误差理论与数据处理习题答案1-3章.pdf

第一章第一章 习题及参考答案习题及参考答案 1 1 测得某三角块的三个角度之和为 180 00 02 试求测量的绝对误差和相对误差 解 绝对误差 测得值 真值 180 00 02 180 2 相对误差 绝对误差 真值 2 180 60 60 3 086 10 4 1 2 在万能测长仪上 测量某一被测件的长度为 50mm 已知其最大绝对误差为 1 m 试问该 被测件的真实长度为多少 解 绝对误差 测得值 真值 即 L L L0 已知 L 50 L 1 m 0 001mm 测件的真实长度 0 L L 50 0 001 49 999 mm 1 3 用二等标准活塞压力计测量某压力得 100 2Pa 该压力用更准确的办法测得为 100 5Pa 问二 等标准活塞压力计测量值的误差为多少 解 在实际检定中 常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值 故二等标准活塞 压力计测量值的误差 测得值 实际值 100 2 100 5 0 3 Pa 1 4 在测量某一长度时 读数值为 2 31m 其最大绝对误差为 20 m 试求其最大相对误差 解 因 L L L0 求得真值 L0 L L 2310 0 020 2309 98 mm 故 最大相对误差 0 020 2309 98 8 66 10 4 0 000866 1 5 使用凯特摆时 g由公式g 4 2 h1 h2 T2给定 今测出长度 h1 h2 为 1 04230 0 00005 m 振动时间T为 2 0480 0 0005 s 试求g及其最大相对误差 如果 h1 h2 测出为 1 04220 0 0005 m 为了使g的误差能小于 0 001m s2 T的测量必须精确到多少 解 测得 h1 h2 的平均值为 1 04230 m T的平均值为 2 0480 s 由 4 21 2 2 hh T g 得 81053 904230 1 0480 2 4 2 2 g m s2 当 h1 h2 有微小变化 21 hh T有 T变化时 g的变化量为 2 4 8 4 2121 2 2 21 3 2 21 2 2 21 21 hh T T hh T Thh T hh T T T g hh hh g g g 的最大相对误差为 T T hh hh hh T hh T T hh T g g 2 4 2 4 21 21 212 2 21212 2 1 054 0 100 0480 2 0005 0 2 1 04230 0 00005 如果 h1 h2 测出为 1 04220 0 0005 m 为使g的误差能小于 0 001m s2 即 001 0 g 就是 001 0 2 4 2121 2 2 hh T T hh T g 001 004220 1 0480 2 2 0005 0 0480 2 4 2 2 T 00106 0 01778 10005 0 T 求得 00055 0sT 1 6 检定 2 5 级 即引用误差为 2 5 的全量程为 100V 的电压表 发现 50V 刻度点的示值误差 2V 为最大误差 问该电压表是否合格 解 引用误差 示值误差 测量范围上限 所以该电压表的引用误差为 所以该电压表合格 2 2 100 m m m U r U 由于 2 2 5 315 1 不合要求 4 查t分度表 ta 2 78 u n 故无根据怀疑测量列存在系统误差 按残余误差校核法 前5个残余误差和与后5个残余误差的差值 为 8 0 4 0 4 0 10 6 5 1 j j i i 两部分之差显著不为0 则有理由认为测量列中含有系统误差 为什么会得出互为矛盾的结论 问题出在本题给出的数据存在粗大误差 这就提醒 我们在判断是否有系统误差前 应先剔除粗大误差 然后再进行系统误差判断 2 16 对一线圈电感测量10次 前4次是和一个标准线圈比较得到的 后6次是和另一个标准 线圈比较得到的 测得结果如下 单位为mH 50 82 50 83 50 87 50 89 50 78 50 78 50 75 50 85 50 82 50 81 试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差 解法一 用t检验法进行检验 前4次测量的算术平均值 8525 50 4 1 x x 后6次测量的算术平均值 7983 50 6 1 y y 00082 0 4 1 22 xxS ix 00105 0 6 1 22 yyS iy 44 2 00105 0600082 04 64 264 64 798 508525 50 t 由 4 6 2 8及取 0 05 查t分布表 得t a 2 31 因31 244 2 a tt 可判断两组数据可能存在系统误差 解法二 用秩和检验法进行检验 将两组数据按从小到大混合排列成下表 T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 