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第五章 正弦稳态电路第一节 正弦量的基本概念学习目标： 1. 掌握正弦量的三要素。 2 掌握正弦量的相位关系。. 掌握 有效值的定义。 掌握正弦量的有效值与最大值的关系 。 重点： 正弦量的三要素、 相位关系、有效值与最大值的关系难点： 初相 一正弦交流电的特点 大小和方向随时间按正弦规律变化的电流称为正弦交变电流，简称交流（ ac 或 AC ）。我们日常生活、生产中，大量使用的电能都是正弦交流电。正弦交流电具有以下特点： 1 交流电压易于改变。 在电力系统中，应用变压器可以方便地改变电压，高压输电可以减少线路上的损耗；降低电压以满足不同用电设备的电压等级。 2 交流发电机比直流发电机结构简单。 二正弦量的三要素 区别不同的正弦量需要从它们变化的快慢、变化的先后和变化的幅度三方面考虑。 1 变化的快慢 - 用周期、频率或角频率描述。 (1) 周期 ： T ，秒。 (2) 频率： ， Hz 。 。 (3) 角频率 ： * 周期越短、频率（角频率）越高，交流电变化越快。 * 工频 ， ， 2 变化的先后 - 用初相角描述 (1) 相位角 ： (2) 初相角 ： t=0 时正弦量的相位角称作初相角。 * 的大小和正负与计时起点有关。 * 规定 * 当正弦量的初始值为正时， 角为正；初始值为负时， 角为负。 * 如果正弦量零点在纵轴的左侧时， 角为正；在纵轴右侧时， 角为负。 3 变化的幅度 - 用最大值来描述 （ 1 ）瞬时值：用小写字母表示，如 e 、 u 、 i 。 （ 2 ）最大值：也称振幅或峰值，通常用大写字母加下标 m 表示，如 。 一个正弦量与时间的函数关系可用它的频率、初相位和振幅三个量表示，这三个量就叫正弦量的三要素。对一个正弦交流电量来说，可以由这三个要素来唯一确定： 三、相位差与相位关系 1 相位差 两个正弦交流电在任何瞬时相位角之差称相位差。 * 两个同频正弦量的相位差等于它们的初相之差。规定 。 2 相位关系 图 5-1 相位关系超前、滞后关系； 同相关系（ ； 反相关系 ； 正交关系 四、正弦量的有效值一、有效值的引入 正弦量的瞬时值是随时间变化的，这对正弦量大小的计量带来一定的困难。同时，电路的一个重要作用是电能的转换，而正弦量的瞬时值又不能确切反映能量转换的效果。因此，在电工技术中用有效值来反映正弦量的大小。字母 I 、 U 、 E 分别表示正弦电流、电压和电动势的有效值。 二、有效值的定义 周期性变化的交流电的有效值是根据它的热效应来确定的。设周期电流 和直流电流 I 分别流入两个阻值相同的电阻 R 。如在一个周期内，它们各自产生的热量彼此相等，则直流电流的数值称为该交流电的有效值。 根据有效值的定义可得： 有效值又称为方均根值。 三、正弦量的有效值 设正弦交流电流 ，则它的有效值 即正弦交流电的有效值等于它的最大值的 （或 0.707 ）倍。 同理 因为正弦量的有效值和最大值有固定 的倍数关系，所以也可以用有效值代替最大值作为正弦量的一个要素。这样正弦量的数学表达式可写为 。 在工程上，一般所说的正弦电压、电流的大小都是指有效值。例如交流测量仪表所指示的读数、交流电气设备铭牌上的额定值都是指有效值。我国所使用的单相正弦电源的电压 U =220V ，就是正弦电压的有效值，它的最大值 U m U 1.414220 311V 。应当指出，并非在一切场合都用有效值来表征正弦量的大小。例如，在确定各种交流电气设备的耐压值时，就应按电压的最大值来考虑。 例 - ： 已知 求它的有效值 I 。 解： 图例 - ： 已知一周期性变化的电压波形如图 - 所示，求它的有效值。 解： 此电压 是非正弦的周期性交流电压， T=16s ，写出此电压的解析式。 根据有效值的定义式可得： 此题说明非正弦周期量的最大值与有效值之间不是简单的 0.707 关系。例 - ：填空 1 ）正弦交流电的三个基本要素是 ， 2 ）我国工业及生活中使用的交流电频率为、周期为 。 3 ）已知正弦交流电压 ，它的最大值为 V ，频率为 Hz, 周期 T= S ，角频率 = rad/s ，初相位为 。 4 ）已知两个正弦交流电流： 则 的相位差为 ， 超前。 作业： 5-1-3、5-1-4 第二节 正弦量的相量表示法 学习目标：1.掌握复数的基本知识。 2掌握正弦量的相量表示法。 重点：正弦量的相量表示法。 