广东省潮州市高二数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1不等式x2x的解集是（）a（，0）b（0，1）c（1，+）d（，0）（1，+）2下列命题正确的是（）a若ab，则ac2bc2b若ab，则abc若acbc，则abd若ab，则acbc3下列命题中，假命题是（）axn*，（x2）20bx0r，tanx0=2cx0r，log2x02dxr，3x204已知命题p：1x5，命题q：（x5）（x+1）0，则p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件5若函数f（x）=a2sinx，则f（）等于（）a2acosbcoscsinda2cos6等差数列an的前n项和是sn，若a1+a2=5，a5+a6=13，则s6的值为（）a18b27c36d467abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosb=（）abcd8已知f是抛物线y2=x的焦点，a，b是该抛物线上的两点，|af|+|bf|=3，则线段ab的中点到y轴的距离为（）ab1cd9曲线y=xex+1在点（0，1）处的切线方程是（）axy+1=0b2xy+1=0cxy1=0dx2y+2=010已知等比数列an中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（）abcd11已知f1，f2是双曲线=1（a0，b0）的焦点，以线段f1f2为边作正三角形mf1f2，若边mf1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）a4+2b +1c1d12若f（x）=x2+（a+2）x+lnx在（1，+）上是减函数，则实数a的取值范围是（）a（，2b（3，1）c1，0）d0，+）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13若x，y满足不等式，则z=2x+y的最小值为14已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点p（2，2），则抛物线的方程为15如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔p的南偏西75距灯塔60海里的m处，下午2时到达这座灯塔的东偏南45的n处，则该船航行的速度为海里/小时16设p（x0，y0）是椭圆+=1上一动点，f1，f2是椭圆的两个焦点，则的最大值为三、解答题（共6小题，满分70分）17已知命题p：xr，ax2+ax+10及命题q：x0r，x02x0+a=0，若pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围18设锐角三角形abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，（1）求a的大小； （2）若，求a19某水利工程队相应政府号召，计划在韩江边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为32400m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最少20公差不为零的等差数列an中，a3=7，又a2，a4，a9成等比数列（1）求数列an的通项公式（2）设，求数列bn的前n项和sn21已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，若曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为3，且当x=时，y=f（x）有极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在4，1上的最大值和最小值22已知椭圆（ab0）经过点，其离心率为（）求椭圆c的方程；（）设直线与椭圆c相交于a、b两点，以线段oa，ob为邻边作平行四边形oapb，其中顶点p在椭圆c上，o为坐标原点求|op|的取值范围2015-2016学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1不等式x2x的解集是（）a（，0）b（0，1）c（1，+）d（，0）（1，+）【考点】一元二次不等式的解法【分析】对不等式先进行移项，然后再提取公因式，从而求解【解答】解：不等式x2x，x2x0，x（x1）0，解得x1或x0，故选d【点评】此题比较简单，主要考查一元二次不等式的解法：移项、合并同类项、系数化为12下列命题正确的是（）a若ab，则ac2bc2b若ab，则abc若acbc，则abd若ab，则acbc【考点】命题的真假判断与应用【专题】证明题【分析】根据不等式式的性质，令c=0，可以判断a的真假；由不等式的性质3，可以判断b，c的真假；由不等式的性质1，可以判断d的真假，进而得到答案【解答】解：当c=0时，若ab，则ac2=bc2，故a错误；若ab，则ab，故b错误；若acbc，当c0时，则ab；当c0时，则ab，故c错误；若ab，则acbc，故d正确故选d【点评】本题考查的知识点是不等式的性质，及命题的真假判断与应用，其中熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键3下列命题中，假命题是（）axn*，（x2）20bx0r，tanx0=2cx0r，log2x02dxr，3x20【考点】特称命题；全称命题【专题】函数思想；综合法；简易逻辑【分析】取特值验证可得前3个选项的正误，由指数函数的值域可得d【解答】解：选项a，取x=2可得（x2）2=0，故错误；选项b，当x0=arctan2时可得tanx0=2，故正确；选项c，当x0=1时可得log2x0=02，故正确；选项d，由指数函数的值域可知无论x取何值都有3x20，故正确故选：a【点评】本题考查特称命题和全称命题，特殊值验证是解决问题的关键，属基础题4已知命题p：1x5，命题q：（x5）（x+1）0，则p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题；对应思想；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】求解一元二次不等式（x5）（x+1）0，得到1x5，然后结合必要条件、充分条件的判定方法得答案【解答】解：由（x5）（x+1）0，解得1x5，p是q的必要不充分条件，故选：b【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了一元二次不等式的解法，是基础题5若函数f（x）=a2sinx，则f（）等于（