高考数学二轮复习 第二部分 高考22题各个击破 专题二 函数与导数 2.4.1 导数与函数的单调性、极值、最值课件 文.ppt

2 4 压轴大题1 函数 导数 方程 不等式 2 3 4 5 6 1 导数的几何意义 1 函数f x 在x0处的导数是曲线f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 即k f x0 2 函数切线问题的求解策略 用好切点 三重性 切点在函数图象上 满足函数解析式 切点在切线上 满足切线方程 切点处的导数等于切线的斜率 2 函数的导数与单调性的关系函数y f x 在 a b 内可导 1 若f x 0在 a b 内恒成立 则f x 在 a b 内单调递增 2 若f x 0在 a b 内恒成立 则f x 在 a b 内单调递减 7 3 函数的导数与单调性的等价关系函数f x 在 a b 内可导 f x 在 a b 任意子区间内都不恒等于0 f x 0 f x 在 a b 上为增函数 f x 0 f x 在 a b 上为减函数 4 函数的极值 最值 1 若在x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 为函数f x 的极小值 2 设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则f x 在 a b 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 3 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 5 常见恒成立不等式 1 lnx x 1 2 ex x 1 8 6 构造辅助函数的四种方法 1 移项法 证明不等式f x g x f x 0 f x g x 0 进而构造辅助函数h x f x g x 2 构造 形似 函数 对原不等式同解变形 如移项 通分 取对数 把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构 根据 相同结构 构造辅助函数 3 主元法 对于 或可化为 f x1 x2 a的不等式 可选x1 或x2 为主元 构造函数f x x2 或f x1 x 4 放缩法 若所构造函数最值不易求解 可将所证明不等式进行放缩 再重新构造函数 9 7 函数不等式的类型与解法 x d f x k f x max k x d f x k f x min k x d f x g x f x max g x min x d f x g x f x min g x max 8 含两个未知数的不等式 函数 问题的常见题型及具体转化策略 1 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最小值 g x 在 c d 上的最大值 2 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最大值 g x 在 c d 上的最小值 3 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最小值 g x 在 c d 上的最小值 4 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最大值 g x 在 c d 上的最大值 10 5 x1 a b 当x2 c d 时 f x1 g x2 f x 在 a b 上的值域与g x 在 c d 上的值域交集非空 6 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的值域 g x 在 c d 上的值域 7 x2 c d x1 a b f x1 g x2 f x 在 a b 上的值域 g x 在 c d 上的值域 2 4 1导数与函数的单调性 极值 最值 12 考向一 考向二 考向三 考向四 讨论 判断 证明单调性或求单调区间解题策略一分类讨论法 例1 2017全国 文21 已知函数f x ex ex a a2x 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 0 求a的取值范围 难点突破 1 讨论f x 的单调性 求函数的定义域 求导函数判断导函数的符号 确定单调区间 2 讨论a的取值范围 求f x 导函数 确定f x 的单调区间 求f x 取最小值 解不等式f x max 0得a的范围 合并a的范围 13 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 函数f x 的定义域为 f x 2e2x aex a2 2ex a ex a 若a 0 则f x e2x 在 单调递增 若a 0 则由f x 0得x lna 当x lna 时 f x 0 故f x 在 lna 单调递减 在 lna 单调递增 14 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号 当f x 含参数时 需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 2 若a 0 则f x e2x 所以f x 0 若a 0 则由 1 得 当x lna时 f x 取得最小值 最小值为f lna a2lna 从而当且仅当 a2lna 0 即a 1时 f x 0 15 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练1已知函数f x lnx mx m r 1 若m 1 求曲线y f x 在点p 1 1 处的切线方程 2 讨论函数f x 在 1 e 上的单调性 所以切线的斜率为0 所以切线方程为y 1 令h x mx 1 h x 是过点 0 1 的一次函数 当m 0时 在 1 e 上h x 0 f x 0 所以函数f x 在 1 e 上单调递增 当m 0时 h x 在 1 e 上是减函数 由h x 的图象可知 