难点： 相量图 一个正弦量可以用三角函数式表示，也可以用正弦曲线表示。但是用这两种方法进行正弦量的计算是很繁琐的，有必要研究如何简化。 由于在正弦交流电路中 ,所有的电压、电流都是同频率的正弦量，所以要确定这些正弦量，只要确定它们的有效值和初相就可以了。相量法就是用复数来表示正弦量。使正弦交流电路的稳态分析与计算转化为复数运算的一种方法。 一、复数1 复数：形如 的式子称为复数， 为复数的实部， 为复数的虚部， 、 均为实数， 为虚数单位。 图 5-3 复数的图示法 2 复数的图示法 式中 为复数 A 的模， 为复数 A 的辐角。 3 复数的表示形式及其相互转换 其中代数式常用于复数的加减运算，极坐标式常用于复数的乘除运算。 4 复数的运算法则 相等条件：实部和虚部分别相等（或模和辐角分别相等）。 加减运算：实部和实部相加（减），虚部和虚部相加（减）。 乘法运算：模和 模相乘 ，辐角和辐角相加。 除法运算： 模和 模相除 ，辐角和辐角相减。 5 共轭复数 - 实部相等、虚部互为相反数（或模相等、辐角互为相反数） 二、用复数表示正弦量 1 正弦量与复数的关系 = sin( )= = 正弦电压等于复数函数 的虚部，该复数函数包含了正弦量的三要素。 2 相量 分有效值相量和最大值相量 有效值相量： = / 最大值相量： = / 3 相量图 在复平面上用一条有向线段表示相量。相量的长度是正弦量的有效值 I ，相量与正实轴的夹角是正弦量的初相。这种表示相量的图称为相量图。 例 5-4 ： 。 写出表示 1 和2 的相量，画相量图 。 解： 1 =100 /60 V 2 =50 /-60 V 相量图见图 5-4 。 例 5-5: 已知 1 =100 sin A ， 2 =100 sin( -120 )A ，试用相量法求 1 + 2 ，画相量图。 解： 1 =100 /0 A 2 =100 /-120 A 1 + 2 =100 /0 + 100 /-120 =100 /-60 A 1 + 2 =100 sin( -60 )A 相量图见图 5-5 。图5-4 图5-5作业：p72: 5-2-2、5-2-3、5-2-4 第三节 电阻元件伏安关系的相量形式学习目标：1掌握电阻元件的相量形式2掌握电阻两端电压和电流之间的相量关系重点：电阻两端电压和电流之间的相量关系难点：相量关系和相量图一、电阻元件的电压与电流 如图 5-6 ，设 ，则有： ， 可得： 当 和 都用相量表示时，有 结论： 纯电阻的电压与电流的瞬时值、有效值、最大值和相量均符合欧姆定律，即 图 5-6 纯电阻的电压与电流同相。第四节 电感元件及其伏安关系的相量形式学习目标：1.理解感抗的概念。 2掌握电感电压与电流之间的相量关系关系。 重点： L元件电压电流相量式。一、电感元件的电压与电流 如图 5-7 ，设 ，则有： 图5-7 可得： 则由 可知： 二：结论： 电感两端的电压与电流的有效值和最大值符合欧姆定律形式，即 * 式中 为感抗，与电阻 R 性质类似，单位也为 。但感抗与频率成正比，当（直流）时， ，说明电感元件在直流电路中相当于短路；而当 时，说明电感元件在高频线路中相当于开路；也就是说，电感线圈具有“通低频、阻高频”的特性。 电感两端的电压超前电流 90 （关联时）。 电感电压与电流相量符合： 第五节 电容元件及其伏安关系的相量形式学习目标：1.理解容抗的概念。 2掌握电容电压与电流之间的相量关系关系。 重点：C元件电压电流相量式。一、电容元件的电压与电流 如图 5-8 ，设 ，则 图 5-8 可得： 由 可知 或 二、结论： 电容两端的电压与电流的有效值和最大值符合欧姆定律形式，即 * 式中 称为容抗，单位是 ，与感抗相似，但容抗与角频率成反比。当 时， ，说明电容元件在直流电路中相当于开路；而当 时， 说明电容元件在高频线路中相当于短路；也就是说，电容具有“隔直通交”作用。 电容两端的电压在相位上滞后电流 90 （关联时）。 电容电压与电流相量符合： 。 例 5-6 ： 流过 50 电阻的电流相量 ，求电阻两端的电压相量 及瞬时值表达式 。 解： 例 5-7 ： 加在电感元件两端的电压 ，电感量 ，电压电流取关联参考方向，求电流 。 解： 例 5-8 ： 加在 25 F 的电容元件上的电压有效值为 10V ，设电压电流取关联参考方向，电压初相 ，求 。 ； 解： 第六节 基尔霍夫定律的相量形式学习目标：1. 掌握相量形式的KCL和KVL 。 2熟练应用相量形式的KCL和KVL解题方法。 