）a2acosbcoscsinda2cos【考点】导数的运算【专题】计算题；函数思想；定义法；导数的概念及应用【分析】根据基本导数公式求导即可【解答】解：f（x）=cosx，f（）=cos，故选b【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题6等差数列an的前n项和是sn，若a1+a2=5，a5+a6=13，则s6的值为（）a18b27c36d46【考点】等差数列的前n项和【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a1+a2=5，a5+a6=13，解得，则s6=62+1=27故选：b【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosb=（）abcd【考点】余弦定理；等比数列【专题】计算题【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案【解答】解：abc中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选b【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用8已知f是抛物线y2=x的焦点，a，b是该抛物线上的两点，|af|+|bf|=3，则线段ab的中点到y轴的距离为（）ab1cd【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出a，b的中点横坐标，求出线段ab的中点到y轴的距离【解答】解：f是抛物线y2=x的焦点，f（）准线方程x=，设a（x1，y1），b（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|af|=，|bf|=，|af|+|bf|=3解得，线段ab的中点横坐标为，线段ab的中点到y轴的距离为故选c【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离9曲线y=xex+1在点（0，1）处的切线方程是（）axy+1=0b2xy+1=0cxy1=0dx2y+2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：y=xex+1，f（x）=xex+ex，当x=0时，f（0）=1得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程为：y1=1（x0），即xy+1=0故选a【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题10已知等比数列an中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（）abcd【考点】等差数列的性质；等比数列的通项公式【专题】计算题【分析】由成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，由数列an为等比数列，利用等比数列的通项公式化简关系式，再由等比数列各项为正数得到a1不为0，故在等式两边同时除以a1，得到关于q的方程，求出方程的解得到q的值，最后利用等比数列的性质化简所求的式子后，将q的值代入即可求出值【解答】解：成等差数列，a3=a1+2a2，又数列an为等比数列，a1q2=a1+2a1q，又各项都是正数，得到a10，q22q1=0，解得：q=1+，或q=1（舍去），则=q2=（1+）2=3+2故选c【点评】此题考查了等比、等差数列的性质，以及等比数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键11已知f1，f2是双曲线=1（a0，b0）的焦点，以线段f1f2为边作正三角形mf1f2，若边mf1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）a4+2b +1c1d【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】首先根据题意建立关系式利用正三角形的边的关系，和双曲线的定义关系式求的离心率【解答】解：已知f1，f2是双曲线=1（a0，b0）的焦点，以线段f1f2为边作正三角形mf1f2，若边mf1的中点在双曲线上，则：设|f1f2|=2c进一步解得：|mf1|=c，利用双曲线的定义关系式：|mf2|mf1|=2a两边平方解得：故选：b【点评】本题考查的知识要点：双曲线的定义关系式，正三角形的边的关系，双曲线的离心率，及相关运算12若f（x）=x2+（a+2）x+lnx在（1，+）上是减函数，则实数a的取值范围是（）a（，2b（3，1）c1，0）d0，+）【考点】函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得，当x1时，f（x）0，即ax2利用单调性求得函数y=x22，从而求得a的范围【解答】解：由题意可得，当x1时，f（x）=x+a+2+0，即ax2由于函数y=x2在（1，+）上单调递增，y2，a2，故选：a【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，函数的单调性与导数的关系，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13若x，y满足不等式，则z=2x+y的最小值为4【考点】简单线性规划【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得a（1，2），由z=2x+y，得y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过a时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4故答案为：4【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点p（2，2），则抛物线的方程为y2=4x【考点】抛物线的标准方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设抛物线方程为y2=mx，代入p（2，2），得到方程，解方程即可得到所求抛物线方程【解答】解：设抛物线方程为y2=mx，代入p（2，2），可得，8=2m，即有m=4，则抛物线的方程为y2=4x故答案为：y2=4x【点评】本题考查抛物线的方程的求法，考查待定系数法的运用，考查运算能力，属于基础题15如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔p的南偏西75距灯塔60海里