50 82 50 83 50 87 50 89 yi50 75 50 78 50 78 50 81 50 82 50 85 已知 n1 4 n2 6 计算秩和T T 5 5 7 9 10 31 5 查表 T 14 T 30 因 T 31 5 T 30 可判断两组数据可能存在系统误差 10 解法三 用计算数据比较法检验 两组数据的算术平均值和标准差分别为 第一组数据 8525 50 4 1 x x 033 0 14 10275 3 1 3 2 1 n i 第二组数据 7983 50 6 1 y y 035 0 16 108334 62 1 4 2 2 n j 注 若以极差法计算标准差 计算结果也相近 034 0 06 2 82 5089 50 1 n n d 04 0 53 2 75 5085 50 2 n n d 两组数据算术平均值之差为 0542 07983 508525 50 yx 其标准差为 0481 0035 0033 0 222 2 2 1 因 0542 0 0962 02 2 2 2 1 故两组数据间无系统误差 以上计算 本人经过多次推导 应该无误 解法三得出了与前两种方法互为矛盾的结 论 原因何在 请同学们仔细分析 本人分析原因如下 所给两组数据包含的误差并不是服从正态分布 因此不能用t 检验法检验 解法三在计算标准差时 因测量次数少 用贝塞尔公式计算标准差误差大 极差法计算标准差也是要求测量误差服从正态分布 解法二适合非正态分布的误差 得出 的结论正确 以上几种系统误差的判别法具有一定的适应范围 有局限性 2 17 等精度测得某一电压10次 测得结果 单位为V 为25 94 25 97 25 98 26 01 26 04 26 02 26 04 25 98 25 96 26 07 测量完毕后 发现测量装置有接触松动现象 为判 明是否因接触不良而引入系统误差 将接触改善后 又重新做了10次等精度测量 测得 结果 单位为V 为25 93 25 94 25 98 26 02 26 01 25 90 25 93 26 04 25 94 26 02 试用t检验法 取 0 05 判断两组测量值之间是否有系统误差 解 计算两组测量结果的算术平均值 001 26 10 1 x x971 25 10 1 y y 00155 0 10 1 22 xxS ix 00215 0 10 1 22 yyS iy 48 1 00215 01000155 010 1010 21010 1010 971 25001 26 t 由 10 10 2 18及取 0 05 查t分布表 得t a 2 1 因1 248 1 u n 故无根据怀疑测量列存在系统误差 又出现互为矛盾的结论 如何解释呢 2 19 对某量进行两组测量 测得数据如下 xi0 62 0 86 1 13 1 13 1 16 1 181 201 211 221 261 301 34 1 39 1 411 57 yi0 99 1 12 1 21 1 25 1 31 1 311 381 411 481 501 591 60 1 60 1 841 95 试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差 解 将两组数据按从小到大混合排列成下表 T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 xi0 62 0 86 1 13 1 131 161 181 20 1 211 22 1 261 30 yi 0 99 1 12 1 21 1 25 T 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 xi 1 34 1 39 1 41 1 57 yi1 31 1 31 1 38 1 41 1 481 50 1 591 60 1 60 1 841 95 已知n1 n2 15 因组数据的秩和较小 故以其数据的次序计算秩和 i x T 1 2 5 6 7 8 9 10 5 12 14 15 18 20 21 5 25 174 12 因n1 n2 15 10 秩和T近似服从正态分布 12 1 2 1 2121211 nnnnnnn NaN 其中数学期望和标准差 分别为 a 11 24 12 11515 1515 12 1 5 232 2 11515 15 2 1 2121211 nnnnnnn a 则置信系数t为 43 2 11 24 5 232174 aT t 选取置信概率99 显著度0 01 即取495 0 t 由附录表1查得 60 2 a t 因60 243 2 故第4个测量数据含测量误差 应当剔除 再对剩余的14个测得值重新计算 得 50 28 14 1 14 1 i i xx 0337 0 114 0148 0 1 14 1 2 n i i 1011 00337 033 由表知第14个测得值的残余误差 1011 0317 