重点：相量形式的KCL和KVL 。 基尔霍夫定律适用于任意瞬间的任意电路。任一瞬间，流入电路任一节点的各电流瞬时值的代数和恒等于零，即 正弦交流电路中，各电流都是与电源同频率的正弦量，把这些同频率的正弦量用相量表示即为 这就是基尔霍夫电流定律的相量形式。它表明在正弦交流电路中，流入任 一 节点的各电流相量的代数和恒等于零。 同理可得基尔霍夫电压定律的相量形式为 它表明在正弦交流电路中，沿着电路中任一回路所有支路的电压相量和恒等于零。 图5-9例 5-9 ：如图 5-9 ，已知流入节点 A 的电流 求流出节点 A 的电流 。解： 由已知条件可得： 由相量形式的 KCL 可知： 例 5-10 ： 如图 5-10 所示电路，已知 ， 求电压表的读数U。图 5-10 解： 由已知条件可得： 由相量形式的 KVL 可知： 所以电压表的读数 U=0 。 第七节 R、L、C串联电路及复阻抗形式 学习目标：1 掌握 R 、 L 、 C 串联电路的电流关系及电压三角形。 2 掌握电路的性质。 3 掌握阻抗及其三角形 重点难点： 电压三角形、阻抗电压电流关系 如图 5-11 所示 R 、 L 、 C 串联电路。根据 KVL 可得： 由R、L、C三元件的伏安关系 图 5-11可得 即 图 5-12式中 称为复阻抗。以电流相量为参考相量，作相量图如图5-12 所示。 从相量图可见， 三者组成一个直角三角形，称为电压三角形，三者之间满足 一：复阻抗 1 复阻抗的计算 （ 1 ）直接计算 式中 图 5-13 之间符合阻抗三角形关系，见图 5-13 。 （ 2 ）间接计算 阻抗三角形 即阻抗模 是电压有效值与电流有效值的比，它的幅角等于电压与电流的相位差。 2 阻抗角与电路性质 当 时，电压超前电流，电路呈感性； 当 时，电流超前电压，电路呈容性； 当 时，电压与电流同相，电路呈电阻性； 二、特例 1 R-L 串联 2 R-C 串联 例 5-11 ： R 、 L 、 C 串联电路中，已知 电源频率 。试求电路复阻抗 Z 。若电源频率 ，重求复阻抗 Z 。 解： 当 时 当 时 图 5-14 例 5-12 ： 电路如图 5-14(a) 所示，电源频率 ，求： 电流 及总复阻抗 Z ；总电压、电感及电容电压的有效值； 画相量图。 解： 求总电流及复阻抗； 求各电压； 画相量图，见图 5-14(b) 。 例 5-13 ： 移相电路如图 5-15 所示， ，欲使输入电压滞后输出电压 ，求电感量 L 及输出电压 。 图 5-15 解： 设电流相量为 ，电路为 RL 串联电路，电压超前电流。因此作相量图如图 5-15（ b ）所示。 根据题意 则 电路的复阻抗 阻抗角 因此 由 构成的直角三角形可知 第八节 R、L、C 并联电路及复导纳 学习目标：1.掌握R、L、C并联电路的电压电流关系及电流三角形 。 2 掌握导纳及其三角形。 重点难点：电流三角形、导纳 一、电压电流关系 图5-16如图 5-16 所示R、L、C并联电路。根据KCL可得： 由R、L、C三元件的伏安关系 可得即 式中 称为复导纳。以电压相量为参考相量，作相量图如图 5-17 所示。从相量图可见， 三者组成一个直角三角形，称为电流三角形，三者之间满足： 图 5-17 二、复导纳 1 复导纳的计算 （ 1 ）直接计算 式中 图5-18 之间符合导纳三角形关系，见图 5-18 。 （ 2 ）间接计算 2 导纳角与电路性质 当 时，电流超前电压， 电路呈容性 ； 当 时，电压超前电流，电路呈感性； 当 时，电压与电流同相，电路呈电阻性； 三、特例 1 R-L 并联 2 R-C 并联 例 5-14 ： 电路如图 5-19 。已知 U=10V ，求各支路电流，画出相量图。解：令端电压 为参考相量，则 由 可得各支路电流分别为 并联电路的复导纳为 则总电流为 图5-19 第九节 无源二端网络的等效复阻抗和复导纳 学习目标：1. 掌握复阻抗串、并联电路的计算，注意与直流电路的区别。 2 掌握复阻抗与复导纳的等效变换。 重点难点：复阻抗串、并联。 一、复阻抗的串并联 1 阻抗的串联 图 5-20如图 5-20 ，由 KVL 和相量形式的欧姆定律可知： 即几个阻抗串联后的等效阻抗为几个阻抗之和 。 分压公式： 2 阻抗的并联 如图 5-211 ，由KCL和相量形式的欧姆定律可知： 等效阻抗 分流公式： 3 阻抗的混联 例 5-15 ： 电路相量模型如图 5-22 所示。已知。 