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14.1 矩阵与变换一、考试要求：内容要求abc矩阵与变换矩阵的概念二阶矩阵与平面向量常见的平面变换矩阵的复合与矩阵的乘法二阶逆矩阵二阶矩阵的特征值与特征向量二阶矩阵的简单应用3几种常见的平面变换：恒等变换：恒等变换矩阵（也叫单位矩阵）；（垂直）伸压变换：垂直伸压变换矩阵：，；反射变换：反射变换矩阵：如，；旋转变换：旋转变换矩阵：（叫旋转角）；投影变换：投影变换矩阵：如，；切变变换：切变变换矩阵：；4逆矩阵的定义：对于二阶矩阵，若有，则称（）是可逆的，（）称为（）的逆矩阵。一般地，对于二阶可逆矩阵，它的逆矩阵为。若二阶矩阵均存在逆矩阵，则也存在逆矩阵，且。已知为二阶矩阵，若矩阵存在逆矩阵，则。5二阶行列式：6二阶矩阵的特征多项式：若是矩阵的两个特征向量，是平面上任一向量，则存在，使得，则有，进一步得 三、典型例题：例1：（1）在直角坐标系中，oab的顶点坐标o(0,0)，a(2,0)，b(1,)，求oab在矩阵的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵，。（2）设，若矩阵把直线：变换为另一直线：，求的值.例2：（1）给定矩阵m=，n=及向量e1=，e1= .证明m和n互为逆矩阵；证明e1和e1都是m的特征向量（2）二阶矩阵m对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2).求矩阵m的逆矩阵；设直线在变换m作用下得到了直线m：2xy=4，求的方程（3）利用逆矩阵的知识解方程组。例3：（1）已知矩阵，求特征值1，2及对应的特征向量1，2（2）若矩阵a有特征值，它们所对应的特征向量分别为和，求矩阵a及其逆矩阵；已知，试求例4：（1）为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密、解密原理如下图：明文x 加密 密文y 发送 密文y 解密 明文x 现在加密方式为：把发送的数字信息，写为“”的形式，先左乘矩阵，再左乘矩阵，得到密文，现在已知接收方得到的密文是，试破解该密码。 四、课堂小结：五、千思百练：1(2008江苏卷)在平面直角坐标系xoy中，设椭圆4x2y21在矩阵a对应的变换作用下得到曲线f，求f的方程2(2011江苏卷)已知矩阵a，向量.求向量，使得a2.(2012江苏卷)已知矩阵a的逆矩阵a1，求矩阵a的特征值(2010江苏卷)在平面直角坐标系xoy中，a(0,0)，b(2,0)，c(2,1)，设k0，kr，m，n，点a、b、c在矩阵mn对应的变换下得到点a1、b1、c1，a1b1c1的面积是abc面积的2倍，求实数k的值(2012苏北四市调研一)若点a(2,2)在矩阵m对应变换的作用下得到的点为b(2,2)，求矩阵m的逆矩阵已知矩阵 ，向量.（1）求矩阵的特征值、和特征向量、； （
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