一种基于数学模型的鲁棒设计新方法及软件实现.pdf

一种基于数学模型的鲁棒设计新方法及软件实现 一种基于数学模型的鲁棒设计新方法及软件实现 张瑞红 檀润华 河北工业大学机械学院 天津 300130 摘 要 摘 要 提出公差设计的最小偏差数学模型 与参数设计的最小灵敏度法一起构成了一种基于数学模型的鲁棒 设计新方法 完成了该方法的软件实现 当产品的干扰变量与其目标值发生偏移时 运用该方法得到的设计变量 公称值及其公差在保证产品的质量的前提下 最大限度的扩大公差带的范围 降低成本 以三杆构件系统的鲁棒 设计为例说明了该方法的运用 关键词 关键词 数学模型 鲁棒设计 干扰变量 设计变量 中图法分类号 TH122 中图法分类号 TH122 New Robust Design Method Based on Mathematical Model and its Software System ZHANG Rui Hong TAN Run Hua School of Mechanical Engineering Hebei University of Technology Tianjin 300130 Abstract Put forward a new robust design method which bases on mathematical model and realize it with software It consists of minimum deviation model and minimum sensitivity model When noise variables deviate from the target value using this method can enlarge tolerance band to reduce cost under the condition of ensuring product quality An example shows the application of the method Key Words mathematical model robust design design variable noise variable 本课题得到河北省自然基金重点项目 699059 天津市自然科学基金重大项目 003804611 资助 张瑞红张瑞红 女 1974 年生 硕士 主要研究领域为计算机辅助设计 设计方法学 檀润华檀润华 男 1958 年生 博士 教授 主要研究领域为计算 机辅助设计 设计方法学 1 引 言 引 言 影响产品质量的变量分为两类 设计变量和干 扰变量 设计变量指在设计过程中设计者可以控制 的变量 如几何尺寸 干扰变量指在设计过程中设 计者不可能或很难控制的变量 如工作环境中的温 度 湿度 鲁棒设计是一种满足产品高性能 低成 本 高抗干扰质量指标的设计方法 1 鲁棒设计方 1 法可分为两类 一类是以经验或半经验为基础的方 法 称为传统鲁棒设计法 另一类是以数学模型为 基础的方法 称为现代鲁棒设计法 2 前一类包括 田口鲁棒设计法 3 双响应面法 4 广义线性模型 法 5 等 后一类包括最小灵敏度法 6 容差多面体 法 7 变差传递法 8 等 随着设计过程数字化的发展 基于数学模型的 现代鲁棒设计的研究已经愈来愈受到学术界和工 程界的重视 最小灵敏度法是在不考虑公差的情况 下求设计变量的值 容差多面体法适用于公差设计 问题 变差传递法是在已知公差的情况下求设计变 量和干扰变量的值 现代鲁棒设计方法正处于发展 之中 提出新的 适用性更好的方法一直是最活跃 的研究课题 本文将提出公差设计的最小偏差数学模型 该 模型与最小灵敏度数学模型一起构成一种鲁棒设 计新方法 该方法以反映待设计产品功能特性的数 学模型为基础 与优化技术相结合 通过合理调整 设计变量及控制其公差 使产品对干扰变量的灵敏 度最小 即当干扰变量的值与目标值发生偏差时 仍能保证产品质量 2 参数设计 参数设计 基于鲁棒设计原理 参数设计的基本思想是合 理选择设计变量的公称值 使干扰变量对产品质量 的影响达到最小 即产品质量对干扰变量的灵敏度 最小 假设f代表产品功能特性 它是设计变量 及干扰变量b的函数 x f f b 1 x 式中 设计变量组成的向量 x n Rx 干扰变量组成的向量 b n Rb 最小灵敏度设计是确定设计变量使得 x f对 