中，a1eef，beef，a1eb为二面角a1efb的平面角由题设条件知此二面角为直二面角，a1ebe又beef=e，a1e平面bef，即a1e平面bep（2）建立分别以eb、ef、ea为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则e（0，0，0），a（0，0，1），b（2，0，0），f（0，0），p （1，0），则，设平面abp的法向量为，由平面abp知，即令，得，直线a1e与平面a1bp所成的角为60度（3），设平面a1fp的法向量为由平面a1fp知，令y2=1，得，所以二面角ba1pf的余弦值是【点评】： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19（12分）（2015山东一模）数列an中，a1=1，当n2时，其前n项和为sn，满足sn2=an（sn）（1）求sn的表达式；（2）设bn=，数列bn的前n项和为tn，不等式tn（m25m）对所有的nn*恒成立，求正整数m的最大值【考点】： 数列的求和；数列递推式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （1）当n2时，an=snsn1，代入利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”、一元二次不等式的解法即可得出【解析】： 解：（1）sn2=an（sn）=化为，数列是首项为=1，公差为2的等差数列故=1+2（n1）=2n1，sn=（2）bn=，故tn=+=又不等式tn（m25m）对所有的nn*恒成立，（m25m），化简得：m25m60，解得：1m6正整数m的最大值为6【点评】： 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（13分）（2015山东一模）在平面直角坐标系xoy中，椭圆g的中心为坐标原点，左焦点为f1（1，0），p为椭圆g的上顶点，且pf1o=45（）求椭圆g的标准方程；（）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆g交于a，b两点，直线l2：y=kx+m2（m1m2）与椭圆g交于c，d两点，且|ab|=|cd|，如图所示（）证明：m1+m2=0；（）求四边形abcd的面积s的最大值【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】： 综合题【分析】： （）根据f1（1，0），pf1o=45，可得b=c=1，从而a2=b2+c2=2，故可得椭圆g的标准方程；（）设a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），d（x4，y4）（）直线l1：y=kx+m1与椭圆g联立，利用韦达定理，可求ab，cd的长，利用|ab|=|cd|，可得结论；（）求出两平行线ab，cd间的距离为d，则 ，表示出四边形abcd的面积s，利用基本不等式，即可求得四边形abcd的面积s取得最大值【解析】： （）解：设椭圆g的标准方程为因为f1（1，0），pf1o=45，所以b=c=1所以，a2=b2+c2=2（2分）所以，椭圆g的标准方程为（3分）（）设a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），d（x4，y4）（）证明：由消去y得：则，（5分）所以 =同理 （7分）因为|ab|=|cd|，所以