数理经济学02-多元函数与静态分析.doc

多变量函数微分学与矩阵理论变量经济学中的实际问题，往往由许多因素组成。可分为两类：1) 原因因素，数学上称作自变量，经济学上称作外生变量（不可控因素）；2) 结果因素，数学上称作因变量，经济学上称作内生变量（可控因素，即模型的解）。函数我们主要研究内生变量与外生变量之间的关系，数学上用因变量与自变量之间的函数关系来描述。单变量函数的微分学及应用经济学中的边际概念定义为一个经济量x在原有值x0的基础上再增加一个单位而导致的另一个经济量f(x)的增量。设y = f(x)是定义在集合S上的一元函数，导数在经济研究中称为边际。利用导数进行经济分析，简称边际分析。例如，需求量Qd = f (P)对价格P的导数称为需求对价格的边际需求量。劳动的边际产量是指再雇用一个单位的劳动所增加的产量。假设生产函数为Q = F (L)，当前劳动为L0个单位，则劳动的边际产量为例如，设有生产函数Q = F (L) = L1/2 / 2， L0 =100。计算知F (L0) = F (100) = 0.025，F (101)-F (100) = 0.0249。可见导数F (100)是边际产量F (101)- F (100)的一个很好的近似值Lagrangian中值定理若f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导，则至少存在一个(a，b)使下式成立f (b)- f (a) =(b-a)Taylor中值定理设(a，b)，f(x)在(a，b)内有直到n+1阶的导数，则当 (a，b)时，存在在x0与x之间，使得下式成立其中，是的高阶无穷小。单调性、凸凹性、极值f(x)单调的充分条件设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导，则(1) f(x)在a，b上严格单调增加的充分条件是在(a，b)上恒有f(x) 0；(2) f(x)在a，b上严格单调减少的充分条件是在(a，b)上恒有f(x) 0。f (x)单调的充分条件若对任意x1，x2(a，b)，f(x2) (或)f(x1)+ f (x1) ( x2- x1)，则f (x)在(a，b)上单调增加（减少）。凸凹性定义 （1）称函数f (x)在(a，b)上是凸的（或凹的），若对任意0，1，对任意x1，x2(a，b)，恒有下式成立f (x1 + (1-) x2) (或) f (x1) + (1-) f (x2)（2）若上式中的严格不等式恒成立，则称函数f(x)是(a，b)上的严格凸（或凹）函数。由定义易知，严格凸（或凹）函数一定是凸（或凹）函数。凸凹性判断法判定法之一（利用一阶导数）设函数f (x)在(a，b)上可导，则f (x)在(a，b)上为凸（或凹）函数的充要条件是若对任意x1，x2(a，b)，f(x2) (或)f(x1)+ f (x1) ( x2- x1)，当上面的严格不等式对任意x1，x2(a，b)且x1x2成立时，即为严格凸（或凹）函数的充要条件。判定法之二（利用二阶导数）若函数f(x)在(a，b)上是二阶连续可微的，则f (x)是(a，b)上的凸（或凹）函数的充要条件是对任意x(a，b)有f (x)0 (或f(x)0)，而f (x)是(a，b)上的严格凸（或凹）函数的充分条件是上面的严格不等式成立。极值的必要条件设函数f (x)在x0可导，且在x0取得极值，则f (x0) = 0几何解释：曲线在函数取得极值的点x0处的切线是水平的。极值的充分条件(I)（一阶充分条件）设f(x)在x0的一个领域内可导且f(x0) = 0。（1）若x取x0左侧邻近的值时，f(x)的符号恒为正；当x取x0右侧邻近的值时，f(x)的符号恒为负，则f(x)在x0处取得极大值;（2）若x取x0左侧邻近的值时，f(x)的符号恒为负；当x取x0右侧邻近的值时，f(x)的符号恒为正，则f(x)在x0处取得极小值。