高中数学 第二章 函数 5 简单的幂函数（二）课件 北师大版必修1.ppt

5简单的幂函数 二 学习目标1 理解函数奇偶性的定义 2 掌握函数奇偶性的判断和证明方法 3 会应用奇 偶函数图像的对称性解决简单问题 知识点一函数奇偶性的几何特征一般地 图像关于y轴对称的函数称为 函数 图像关于原点对称的函数称为 函数 偶 奇 预习评价 观察下列函数图像 判断函数的奇偶性 答案 关于y轴对称 所以 对应函数为偶函数 关于原点对称 所以 对应函数为奇函数 知识点二函数的奇偶性1 奇函数的定义一般地 图像关于原点对称的函数叫作奇函数 在奇函数f x 中 f x 和f x 的绝对值相等 符号相反 即 反之 满足f x f x 的函数y f x 一定是奇函数 注意 奇函数的定义域一定关于 对称 f x f x 原点 2 偶函数的定义一般地 图像关于y轴对称 像这样的函数叫作偶函数 在偶函数f x 中 f x 和f x 的值相等 即f x f x 反之 满足f x f x 的函数y f x 一定是偶函数 注意 偶函数的定义域一定关于 对称 3 当一个函数是奇函数或偶函数时 称该函数具有 原点 奇偶性 提示根据奇函数的定义知 满足这两种对应关系的函数都是奇函数 2 若函数图像关于原点对称 则该函数是不是奇函数 提示根据函数的图像特征 结合奇函数的定义知该函数是奇函数 知识点三奇偶性与单调性一般地 1 若奇函数f x 在 a b 上是增函数 且有最大值m 则f x 在 b a 上是 函数 且有最小值 2 若偶函数f x 在 0 上是减函数 则f x 在 0 上是 3 知道了函数的奇偶性 我们可以先研究函数的一半 再利用对称性了解其另一半 从而减少工作量 增 m 增函数 2 结合教材p50例2你认为应怎样判断函数的奇偶性 提示第一步 求定义域并判断是否关于原点对称 第二步 若定义域关于原点对称则求f x 并判断是否等于f x 或 f x 第三步 若f x f x 则f x 是奇函数 若f x f x 则f x 是偶函数 若定义域不关于原点对称或f x f x 且f x f x 则f x 不具有奇偶性 题型一函数奇偶性的判断 4 分段画出其图像如图所示 由于图像关于原点对称 所以函数f x 为奇函数 训练1 判断下列函数的奇偶性 1 f x x2 x2 2 2 f x x x 解 1 函数的定义域为r 又因为f x x 2 x 2 2 x2 x2 2 f x 所以f x 为偶函数 2 函数的定义域为r 又因为f x x x x x f x 所以f x 为奇函数 例2 已知函数f x 是定义域为r的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 1 求出函数f x 在r上的解析式 2 画出函数f x 的图像 题型二利用奇偶性求解析式 2 图像如图 规律方法根据函数奇偶性求解析式的三个步骤 1 设 要求哪个区间的解析式 x就设在哪个区间里 2 代 利用已知区间的解析式代入进行推导 3 转 根据f x 的奇偶性把f x 写成 f x 或f x 从而解出f x 提醒利用奇偶性求解析式时不要忽略定义域 特别是x 0的情况 训练2 1 f x 为r上的奇函数 当x 0时 f x 2x2 3x 1 求f x 的解析式 2 已知f x 是定义在r上的偶函数 当x 0时 f x x3 x 1 求f x 的解析式 题型三奇偶函数的图像问题 解析由题意 函数f x 在 5 0 上的图像与在 0 5 上的图像关于原点对称 画出函数f x 在 5 0 上的图像 观察可得f x 0的解集为 2 0 2 5 答案 2 0 2 5 规律方法1 巧用奇偶性作函数图像的步骤 1 确定函数的奇偶性 2 作出函数在 0 或 0 上对应的图像 3 根据奇 偶 函数关于原点 y轴 对称得出在 0 或 0 上对应的函数图像 2 奇偶函数图像的应用类型及处理策略 1 类型 利用奇偶函数的图像可以解决求值 比较大小及解不等式问题 2 策略 利用函数的奇偶性作出相应函数的图像 根据图像直接观察 训练3 如图 给出了偶函数y f x 的局部图像 试画出此函数在y轴左侧的图像 并写出f x 0的x的取值集合 解因为偶函数的图像关于y轴对称 所以可得到此函数在y轴左侧的图像如图所示 由图像可知当x 0 时 f x 0 当x 0 时 f x 0 故使f x 0的x的取值集合为 0 0 探究1 已知y f x 是奇函数 当x 0时 f x x2 ax 且f 3 6 则a的值为 解析因为f x 是奇函数 所以f 3 f 3 6 所以 3 2 a 3 6 解得a 5 答案5 答案0 规律方法利用奇偶性求参数的常见类型及策略 1 定义域含参数 奇 偶函数f x 的定义域为 a b 根据定义域关于原点对称 利用a b 0求参数 2 解析式含参数 根据f x f x 或f x f x 列式 比较系数即可求解 a 是奇函数 但不是偶函数b 是偶函数 但不是奇函数c 既是奇函数 又是偶函数d 既不是奇函数 又不是偶函数 课堂达标 答案a 2 下列函数中 是奇函数的为 a y x 1b y 2x2c y x5 1d y x3解析f x x 1 x 1 f x 所以y x 1不是奇函数 故a不正确 b y 2x2是偶函数 故b不正确 c y x5 1是非奇非偶函数 故c不正确 d 函数y x3定义域为r 且f x x 3 x3 f x 所以y x3为奇函数 答案d 3 如果定义在区间 2 a 4 上的函数f x 为偶函数 那么a 解析由2 a 4 得a 6 答案64 已知函数y f x 为奇函数 若f 3 f 2 1 则f 2 f 3 解析函数y f x 为奇函数 故f x f x 则f 2 f 3 f 2 f 3 1 答案1 5 判断下列函数的奇偶性 1 f x x3 x 2 f x x2 1 解 1 对于函数f x x3 x 其定义域为r 因为对定义域内的每一个x 都有f x x 3 x x3 x f x 所以 函数f x x3 x为奇函数 2 对于函数f x x2 1 其定义域为r 因为对定义域内的每一个x 都有f x x 2 1 x2 1 f x 所以 函数f x x2 1为偶函数 1 两个定义 对于f x 定义域内的任意一个x 如果都有f x f x f x f x 0 f x 为奇函数 如果都有f x f x f x f x 0 f x 为偶函数 2 两个性质 函数为奇函数 它的图