0 14 故也含粗大误差 应剔除 再重复验算 剩下的13个测得值已不包含粗大误差 用格罗布斯准则判别 已经计算出15个测量数据的统计特征量 57 28 x 265 0 将测得的数据按从小到大的顺序排列 有 40 28 1 x 17 04 2857 28 1 xx 52 29 15 x 95 057 2852 29 15 xx 首先判别是否含有粗大误差 15 x585 3 265 0 57 2852 29 15 15 xx g 查表2 13得 41 2 05 0 15 0 g 则 41 2 05 0 15 585 3 0 15 gg 故第4个测得数据包含粗大误差 应当剔除 再对剩下的14个测得值计算 判断是否含有粗大误差 已知 1 x50 28 x 034 0 94 2 034 0 40 2850 28 1 1 xx g 查表2 13得 37 2 05 0 14 0 g 则 37 2 05 0 14 94 2 0 1 gg 故第14个测得数据也包含粗大误差 应当剔除 再重复检验 其它各测得值已不再包含粗大误差 用狄克松准则判别 将测得的数据按从小到大的顺序排列 有 52 29 53 28 49 28 40 28 15 14 13 3 2 1 xxxxxx 判断最小值与最大值是否包含粗大误差 因n 15 以统计量和计算 1 x 15 x 22 r 22 r 04 1 49 2852 29 53 2852 29 3 15 13 15 22 xx xx r 692 0 53 2840 28 49 2840 28 13 1 3 1 22 xx xx r 14 查表2 14得 因 525 0 05 0 15 0 r 05 0 15 04 1 022 rr 和 05 0 15 692 0 0 22 rr 故 和 即所测的第4和第14个测量值 包含粗大误差 应予剔除 1 x 15 x 再重复检验剩余的13个测得值 已不再包含粗大误差 2 21 对某一个电阻进行200次测量 测得结果列表如下 测得电阻值 R 12201219 1218 121712161215121412131212 1211 1210 该电阻值出现次数 1 3 8 21 43 54 40 19 9 1 1 绘出测量结果的统计直方图 由此可得到什么结论 求测量结果并写出表达式 写出测量误差概率分布密度函数式 解 测量结果的统计直方图如下 由此可看出电阻值的阻值偏差基本符合正态分布 测量结果的统计直方图 121512141212121312111210 10 20 40 30 50 60 测得电阻值 12191220121812161217 出 现 次 数 可以把200次等精度测量看作11组不等精度的测量 每组测量次数不同 根据测量次数确 定各组的权 有 1 9 19 40 54 43 21 8 3 1 1110987654321 ppppppppppp 11 1 200 i i p 选取电阻参考值 求加权算术平均值 1215 0 R 06 1215 200 5 1 4 1 3 9 2 19 1 40054143221384351 1215 11 1 11 1 0 0 i i i ii p RRp RR 求各组残余误差RRi i 06 0 94 0 94 1 94 2 94 3 94 4 654321 06 5 06 4 06 3 06 2 06 1 1110987 15 0036 0 8836 0 7636 3 6436 8 5236 15 4036 24 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 6036 25 4836 16 3636 9 2436 4 1236 1 2 11 2 10 2 9 2 8 2 7 求加权算术平均值的标准差 5 0 200 111 28 509 1 1 1 2 m i i m i ii x pm p 求加权算术平均值的极限误差 因该测量基本服从正态分布 取置信系数 则最后结果 的极限误差为 3 t 5 15 033 lim x R 写出最后测量结果为 5 106 12153 x RR 测量误差概率分布密度函数式为 由 2 2 2 2 1 ef 得 5 0 06 1215 5 02 06 1215 2 2 2 798 0 25 0 1 R R eeRRf 16 第三章第三章 误差的合成与分配误差的合成与分配 习题及参考答案习题及参考答案 3 1 相对测量时需用 54 255mm 的量块组做标准件 量块组由四块量块研合而成 它们的基本尺 寸为 经测量 它们的尺寸偏差及其测量 极限误差分别为 1234 40 12 1 25 1 005lmm lmm lmm lmm 123 0 7 0 5 0 3lmlmlm 4 0 1lm ml 35 0 1lim lim 2lim 3 0 25 0 20lmlm lim 4 0 20lm 试求量块组按 基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差 