（二阶充分条件）设f(x0) = 0，f (x)在x0处具有二阶导数且f(x0)0。（1）当f(x0) 0时，f (x)在x0处取得极小值。（N 阶充分条件）设f(x0) = f(x0) = f(N-1)(x0) = 0，f (N )(x0) 0。（1）当N为偶数且f (N )(x0) 0时，f (x)在x0处取得极小值；（3）当N为奇数时，(x0，f (x0) 为拐点。Weierstrass定理：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。经济学应用供求理论需求向下倾斜规律观察由需求表得到的需求曲线Qd = f (p)，它是向下倾斜的；换言之，需求量与价格成反向变动。需求弹性价格的变化如何影响需求的变化？可用需求函数Qd = f (p)关于价格p的导数f(p)来衡量，f(p)称作边际需求。边际需求是否受价格和需求量的单位的影响？经济学者希望需求对价格的变化的灵敏度不受所选择单位的影响，该灵敏度可用来比较具有不同货币、不同重量和体积单位的不同国家的消费行为。解决办法是用一个经济量的变化的百分率而不是它的增量来度量该量的变化。设某个经济量q的初值是q0，后变化为q1。则用(q1-q0)/q0描述q的变化，而不用q = q1-q0。前者不依赖于q的度量单位，称作q的变化的百分率，也称之为q的增长率。弹性用两个经济量变化的百分率的比值来刻划一个量量对另一个量的影响程度。这个比值称作弹性。需求的价格弹性Edp分类完全无弹性不管价格如何变动，需求量固定不变。缺乏弹性价格的任何变动，会引起需求量较小程度的变化；或1%价格的变化导致少于1%需求量的变化。单一弹性价格的任何变动，会引起需求量同等程度的变化；或需求变化的百分率与价格变化的百分率完全相同。富有弹性价格的任何变动会引起需求量较大程度的变化；或1%价格的变化导致大于1%需求量的变化。完全弹性价格的任何变动，会引起需求量无限的变动。线性需求函数的点弹性例：线性函数的弹性例：幂函数的弹性需求价格弹性与消费者总支出的关系考虑完全垄断市场。当某种商品的价格p上升，消费者总支出pQd将如何变化呢？变化是不确定的。这是因为P和Qd反向变化。但有下面的结论。1) 价格的增加导致总支出的增加的充要条件是商品的需求缺乏弹性；2) 价格的增加导致总支出的减少的充要条件是商品的需求富有弹性;3) 无论价格上升或下降，总支出不变的充要条件是商品的需求是单一弹性。证明：设商品的需求函数为Q = f(p)，则总支出为E(p) =pQ。进而需求收入弹性指消费者收入的相对变动所引起的需求量的变动。供给价格弹性（类似）多变量函数微分法及其应用生产、成本、利润、效用、需求函数等往往是一组经济变量之间关系的数学表达，对应着数学上的多元函数。定义从集合A到集合B的一个函数是指一个规则，它对A中任一元素指定B中唯一的元素与之对应。记作f：AB。当集A是Rn中的一个子集，集合B是R中的一个子集时，则称f是一个定义在集合A上的多元函数。经济学中的例子f：R n R（实值函数）例1 初级微观经济学：需求函数是一元函数Qd = F (P)；中高级微观经济学：某商品的需求量不仅受自己价格的影响，还要考虑受市场中其它商品的价格和收入I的影响。如商品1的的需求量Q1不仅受自己价格p1的影响，还要受市场中商品2的价格p2和收入I 的影响，数学上表示为：Q1 = f (p1，p2，I) 例如，常数弹性需求函数：f：R n R m（向量值函数） 用n种投入生产的m种产品的厂商的生产函数表示为f：(I1，I2，In)(O1，O2，Om)几个特殊函数 线性函数定义3.1.2 称f：R k R m是一个线性函数或线性变换，若对任意的x，yRk，rRm有，f (x + y) = f (x) + f ( y)，f (rx) = r f (x)。