求：电路的等效阻抗 Z ； 电流源两端电压相量 和两支路电流 ； 画出相量图。 解：等效阻抗 图 5-22 相量图如图 5-22(b) 所示。 二、无源二端网络的等效电路及复阻抗与复导纳的等效变换 交流电路中的实际负载的内部结构比较复杂，电工技术中常常用等效阻抗或等效导纳来表示它。所谓等效，指在电源作用下该负载端口的电压、电流量值和初相位与某一阻抗（导纳）在同一电源作用下产生的电压、电流量值和初相位分别相等，称此阻抗（导纳）与该负载等效。 例 5-16 ： 用示波器测出某负载的电压、电流分别为：试求：等效阻抗及等效参数；等效导纳及等效参数。 解： 等效电路如图 5-23(a) 所示。 等效电路如图 5-23(b) 所示。 图 5-23 第十节 实际元件的电路模型 （略 不讲）第十一节 正弦电流电路的分析计算 学习目标： 掌握复杂交流电路的分析方法 。 难点： 复杂交流电路的计算。 通过前几节分析，我们知道正弦交流电路引入电压、电流相量以及阻抗（导纳）的概念后，得出了相量形式的欧姆定律和基尔霍夫定律。然后根据这两个定律又导出了阻抗串、并联，分压及分流公式。这些公式在形式上与直流电路中相应的公式相对应，由此可以推知：分析直流电路的各种方法和定理在形式上同样能适用于分析复杂交流电路。本节通过例题说明如何应用回路法、节点法等来分析复杂正弦交流电路。 图 5-24 例 5-17: 见图 5-24 所示电路。已知 V ， /90 V ， ， ，试用回路电流法求各支路电流。 解：选定回路电流参考方向如图 5-24 所示。 列出回路电流方程 代入数据得：对以上方程求解得： /-56.3 A /-115.4 A 各支路电流为 /-56.3 A /-115.4 A /11.9 A 例 5-18: 电路如图 5-24 所示，用节点法求支路电流 3 。 解： 以 b 为参考点列出节点电压方程（弥尔曼 定理） /11.9 V /11.9 A A 例 5-19: 电路如图 5-24 所示，用戴维南定理求支路电流 。图5-25 解： 整理后电路如图 5-25 所示。 （ 1 ）先求开路电压 /-21.8 V （ 2 ）求入端阻抗（将电压源 , 短路处理）（ 3 ）求电流 。 29.9 /11.9 A 第十二节 正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率 学习目标：1. 掌握电阻的功率计算。 2掌握电感、电容的无功功率及平均储能。 重点难点： 无功功率 一、电阻元件的功率 1 瞬时功率 设电压电流关联， ，则 ， 从上式可见 ，说明电阻元件始终都在消耗功率，是耗能元件。 2 平均功率 单位：瓦，符号： W 二、电感元件的功率 1 瞬时功率 设电压电流关联， ，则 ， 2 平均功率 即电感元件不消耗功率，是储能元件。 3 无功功率 为了衡量电源与电感元件间的能量交换的大小，把电感元件瞬时功率的最大值称为无功功率，用 表示。 单位：乏，符号： var 三、电容元件的功率1 瞬时功率 设电压电流关联， ，则 ， 2 平均功率 即电容元件不消耗功率，是储能元件。 3 无功功率 单位：乏，符号： var 第十三节 二端网络的功率 学习目标：1. 掌握二端网络电路的各种功率的计算。 2 掌握功率因数的概念。 3 掌握功率三角形。 重点难点： 各种功率的物理意义及计算。 一、瞬时功率 电路在任一瞬间吸收的功率称为瞬时功率。设正弦交流电路二端网络的端口电压与电流取关联参考方向，它们分别为 ， ，则 上式表明，二端网络的瞬时功率由两部分组成，一部分是常量，另一部分是以两倍于电压频率而变化的正弦量。其中为电压与电流的相位差。 二、有功功率（平均功率）和功率因数 瞬时功率的平均值称为平均功率，也称有功功率，用 P 表示，单位为瓦（ W ）。根据定义可知： 可见：1) P 是一个常量，不仅与电压、电流有效值有关，还与它们相位差的余弦有关。 2) 式中 称为功率因数，通常用 表示，即 。因为 ，所以 。 3)对于纯电阻来说，电压与电流同相， ， ； 对于纯电感来说，电压超前电流 ， ，所以 ； 而对于纯电容来说，电压滞后电流 ， ，所以 。 4）平均功率守恒，即 三、无功功率 正弦稳态二端网络电路内部与外部能量交换的最大速率定义为无功功率，用字母 Q 表示 ，单位为 乏 。 可见：1)Q 也是一个常量，由 U 、 I 及 三者乘积确定。 