灵敏度最小 那么鲁棒设计问题就转变为寻找 的问题 可由模型 2 求出 b x x Min n i bb i i o b bxf w 1 S T f 2 x o b a f 0 j 1 2 m j gx o b L xx U x 式中 干扰变量灵敏度的权值 i w 的估计值 o bb a f f的允许值 m 个约束条件 j g 的上 下界 U x L xx 3 公差设计 公差设计 工程中的一类问题要求特性函数在某一范围 内变化 设计的目标是在保证质量的前提下 尽可 能增大各参数值的公差 以降低制造成本 为此 提出如下的公差设计最小偏差数学模型 进行公差设计时 首先分析各个设计变量在鲁 棒解附近对特性函数的影响趋势 影响趋势包 括随着设计变量的增大 特性函数增大以及特性函 数减小两种 一般参数的公差与公称值相比很小 可认为特性函数在公差带内的变化是单凋的 x 设 x 为设计变量的上 下偏差 如果 特性函数是设计变量的增函数 则为 为 如果特性函数是设计变 量的减函数 则为 为 i x x i i x i x i x i x i x i x i x i x i x i x x i x i x 公差设计的最小偏差数学模型可表示为如下 一多目标优化问题 Min f x b o o f f x o b o f S T f b x o o f f b 3 x o o f 0 j 1 2 m j g x o b UL xxx UL xxx 2 式中 x 1 x 2 x i x x 1 x 2 x i x 特性函数允许值的下界 o f 特性函数允许值的上界 o f 设计变量公差下界的下限和上限 UL xx 设计变量公差上界的下限和上限 UL xx 在模型 3 中 如果特性函数只有上界或下 界 则该模型为一单目标优化问题 通过求解该模 型可求出设计变量的上下偏差 x x 4 软件实现 软件实现 根据式 2 式 3 现提出该鲁棒设计方法 的算法 如图 1 所示 将该算法在 MATLAB5 2 平 台上加以实现 得到产品鲁棒设计的软件系统 该 软件由三部分组成 即参数设计 影响趋势分析 公差设计 通过 参数设计 部分可以得到设计变 量的值 通过 影响趋势分析 可以得到各个设计 变量对特性函数的影响趋势 而经过 公差设计 可以得到设计变量的公差 下面将分别加以介绍 主界面如图 2 所示 其中 影响趋势分析 作 为 参数设计 与 公差设计 的连接环节被独立 出来 用户可以用鼠标依次选择三个选项 然后点 确定 按钮进行确认 当选择 参数设计 或 公 差设计 并确认后 会弹出相应的程序界面 当选 择 影响趋势分析 并确认后 系统会在屏幕上绘 出在鲁棒设计值附近各个设计变量对特性函数的 影响趋势图 参数设计 界面如图 3 所示 它包 括已知数据输入 数学模型输入 干扰变量输入等 三个部分 选择并确认后又会弹出与它们相应的界 面 第一部分完成数学模型中一些已知量的赋值 第二部分完成数学模型中的 特性函数 和 约束 函数 的输入 第三部分 干扰变量输入 界面中 输入干扰变量 然后按 确定 按钮则系统开始整 理 运算 求鲁棒设计解 运算结束后屏幕上出现 一个对话框 询问用户是否对设计变量进行圆整 用户可根据实际情况进行操作 公差设计 界 面 图 4 中有两个选项 一个是输入数学模型 另一个是输入计算中所涉及到的一些参量的值 每 个选项都有与之对应的界面 操作方法与 参数设 计 相似 经过 公差设计 可求出设计变量的公 差 x x x x 准备 输入已知变量 数学 模型及未知变量 用最小灵敏度法求出设计变量的鲁棒解 否 判断是否合理 是 按工程要求将圆整 通过最小偏差法求出变量的公差 x 否 判断公差是否合理 是 结束 图 2 主 界 面 图 1 鲁棒设计算法 3 图 3 参数设计界面 图 4 公差设计界面 5 三杆构件的鲁棒设计杆构件的鲁棒设计 6 现以三杆构件的设计为例说明设计方法的运 用 三杆构件如图 5 所示 图 5 三杆构件 杆 2 和杆 3 被首先固定在联结板上 杆 1 的 制造公差为 杆 1 太长 太短都会使它被强制 联结到指定位置 构件受x y 向的载荷P1 P2 光学装置的支架要求x向的偏移Z1限制在允许范 围Z1all内 Z1的制造公差 是干扰变量 公称值为 0 即 e 0 设计变量是杆的截面积 Ai 杆的截 面积 b A i 1 A2 A3 组成了设计变量的向量 5 1 参数设计 5 1 参数设计 