线性函数f：R k R可表示为线性函数f：R kRm可表示为f (x) = Ax。其中Amk ，x = (x1，x2，xk)T二次型：多元函数的微分偏导数偏导数的求法将x1，x22，xi-1，xi1，xn看作常数，将xi看作变量，则f (x1， x2，xn)是xi的一元函数，求此一元函数的导数，即得偏导数的经济解释：边际边际产量生产函数Q = F (K，L)，则保持当前不变（L = L*）时，产出Q关于资本的变化率边际效用设产品1，2，n的效用函数为U (x1， x2， xn)，则该函数在点（x1*， x2*， xn*）处关于xi的偏导数可估计在消费水平(x1*， x2*， ， xn*)的基础上再追加一个单位的产品i而增加的效用，叫产品i的边际效用，记作MUi(x1*， x2*， ， xn*)。弹性需求价格弹性设商品1的需求函数Q1 = Q1(p1，p2，I)，求商品1的需求价格弹性需求交叉价格弹性研究一种商品的需求对其它商品价格变化的灵敏度全微分定义 函数z = f (x1， x2，xn)可微的条件定理 3.2.1 (必要条件)函数f (x1， x2，xn)可微，则该函数在点(x1， x2，xn)的偏导数必定存在， 定理 3.2.2 (充分条件)如果函数f (x1， x2，xn)在点(x1， x2，xn)的偏导数存在且连续，则该函数f (x1， x2)在点（x1*， x2*）处可微，且函数f (x1， x2，xn)的全微分为Jacobian导数与梯度f的Jacobian导数定义为例：，其中梯度：F：RnRm的Jacobian导数设x =(x1，x2，xn)Rn，fi (x) R，F (x) = (f1(x1，x2，xn)，f2 (x1，x2，xn)，fm (x1，x2，xn)T，则F在x*处的Jacobian导数定义为高阶偏导数与Hessian矩阵设有函数z = f (x1， x2，xn)当f连续可微时，Hessian矩阵是对称矩阵。乘积法则1） 设f(x)=g(x)h(x)，则。-2） f (x) = g (x)h (x)：R m R，这里g (x)： R m R n，h (x)：R m R n则f (x)的Jacobian的导数为3） f (x) = a (x) g (x)：R R n，这里a (x)：R R，g (x)：R R n则f (x)的Jacobian的导数为4） 已知f (x) = h (x)g(x)：Rm Rn，这里g(x)：Rm Rn， h (x)：Rm R则f (x)的Jacobian的导数为复合函数求导法则多元向量值复合函数定理3.4.1 设g：Rs Rm，f：Rm Rn可微，则复合函数 f (g(x)：Rs Rn也可微，且Dxf (g(x) = Df (g(x)Dg(x),这里Df(g(x)是nm阶矩阵，表示函数f()在g(x)处的Jacobian导数；Dg(x)是ms阶矩阵，表示g(x)在x处的Jacobian导数；Dxf(g(x)是ns阶矩阵隐函数及其导数函数的表达方式显式表达法在等号的左端仅含有因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，用这种方式表达的函数叫做显函数。例如生产函数Q = K3/ 4L1/ 4隐式表达法非显式表达的函数称为隐函数。方程x + y3-1 = 0表示一个函数，因为当自变量x在区间内取值时，由这个方程可确定变量y的唯一的值与之对应。隐函数的显化隐函数的导数经济学中的必要性隐函数求导法（一个方程）隐函数求导法（隐函数定理）方程组情形静态分析（均衡分析）均衡均衡是一组选定的相关的变量，经过彼此调整以使其所构成的模型不存在任何内在的变化趋势。“选定的”一词强调一个事实确实存在一些变量，由于分析者的选择而未被包括在模型中。因此，这里讨论的均衡只与所选择的特定的变量集合有关。