2)3）无功功率也守恒，即 四、视在功率 在电工技术中，把电路端口电压有效值与电流有效值的乘积称为电路的视在功率，用字母 S 表示，单位为 伏安（ VA ），即 它反映电源设备的额定容量。 * 视在功率无物理意义，不满足能量守恒定律。 综上所述：二端网络的S、P、Q之间的关系，可用一个三角形来表示，称为功率三角形，如下图5-26：图5-26 P 、 Q 和 S 三者之间的关系可用三角形联系起来， 例5-20 ：已知某二端口的总电压 V，总电流A，求该二端口的P、Q、S、及。 解： W var VA 第十四节 功率因数的提高及有功功率的测量 学习目标：1.了解提高功率因数的意义。 2掌握提高功率因数的方法。 3了解电容量的计算方法。 重点难点：电容量的计算。 一：功率因数的提高意义：1提高电源设备的利用率。 当电源容量一定时，功率因数越高，其输出的功率越大。因此为了充分利用电源设备的容量，应该设法提高负载网络的功率因数。 2降低线路损耗。 当负载的有功功率 P 和电压 U 一定时， 越大，输电线上的电流越小，线路上能耗就越少（ ）。 3提高供电质量。 线路损耗减少，可以使负载电压与电源电压更接近，电压调整率更高。 4节约用铜。 在线路损耗一定时，提高功率因数可以使输电线上的电流减小，从而可以减小导线的截面，节约铜材。 二、提高功率因数的方法 功率因数不高的原因，主要是由于大量感性负载的存在。工厂中广泛使用的三相异步电动机就相当于感性负载。为了提高功率因数，可以从两个方面来着手：一方面是改进用电设备的功率因数，但这主要涉及更换或改进设备；另一方面是在感性负载的两端并联适当大小的电容器，原理如下： 设原负载为感性负载，其功率因数为 ，电流为 ，在其两端并联电容器 ，电路如图5-27 所示，并联电容以后，并不影响原负载的工作状态。从相量图可知由于电容电流补偿了负载中的无功电流。使总电流减小，电路的总功率因数提高了。 图 5-27 三、电容量的计算 设有一感性负载的端电压为，功率为 ，功率因数 ，为了使功率因数提高到 ，可推导所需并联电容 的计算公式： 流过电容的电流 所以 例 5-21: 两个负载并联 , 接到 220V 、 50Hz 的电源上。一个负载的功率 =2.8kW ，功率因数cos=0.8( 感性 ) ，另一个负载的功率 =2.42kW ，功率因数 cos =0.5( 感性 ) 。 试求 :(1) 电路的总电流和总功率因数； (2) 电路消耗的总功率； (3) 要使电路的功率因数提高到 0.92 ，需并联多大的电容？此时，电路的总电流为多少？ 解： (1) ， cos=0.8 =3.69， cos =0.5 =60 设电源电压 =220 /0 V ， 则 =15.9 /-36.9 A ， =22 /-60 A = + =15.9 /-36.9 +22 /-60 =37.1 /-50.3 A = 37.1A ， =50.3 cos =0.64 （2） =2.8+2.42=5.22 kW （3） 2 ， cos =0.64 =50.3 =0.00034(1.2-0.426 )= 263 F 第十五节 串联电路的谐振 学习目标：掌握R、L、C串联谐振的条件、频率及特点。 重点：R、L、C串联谐振 所谓谐振是指：含有电容元件和电感元件的线性无源二端网络对某一频率的正弦激励（达到稳态时）所呈现的端口电压和端口电流同相的现象。 一、串联谐振条件及特征如图 5-28 所示 R-L-C 串联电路： 图5-28当 ，即 Z 的虚部为 0 时，总电压 与总电流 同相，电路将发生谐振。 1 .谐振条件： 2 谐振频率： （固有频率） 3 调谐方法： 当 固定时，调节电源频率，使 。 当电源频率 固定时，调节 L 或 C ，使 。 4 串联谐振的特点 电压、电流同相位，电路呈电阻性。 阻抗最小，（当 U 一定时）电流最大。 。 串联谐振时，电感电压与电容电压大小相等、方向相反，即 ；电阻电压等于外加电源电压，即 。如图5-29图 5-29电感（容）电压有可能远远大于外加电源电压。（电压谐振） 式中 称为特性阻抗， 称为品质因数。当 时，串联谐振时电源只向电阻提供有功功率， 。图 5-30 5 谐振曲线 见图 5-30 Q 越高，谐振曲线越尖，选择性越好，但通频带 B 越窄（ ）。通频带窄会引起 失真现象，因此设计电路时候必须全盘考虑。 例 5-22 ： 收音机的调谐电路由磁性天线电感 与 的可变电容器串联。求对 560kHz 和 990kHz 电台信号谐振时的电容值。 