通过分析可以得到Z1的数学表达式 4 2 2 2 22 323121 321 323121 2131312 1 AAAAAA AAA l AAAAAAE FAAFAAA bZ 参数设计的目的是找到使Z1对干扰变量 灵 敏度最小的设计变量 根据构件的其它设计要求 可以得到参数设计的数学模型 Min ed bdZ 1 S T 5 alle ZbZ 11 V 0 Vb 3 2 1 ib all i e i b UL bb 式中 V 材料体积的上界 0 杆i的强度 i b 设计变量的上 下界 LU b 载荷向量给定如下 6 LE LE A A P P F F 2 2 2 1 2 1 2 1 此例的数据如下 文献 6 中单位为英制单位 现 将其转换为国际单位制 44452 8 N 88905 6N 1 P 2 P 0 0254mm L 254mm all Z1 34 3MPa 68 6MPa 34 3MPa all 1 all 2 all 3 bL 64 516 64 516 64 516 mm2 4 bU 6451 6 6451 6 6451 6 mm2 Z1 mm 3 0 3 413 3277 0 108 205 mmV MPaE e 根 据 模 型 5 即 可 求 出 稳 健 设 计 解 64 5 5276 8 5328 2 mm b 2 5 2 公差设计 5 2 公差设计 先分析各个设计变量在附近对特性函数Z b 2 3 A 1 的影响趋势 由图 6 至 8 可以看出在b附近 Z 3 A b 1 随着 的增大而增大 随着的增大而减 小 所以b 假设公差 对称分布 因为Z 1 A 1 A b 2 A 3 A 2 A 3 A 1 Z 311 AAAA 221 AAA b b 1 Z 1 小于 而 设计要求Z1不大于它的允许值 所以只要 满足要求即可 A3 mm2 图 6 截面积A1对Z1的影响 图 7 截面积A2对Z1的影响 图 8 截面积A1对Z1的影响 所以公差设计的数学模型为 Min 1 1 all ZbZ S T V 8 0 Vb 3 2 1 ib all ii UL bbb Z1 mm 式中 为设计变量公差的上 下限 LU bb 由此模型可求得b 64 2 8 3 7 6 mm2 6 结束语 结束语 鲁棒设计主要包含参数设计和公差设计 先用 最小灵敏度模型求解参数的公称值 再用最小偏差 模型求解公差 这两种模型构成一种基于数学模型 的鲁棒设计新方法 运用该方法不但可以求出使产 品质量稳定的设计变量的值 而且还能求出满足产 品设计要求的设计变量的公差 在 Matlab 平台上 编制的软件系统可以解决简单的鲁棒设计问题 三 杆构件系统的设计验证了鲁棒设计新方法的正确 性和有效性 A1 mm2 Z1 mm 参 考 文 献 参 考 文 献 1 Raghu N Kackar Taguchi s Quality Philosophy Analysis and Commentary Quality Progress 1986 11 21 29 A2 mm2 5 2 Zhang Ruihong Modern robust optimal design Journal of Software 1999 10 Suppl 267 269 in Chinese 张瑞红等 现代稳健优化设计 软件学报 1999 10 增刊 267 269 3 Vijayan N Nair Taguchi s Parameter designs A Panel Discussion Technometrics 1992 34 2 127 161 4 Geoffery G Vining Raymond Myers H Combining Taguchi and Response Surface Philosophies A Dual Response Approach Journal of Quality Technology 1990 22 1 38 45 5 Pregibon D Review of Generalized Linear Models Annual Statist 1984 12 1589 1596 6 Belegundu A D Shenghua Zhang Robustness of Design through Minimum Sensitivity Journal of Mechanical