若模型扩大后包括一些其它变量，则适合原来较小模型的均衡状态不再适用扩大后的模型。“相关的”一词意味着为了获得均衡，模型中的所有变量必须同时处于静止状态；此外，每个变量的静止状态必须与其它变量的静止状态相容；否则，有些变量将改变，进而引起其它变量发生连锁变化，这样不能说存在平衡。“内在的”意味着在定义均衡时，所涉及的静止状态仅以模型中的内部力量的平衡为基础，而假设外部因素不变。这意味着参数和外生变量被视为常数。当外部因素确实改变时，可能导致定义在新参数值基础上的新均衡；但在定义新均衡时，又假定新参数值保持不变。静态学本质上，一个特定模型的均衡，是以缺乏变化趋势为特征的一种状态。鉴于这个原因，把均衡分析（更确切地说，均衡状态是什么的研究）叫做静态学均衡分类目的均衡（goal equilibrium）期望的那类均衡，即优化问题中处理的均衡叫做目的均衡非目的均衡（nongoal equilibrium）这种均衡并不是由于对特定的目标的刻意追求，而是由于非个人的或超人的经济力量的相互作用和调节。例如，在给定供求条件下由市场达到的均衡，在给定消费和投资方式下的国民收入的均衡，均属此例。几个静态分析模型在静态均衡模型中，标准的问题是求出满足模型均衡条件的一组内生变量的值。这是因为我们一旦确定了这组值，实际上也就确定了均衡条件。局部市场均衡：它是指在一个孤立市场中的价格决定模型。线性模型例 标准的假设是：当且仅当超额需求为零（Qd = Qs），即市场出清时，市场就实现均衡。一般市场均衡上面讨论了孤立的市场模型，在那里商品的Qd和Qs仅仅是该商品价格的函数。然而在现实世界中，没有一种商品是这样孤立存在的，每一种商品都有许多替代品和互补品。因此，为了更切合实际地描述一个商品需求函数，不但应考虑到商品需求量受自身价格的影响，还应考虑受全部或大部分相关商品的需求量和价格的影响。对供给函数应作类似的考虑。但是，一旦其它商品价格和需求量被纳入考虑范围，模型的结构必须扩大，以便能求出其它商品的均衡价格和均衡数量。因此，多种商品的价格和数量必须一并以内生变量纳入模型。同时考虑几种相关的商品时，均衡条件为模型中的每一个商品都不存在超额需求。因为只要有一种商品存在超额需求，该商品的价格就需调整，进而影响到其它商品的需求数量和供给数量，从而导致所有商品的价格变化。总之，n种商品的市场模型的均衡条件为：每个商品的需求量与供给量相等。一般市场均衡求解：解的存在性和唯一性若模型（2）中的系数都是数值的，则模型的解（变量的均衡值）也将是数值的。一般地，若模型中的系数像（1）那样含有参数，则模型的解（变量的均衡值）也将含有参数。静态分析的限制在前面讨论市场的静态均衡时，我们主要关心的是求模型中内生变量的均衡值。在这个分析中，我们忽略了一个基本点：就是最终达到均衡的变量的调整和再调整的实际过程。我们仅仅考虑了何处达到均衡状态，但对何时达到均衡状态以及达到均衡状态的过程中会出现何种问题并不关心。因此静态分析未考虑两个重要问题1）由于调整过程可能需很长时间才能完成，所以若模型中的外部力量（外生变量）在此期间经历着某些变化，那么在特定均衡分析框架内确定的这个均衡将在它最终达到之前，就失去了其实际意义。这就是均衡状态的转移问题。2）即使允许调整过程不受干扰地进行下去，均衡分析中设计出的均衡状态可能不能共同达到这就是所谓的“不稳定均衡”，其特征是调整过程会驱使变量逐渐偏离而不是逐渐趋近于均衡状态均衡状态随着外部变化的转移（shift）的分析，属于一类分析，叫比较静态分析。均衡的可达性和稳定性问题属于动态分析的范畴动态分析将在数理经济学II中介绍显然，这两种分析可弥补均衡分析的不足。比较静态分析的本质什么是比较静态分析就是把与不同组的参数和（或）外生变量的值对应的不同的均衡状态进行比较。出于此目的，总假设给定一个初始均衡状态。如在孤立市场模型中，初始均衡指定为确定的均衡价格和相