解： 由 可知 （ 1 ）当 时，电路的谐振频率 （ 2 ）当 时 第十六节 并联电路的谐振学习目标：掌握R、L、C并联谐振的条件、频率及特点。 重点：R、L、C并联谐振 并联谐振：图 5-31 如图5-31所示线圈与电容并联电路： 当，即Y的虚部为0时，总电压与总电流同相，电路将发生谐振。 1 谐振条件： 2 谐振频率： 当 时， 作业：p116 5-3、5-4、5-6、5-7、5-12、5-13、5-14、5-15第五章 正弦稳态电路第一节 正弦量的基本概念学习目标： 1. 掌握正弦量的三要素。 2 掌握正弦量的相位关系。. 掌握 有效值的定义。 掌握正弦量的有效值与最大值的关系 。 重点： 正弦量的三要素、 相位关系、有效值与最大值的关系难点： 初相 一正弦交流电的特点 大小和方向随时间按正弦规律变化的电流称为正弦交变电流，简称交流（ ac 或 AC ）。我们日常生活、生产中，大量使用的电能都是正弦交流电。正弦交流电具有以下特点： 1 交流电压易于改变。 在电力系统中，应用变压器可以方便地改变电压，高压输电可以减少线路上的损耗；降低电压以满足不同用电设备的电压等级。 2 交流发电机比直流发电机结构简单。 二正弦量的三要素 区别不同的正弦量需要从它们变化的快慢、变化的先后和变化的幅度三方面考虑。 1 变化的快慢 - 用周期、频率或角频率描述。 (1) 周期 ： T ，秒。 (2) 频率： ， Hz 。 。 (3) 角频率 ： * 周期越短、频率（角频率）越高，交流电变化越快。 * 工频 ， ， 2 变化的先后 - 用初相角描述 (1) 相位角 ： (2) 初相角 ： t=0 时正弦量的相位角称作初相角。 * 的大小和正负与计时起点有关。 * 规定 * 当正弦量的初始值为正时， 角为正；初始值为负时， 角为负。 * 如果正弦量零点在纵轴的左侧时， 角为正；在纵轴右侧时， 角为负。 3 变化的幅度 - 用最大值来描述 （ 1 ）瞬时值：用小写字母表示，如 e 、 u 、 i 。 （ 2 ）最大值：也称振幅或峰值，通常用大写字母加下标 m 表示，如 。 一个正弦量与时间的函数关系可用它的频率、初相位和振幅三个量表示，这三个量就叫正弦量的三要素。对一个正弦交流电量来说，可以由这三个要素来唯一确定： 三、相位差与相位关系 1 相位差 两个正弦交流电在任何瞬时相位角之差称相位差。 * 两个同频正弦量的相位差等于它们的初相之差。规定 。 2 相位关系 图 5-1 相位关系超前、滞后关系； 同相关系（ ； 反相关系 ； 正交关系 四、正弦量的有效值一、有效值的引入 正弦量的瞬时值是随时间变化的，这对正弦量大小的计量带来一定的困难。同时，电路的一个重要作用是电能的转换，而正弦量的瞬时值又不能确切反映能量转换的效果。因此，在电工技术中用有效值来反映正弦量的大小。字母 I 、 U 、 E 分别表示正弦电流、电压和电动势的有效值。 二、有效值的定义 周期性变化的交流电的有效值是根据它的热效应来确定的。设周期电流 和直流电流 I 分别流入两个阻值相同的电阻 R 。如在一个周期内，它们各自产生的热量彼此相等，则直流电流的数值称为该交流电的有效值。 根据有效值的定义可得： 有效值又称为方均根值。 三、正弦量的有效值 设正弦交流电流 ，则它的有效值 即正弦交流电的有效值等于它的最大值的 （或 0.707 ）倍。 同理 因为正弦量的有效值和最大值有固定 的倍数关系，所以也可以用有效值代替最大值作为正弦量的一个要素。这样正弦量的数学表达式可写为 。 在工程上，一般所说的正弦电压、电流的大小都是指有效值。例如交流测量仪表所指示的读数、交流电气设备铭牌上的额定值都是指有效值。我国所使用的单相正弦电源的电压 U =220V ，就是正弦电压的有效值，它的最大值 U m U 1.414220 311V 。应当指出，并非在一切场合都用有效值来表征正弦量的大小。例如，在确定各种交流电气设备的耐压值时，就应按电压的最大值来考虑。 例 - ： 已知 求它的有效值 I 。 解： 图例 - ： 已知一周期性变化的电压波形如图 - 所示，求它的有效值。 解： 此电压 是非正弦的周期性交流电压， T=16s ，写出此电压的解析式。 根据有效值的定义式可得： 此题说明非正弦周期量的最大值与有效值之间不是简单的 0.707 关系。例 - ：填空 1 ）正弦交流电的三个基本要素是 ， 2 ）我国工业及生活中使用的交流电频率为、周期为 。 