16 考向一 考向二 考向三 考向四 所以函数f x 在 1 e 上单调递增 当0 1 即m 1时 x 1 e h x 0 f x 0 函数f x 在 1 e 上单调递减 17 考向一 考向二 考向三 考向四 解题策略二构造函数法例2已知函数f x k为常数 e是自然对数的底数 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与x轴平行 1 求k的值 2 求f x 的单调区间 18 考向一 考向二 考向三 考向四 即h x 在 0 上是减函数 由h 1 0知 当00 从而f x 0 当x 1时 h x 0 从而f x 0 综上可知 f x 的单调递增区间是 0 1 单调递减区间是 1 解题心得通过导数研究单调性首先要判断构造函数的导函数的正负 因此 构造函数的关键在于其导函数的零点是否易求或易估 19 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练2设函数f x xea x bx 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y e 1 x 4 1 求a b的值 2 求f x 的单调区间 解 1 因为f x xea x bx 所以f x 1 x ea x b 解得a 2 b e 20 考向一 考向二 考向三 考向四 2 由 1 知f x xe2 x ex 由f x e2 x 1 x ex 1 及e2 x 0知 f x 与1 x ex 1同号 令g x 1 x ex 1 则g x 1 ex 1 所以 当x 1 时 g x 0 g x 在区间 1 上单调递增 故g 1 1是g x 在区间 上的最小值 从而g x 0 x 综上可知 f x 0 x 故f x 的单调递增区间为 21 考向一 考向二 考向三 考向四 求函数的极值 最值解题策略一利用单调性求 1 若a 2 f x f x g x 求f x 的单调区间 2 若函数g x ax b是函数f x lnx 图象的切线 求a b的最小值 难点突破 1 求出f x 的导数 解关于导函数的不等式 即得函数的单调区间 22 考向一 考向二 考向三 考向四 令f x 0 解得01 故f x 在 0 1 递增 在 1 递减 23 考向一 考向二 考向三 考向四 当t 0 1 时 t 0 t 在 1 上单调递增 即有t 1时 t 取得极小值 也为最小值 则a b t 1 1 故a b的最小值为 1 24 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得1 求最值的常用方法是由导数确定单调性 由单调性确定极值 比较极值与定义域的端点值确定最值 2 对kf x 恒成立 求参数k的最值问题 若求不出f x 的极值点 可先求极值点所在区间 再由极值点范围求极值的范围 由此得出参数的最值 25 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练3 2017北京 文20 已知函数f x excosx x 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 解 1 因为f x excosx x 所以f x ex cosx sinx 1 f 0 0 又因为f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 1 26 考向一 考向二 考向三 考向四 2 设h x ex cosx sinx 1 则h x ex cosx sinx sinx cosx 2exsinx 27 考向一 考向二 考向三 考向四 解题策略二构造函数法例4已知函数f x 满足f x f 1 ex 1 f 0 x x2 1 求f x 的解析式及单调区间 2 若f x x2 ax b 求 a 1 b的最大值 ex a 1 x b 0 h x ex a 1 h x min a 1 a 1 ln a 1 b 0 a 1 b a 1 2 a 1 2ln a 1 a 1 0 令f x x2 x2lnx x 0 28 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 由已知得f x f 1 ex 1 f 0 x 所以f 1 f 1 f 0 1 即f 0 1 又f 0 f 1 e 1 所以f 1 e 由于f x ex 1 x 故当x 0 时 f x 0 从而 f x 在 0 单调递减 在 0 单调递增 29 考向一 考向二 考向三 考向四 2 由已知条件得ex a 1 x b 可得ex a 1 x0 设g x ex a 1 x 则g x ex a 1 当x ln a 1 时 g x 0 从而g x 在 ln a 1 单调递减 在 ln a 1 单调递增 故g x 有最小值g ln a 1 a 1 a 1 ln a 1 b a 1 a 1 ln a 1 30 考向一 考向二 考向三 考向四 因此 a 1 b a 1 2 a 1 2ln a 1 设h a a 1 2 a 1 2ln a 1 则h a a 1 1 2ln a 1 31 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得本例在 2 中 通过作差将条件进行转化 通过构造函数求函数的最小值得出关于a b的不等式 通过乘 a 1 得 a 1 b的关系式 再通过第二次构造函数求函数最大值得出结果 32 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练4 2017河北邯郸二模 理21 已知函数f x ax lnx f x ex ax 其中x 0 a 0 1 若f x 和f x 在区间 0 ln3 上具有相同的单调性 求实数a的取值范围 33 考向一 考向二 考向三 考向四 a0 即f x 在 0 上单调递增 不合题意 当a0 得x ln a 由f x 0 得0 x ln a f x 的单调减区间为 