的m处，下午2时到达这座灯塔的东偏南45的n处，则该船航行的速度为海里/小时【考点】解三角形的实际应用【专题】应用题；数形结合；数形结合法；解三角形【分析】根据正弦定理解出mn即可求得速度【解答】解：n=45，mpn=75+45=120，在pmn中，由正弦定理得，即，解得mn=30（海里）轮船航行时间为4小时，轮船的速度为=海里/小时故答案为【点评】本题考查了正弦定理，解三角形的应用，属于基础题16设p（x0，y0）是椭圆+=1上一动点，f1，f2是椭圆的两个焦点，则的最大值为4【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由椭圆定义知|pf1|+|pf2|=8，且|pf1|0，|pf2|0，由此利用均值定理能求出的最大值【解答】解：p（x0，y0）是椭圆+=1上一动点，f1，f2是椭圆的两个焦点，|pf1|+|pf2|=8，且|pf1|0，|pf2|0，=4，当且仅当|pf1|=|pf2|=4时，取最大值4故答案为：4【点评】本题考查椭圆的定义的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用三、解答题（共6小题，满分70分）17已知命题p：xr，ax2+ax+10及命题q：x0r，x02x0+a=0，若pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】题p：xr，ax2+ax+10，对a分类讨论：当a=0时，直接验证；当a0时，可得命题q：x0r，x02x0+a=0，可得10由pq为真命题，pq为假命题，可得命题p与q必然一真一假解出即可【解答】解：命题p：xr，ax2+ax+10，当a=0时，10成立，因此a=0满足题意；当a0时，可得，解得0a4综上可得：0a4命题q：x0r，x02x0+a=0，1=14a0，解得pq为真命题，pq为假命题，命题p与q必然一真一假或，解得a0或实数a的取值范围是a0或【点评】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18设锐角三角形abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，（1）求a的大小； （2）若，求a【考点】余弦定理；正弦定理【专题】三角函数的求值；解三角形【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinb不为0求出sina的值，即可确定出a的度数；（2）由b，c，cosa的值，利用余弦定理求出a的值即可【解答】解：（1）由b=asinb，根据正弦定理得：sinb=sinasinb，在abc中，sinb0，sina=，abc为锐角三角形，a=；（2）b=，c=+1，cosa=，根据余弦定理得：a2=b2+c22bccosa=6+4+22（+1）=4，则a=2【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键19某水利工程队相应政府号召，计划在韩江边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为32400m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最少【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用【分析】设鱼塘的长为xm，宽为ym，农田面积为s，则农田长为（x+6）m，宽为（y+6）m，xy=32400，s=（x+6）（y+6）=xy+6（x+y）+36，再由基本不等式即可得到所求最小值，及对应的x，y的值【解答】解：设鱼塘的长为xm，宽为ym，农田面积为s，则农田长为（x+6）m，宽为（y+6）m，xy=32400，s=（x+6）（y+6）=xy+6（x+y）+36，当且仅当x=y=180时取等号，所以当x=y=180，s=34596m2，答：当选的农田的长和宽都为186m时，才能使占有农田的面积最少【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的运用，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题20公差不为零的等差数列an中，a3=7，又a2，a4，a9成等比数列（1）求数列an的通项公式（2）设，求数列bn的前n项和sn【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和【专题】综合题【分析】（1）设数列的公差为d，根据a3=7，又a2，a4，a9成等比数列，可得（7+d）2=（7d）（7+6d），从而可得d=3，进而可求数列an的通项公式；（2）先确定数列bn是等比数列，进而可求数列bn的前n项和sn【解答】解：（1）设数列的公差为d，则a3=7，又a2，a4，a9成等比数列（7+d）2=（7d）（7+6d）d2=3dd0d=3an=7+（n3）3=3n2即an=3n2；（2），数列bn是等比数列，数列bn的前n项和sn=【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的通项，等比数列的求和公式，属于中档题21已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，若曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为3，且当x=时，y=f（x）有极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在4，1上的最大值和最小值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】导数的综合应用【分析】（1）求函数的导数，利用函数f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为3，得到f（1）=3，利用条件当x=时，y=f（x）有极值，得到f（）=0，联立方程可求a，b（2）利用函数的导数和最大值之间的关系，求函数的最大值和最小值即可【解答】解：f（x）=x3+ax2+bx+5，f（x）=3x2+2ax+b，f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为3，f（1）=3，即f（1）=3+2a+b=3，2a+b=0x=时，y=f（x）有极值f（）=0，即f（）=，4a+3b=4 由解得a=2，b=4f（x）=x3+ax2+bx+5=x3+2x24x+5（2）f（x）=3x2+4x4，由f（x）=0，解得x=2或x=，当x在4，1上变化