3 ）已知正弦交流电压 ，它的最大值为 V ，频率为 Hz, 周期 T= S ，角频率 = rad/s ，初相位为 。 4 ）已知两个正弦交流电流： 则 的相位差为 ， 超前。 作业： 5-1-3、5-1-4 第二节 正弦量的相量表示法 学习目标：1.掌握复数的基本知识。 2掌握正弦量的相量表示法。 重点：正弦量的相量表示法。 难点： 相量图 一个正弦量可以用三角函数式表示，也可以用正弦曲线表示。但是用这两种方法进行正弦量的计算是很繁琐的，有必要研究如何简化。 由于在正弦交流电路中 ,所有的电压、电流都是同频率的正弦量，所以要确定这些正弦量，只要确定它们的有效值和初相就可以了。相量法就是用复数来表示正弦量。使正弦交流电路的稳态分析与计算转化为复数运算的一种方法。 一、复数1 复数：形如 的式子称为复数， 为复数的实部， 为复数的虚部， 、 均为实数， 为虚数单位。 图 5-3 复数的图示法 2 复数的图示法 式中 为复数 A 的模， 为复数 A 的辐角。 3 复数的表示形式及其相互转换 其中代数式常用于复数的加减运算，极坐标式常用于复数的乘除运算。 4 复数的运算法则 相等条件：实部和虚部分别相等（或模和辐角分别相等）。 加减运算：实部和实部相加（减），虚部和虚部相加（减）。 乘法运算：模和 模相乘 ，辐角和辐角相加。 除法运算： 模和 模相除 ，辐角和辐角相减。 5 共轭复数 - 实部相等、虚部互为相反数（或模相等、辐角互为相反数） 二、用复数表示正弦量 1 正弦量与复数的关系 = sin( )= = 正弦电压等于复数函数 的虚部，该复数函数包含了正弦量的三要素。 2 相量 分有效值相量和最大值相量 有效值相量： = / 最大值相量： = / 3 相量图 在复平面上用一条有向线段表示相量。相量的长度是正弦量的有效值 I ，相量与正实轴的夹角是正弦量的初相。这种表示相量的图称为相量图。 例 5-4 ： 。 写出表示 1 和2 的相量，画相量图 。 解： 1 =100 /60 V 2 =50 /-60 V 相量图见图 5-4 。 例 5-5: 已知 1 =100 sin A ， 2 =100 sin( -120 )A ，试用相量法求 1 + 2 ，画相量图。 解： 1 =100 /0 A 2 =100 /-120 A 1 + 2 =100 /0 + 100 /-120 =100 /-60 A 1 + 2 =100 sin( -60 )A 相量图见图 5-5 。图5-4 图5-5作业：p72: 5-2-2、5-2-3、5-2-4 第三节 电阻元件伏安关系的相量形式学习目标：1掌握电阻元件的相量形式2掌握电阻两端电压和电流之间的相量关系重点：电阻两端电压和电流之间的相量关系难点：相量关系和相量图一、电阻元件的电压与电流 如图 5-6 ，设 ，则有： ， 可得： 当 和 都用相量表示时，有 结论： 纯电阻的电压与电流的瞬时值、有效值、最大值和相量均符合欧姆定律，即 图 5-6 纯电阻的电压与电流同相。第四节 电感元件及其伏安关系的相量形式学习目标：1.理解感抗的概念。 2掌握电感电压与电流之间的相量关系关系。 重点： L元件电压电流相量式。一、电感元件的电压与电流 如图 5-7 ，设 ，则有： 图5-7 可得： 则由 可知： 二：结论： 电感两端的电压与电流的有效值和最大值符合欧姆定律形式，即 * 式中 为感抗，与电阻 R 性质类似，单位也为 。但感抗与频率成正比，当（直流）时， ，说明电感元件在直流电路中相当于短路；而当 时，说明电感元件在高频线路中相当于开路；也就是说，电感线圈具有“通低频、阻高频”的特性。 电感两端的电压超前电流 90 （关联时）。 电感电压与电流相量符合： 第五节 电容元件及其伏安关系的相量形式学习目标：1.理解容抗的概念。 2掌握电容电压与电流之间的相量关系关系。 重点：C元件电压电流相量式。一、电容元件的电压与电流 如图 5-8 ，设 ，则 图 5-8 可得： 由 可知 或 二、结论： 电容两端的电压与电流的有效值和最大值符合欧姆定律形式，即 * 式中 称为容抗，单位是 ，与感抗相似，但容抗与角频率成反比。当 时， ，说明电容元件在直流电路中相当于开路；而当 时， 说明电容元件在高频线路中相当于短路；也就是说，电容具有“隔直通交”作用。 电容两端的电压在相位上滞后电流 90 （关联时）。 电容电压与电流相量符合： 。 例 5-6 ： 流过 50 电阻的电流相量 ，求电阻两端的电压相量 及瞬时值表达式 。 