0 ln a 单调增区间为 ln a f x 和f x 在区间 0 ln3 上具有相同的单调性 ln a ln3 即a 3 综上 a的取值范围是 3 34 考向一 考向二 考向三 考向四 2 g x xeax 1 ax lnx 当x e2时 p x 0 当0 x e2 p x 0 从而p x 在 0 e2 上单调递减 在 e2 上单调递增 35 考向一 考向二 考向三 考向四 h t h e2 0 m的最小值为0 36 考向一 考向二 考向三 考向四 解题策略三分类讨论法例5已知函数f x x3 2x2 2 a x 1 其中a r 1 若a 2 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求f x 在区间 2 3 上的最大值和最小值 难点突破在 2 中求得f x 在某闭区间上的最值 因f x 是关于x的二次函数 判别式为 8a 所以求最值分两个层次讨论 第一层次是 8a 0和 8a 0 因 8a 0 f x 没有极值点 函数单调 易求最值 当 8a 0 因f x 有两个极值点 所以第二层次讨论以这两个极值点与所给闭区间的关系进行分类 37 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 f x 的定义域为r 且f x 2x2 4x 2 a 即6x 3y 5 0 2 方程f x 0的判别式为 8a 当a 0时 f x 0 所以f x 在区间 2 3 上单调递增 当x变化时 f x 和f x 的变化情况如下 38 考向一 考向二 考向三 考向四 当0 a 2时 x2 2 此时f x 在区间 2 3 上单调递增 所以f x 在区间 2 3 上的最小值是f 2 2a 最大值是f 3 7 3a 当2 a 8时 x1 2 x2 3 此时f x 在区间 2 x2 上单调递减 在区间 x2 3 上单调递增 所以f x 在区间 2 3 上的最小值是 39 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得依据题意 对参数分类 分类后相当于增加了一个已知条件 在增加条件的情况下 对参数的各个范围逐个验证是否适合题意 最后适合题意的范围即为所求范围 这个范围的最大值也就求出 当a 8时 x1 2 3 x2 此时f x 在区间 2 3 上单调递减 所以f x 在区间 2 3 上的最小值是f 3 7 3a 最大值是f 2 2a 40 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练5 2017辽宁鞍山一模 文20 已知函数f x lnx ax2 x a r 1 当a 0时 求函数f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 令g x f x ax 1 求函数g x 的极值 3 若a 2 正实数x1 x2满足f x1 f x2 x1x2 0 证明x1 x2 1 解当a 0时 f x lnx x 则f 1 1 所以切点为 1 1 又f x 1 则切线斜率f 1 2 故切线方程为y 1 2 x 1 即2x y 1 0 41 考向一 考向二 考向三 考向四 42 考向一 考向二 考向三 考向四 3 证明当a 2时 f x lnx x2 x x 0 可知 t 在区间 0 1 上单调递减 在区间 1 上单调递增 t 1 1 x1 x2 2 x1 x2 1 43 考向一 考向二 考向三 考向四 证明函数有最值并求最值范围解题策略零点分布法 例6 2017湖南邵阳一模 文21 已知函数f x xlnx x2 直线l y k 2 x k 1 且k z 1 若 x0 e e2 使得f x0 0成立 求实数a的取值范围 2 设a 0 当x 1时 函数f x 的图象恒在直线l的上方 求k的最大值 解 可用求导的方法判断h x 的单调性 再根据零点存在性定理求h x 的极值点x0的范围 进而求出最值h x0 的范围 从而求出k的最大整数值即可 44 考向一 考向二 考向三 考向四 令g x 0 解得0e g x 在x 0 e 上递增 在x e e2 上递减 45 考向一 考向二 考向三 考向四 2 由题意可知xlnx x k 2 k 1在x 1 上恒成立 x 在x 1 上递增 又 3 1 ln30 存在唯一实数x0 3 4 使得 x0 0 即x0 lnx0 2 0 lnx0 x0 2 h x 在x 1 x0 上递减 在x x0 上递增 46 考向一 考向二 考向三 考向四 k h x min 又k z k的最大值为4 解题心得在证明函数f x 有最值及求最值范围时 若f x 0解不出 可运用零点存在性定理求出极值点t存在的范围 从而用t表示出最值 此时最值是关于t的函数 通过函数关系式求出最值的范围 47 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练6已知函数f x x 2 ex a x 2 2 x 0 1 若f x 是 0 的单调递增函数 求实数a的取值范围 2 当a 时 求证 函数f x 有最小值 并求函数f x 最小值的取值范围 48 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 由题意 得f x ex x 2 ex 2ax 4a 函数f x 在区间 0 上单调递增 f x 0在 0 上恒成立 ex x 2 ex 2ax 4a 0 即g x 在 0 上递减 49 考向一 考向二 考向三 考向四 2 f x ex x 2 ex 2ax 4a f x x ex 2a 0 y f x 在 0 上单调递增 又f 0 4a 10 存在t 0 1 使f t 0 x 0 t 时 f x 0 当x t时 f x min f t t 2 et a t 2 2 由f t 0 即et t 1 2a t 2 0 50 考向一 考向二 考向三 考向四 f t 在 0 1 上递减 f 1 f t f 0 e f t 1 f x 的最小值的取值范围是