解： 例 5-7 ： 加在电感元件两端的电压 ，电感量 ，电压电流取关联参考方向，求电流 。 解： 例 5-8 ： 加在 25 F 的电容元件上的电压有效值为 10V ，设电压电流取关联参考方向，电压初相 ，求 。 ； 解： 第六节 基尔霍夫定律的相量形式学习目标：1. 掌握相量形式的KCL和KVL 。 2熟练应用相量形式的KCL和KVL解题方法。 重点：相量形式的KCL和KVL 。 基尔霍夫定律适用于任意瞬间的任意电路。任一瞬间，流入电路任一节点的各电流瞬时值的代数和恒等于零，即 正弦交流电路中，各电流都是与电源同频率的正弦量，把这些同频率的正弦量用相量表示即为 这就是基尔霍夫电流定律的相量形式。它表明在正弦交流电路中，流入任 一 节点的各电流相量的代数和恒等于零。 同理可得基尔霍夫电压定律的相量形式为 它表明在正弦交流电路中，沿着电路中任一回路所有支路的电压相量和恒等于零。 图5-9例 5-9 ：如图 5-9 ，已知流入节点 A 的电流 求流出节点 A 的电流 。解： 由已知条件可得： 由相量形式的 KCL 可知： 例 5-10 ： 如图 5-10 所示电路，已知 ， 求电压表的读数U。图 5-10 解： 由已知条件可得： 由相量形式的 KVL 可知： 所以电压表的读数 U=0 。 第七节 R、L、C串联电路及复阻抗形式 学习目标：1 掌握 R 、 L 、 C 串联电路的电流关系及电压三角形。 2 掌握电路的性质。 3 掌握阻抗及其三角形 重点难点： 电压三角形、阻抗电压电流关系 如图 5-11 所示 R 、 L 、 C 串联电路。根据 KVL 可得： 由R、L、C三元件的伏安关系 图 5-11可得 即 图 5-12式中 称为复阻抗。以电流相量为参考相量，作相量图如图5-12 所示。 从相量图可见， 三者组成一个直角三角形，称为电压三角形，三者之间满足 一：复阻抗 1 复阻抗的计算 （ 1 ）直接计算 式中 图 5-13 之间符合阻抗三角形关系，见图 5-13 。 （ 2 ）间接计算 阻抗三角形 即阻抗模 是电压有效值与电流有效值的比，它的幅角等于电压与电流的相位差。 2 阻抗角与电路性质 当 时，电压超前电流，电路呈感性； 当 时，电流超前电压，电路呈容性； 当 时，电压与电流同相，电路呈电阻性； 二、特例 1 R-L 串联 2 R-C 串联 例 5-11 ： R 、 L 、 C 串联电路中，已知 电源频率 。试求电路复阻抗 Z 。若电源频率 ，重求复阻抗 Z 。 解： 当 时 当 时 图 5-14 例 5-12 ： 电路如图 5-14(a) 所示，电源频率 ，求： 电流 及总复阻抗 Z ；总电压、电感及电容电压的有效值； 画相量图。 解： 求总电流及复阻抗； 求各电压； 画相量图，见图 5-14(b) 。 例 5-13 ： 移相电路如图 5-15 所示， ，欲使输入电压滞后输出电压 ，求电感量 L 及输出电压 。 图 5-15 解： 设电流相量为 ，电路为 RL 串联电路，电压超前电流。因此作相量图如图 5-15（ b ）所示。 根据题意 则 电路的复阻抗 阻抗角 因此 由 构成的直角三角形可知 第八节 R、L、C 并联电路及复导纳 学习目标：1.掌握R、L、C并联电路的电压电流关系及电流三角形 。 2 掌握导纳及其三角形。 重点难点：电流三角形、导纳 一、电压电流关系 图5-16如图 5-16 所示R、L、C并联电路。根据KCL可得： 由R、L、C三元件的伏安关系 可得即 式中 称为复导纳。以电压相量为参考相量，作相量图如图 5-17 所示。从相量图可见， 三者组成一个直角三角形，称为电流三角形，三者之间满足： 图 5-17 二、复导纳 1 复导纳的计算 （ 1 ）直接计算 式中 图5-18 之间符合导纳三角形关系，见图 5-18 。 （ 2 ）间接计算 2 导纳角与电路性质 当 时，电流超前电压， 电路呈容性 ； 当 时，电压超前电流，电路呈感性； 当 时，电压与电流同相，电路呈电阻性； 三、特例 1 R-L 并联 2 R-C 并联 例 5-14 ： 电路如图 5-19 。已知 U=10V ，求各支路电流，画出相量图。解：令端电压 为参考相量，则 由 可得各支路电流分别为 并联电路的复导纳为 则总电流为 图5-19 第九节 无源二端网络的等效复阻抗和复导纳 学习目标：1. 掌握复阻抗串、并联电路的计算，注意与直流电路的区别。 2 掌握复阻抗与复导纳的等效变换。 重点难点：复阻抗串、并联。 一、复阻抗的串并联 1 阻抗的串联 图