解 量块组的关系为 4321 llllL 显然本题是一个关于函数系统误差和函数随机误差 的计算问题 已知个组成块的尺寸偏差 属系统误差 则可计算量块组的系统误差 m 4 01 03 05 07 0 4321 llllL 所以 量块组按基本尺寸使用时的修正值 E 为 m 4 0 4 0 LE 量块组按基本尺寸使用时的测量误差 系统极限误差 为 m 515 02 020 025 035 0 2222 4 2 lim3 2 lim2 2 lim1 2 limlim llllL 3 2 为求长方体体积 V 直接测量其各边长为 161 6 44 5 amm bmm m m 11 2cm 已知测量 的 系 统 误 差 为 测 量 的 极 限 误 差 为1 2 0 8 0 5ammbmmcm a 0 8 0 5 0 5 bc mmmmmm 试求立方体的体积及其体积的极限误差 解 立方体体积 abcV 若不考虑测得值的系统误差 则计算体积为 mm 44 805412 115 446 161 3 0 abcV 体积 V 的系统误差为 mm 744 2745 2 11 5 0 5 44 8 0 6 161 2 1 44 80541 3 c c b b a a abcc c V b b V a a V V 考虑测量系统误差后的立方体体积 mm 70 77795696 77795744 274544 80541 3 0 VVV 又直接测量值存在极限误差 则间接测量体积存在的极限误差为 222 lim cba c V b V a V V mm 1 37296 359596 904398 72 0 5 5 44 161 60 5 11 2 161 60 8 11 2 44 5 3222 222 222 lim cba abacbcV 1 故测量结果为 V limV 77795 70 3729 1 mm3 3 3 长方体的边长分别为 测量时 标准差均为 123 a a a 标准差各为 123 试求体 积的标准差 解 长方体体积计算式 则体积的标准差为 321 aaaabcV 2 3 32 2 22 1 1 321 2 321 2 231 2 132 2 3 3 2 2 2 2 1 1 aaa aaaaaaaaa a V a V a V V 标准差均为 时 则体积的标准差为 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 32 2 22 1 1 321 111 aaa V aaa V aaa aaa V 标准差各为 123 时 则体积的标准差为 2 3 32 2 22 1 1 aaa V V 3 4 测量某电路的电流 电压22 5I mAV12 6U 测量的标准差分别为 0 5 I mA 0 1 U V 求所耗功率及其标准差PUI P 解 若不考虑测得值的误差 则计算所耗功率为 W 2835 06 12105 22 3 UIP 所耗功率标准差 P W 1069 6100625 569 39 1 0105 22 105 06 12 332323 2222 UIUIP IU U P I P 3 5 已知2 00 1 3 00 2 xy xy 相关系数0 xy 试求 3 x y 的值及其标准差 解 若不考虑测得值的误差 计算其值 yx和 885 20 30 2 3 3 yx 已知2 0 1 0 yx 则 的标准差 313 0077 0021 0 2 03 3 1 2 1 03 3 1 2 3 2 23 2 3 2 2 3 22 yxyx yxy yx 2 3 6 已知 x 与 y 的相关系数1 xy 试求 2 uxay 的方差 2 u 解 属于函数随机误差合成问题 由教材式 3 13 有 22222 22222 2 1 22 2 2 yxyxyx yxxyyxu axaxax y u x u y u x u 3 7 通过电流表的电流I与指针偏转角 服从下列关系 tanIC 式中 C 为决定于仪表结 构的常数 两次测得 7 5 031 10CA 1 6171 o 2 43 321 o 试求两种情况 下的 12 I I及其极限误差 并分析最佳测量方案 解 因tanIC CI tan 由三角函数随机误差 极限误差 计算公式 3 21 有 2222 cos cos CI f I I 2lim 2 lim 22 lim cos cos C I I I f 2 lim lim cos C I 1 当 1 时 把代入关系式 有 1 176o A 1054 5 176tan10031 5 tan 8 7 11 o CI 相应的极限误差为 A 10481 1 176cos 60180 1 10031 5 cos 10 2 7 1 2 1lim 1lim o C I 当 2 时 把代入关系式 有 2 3243o A 10780 4 3243tan10031 5 tan 7 7 22 o CI 相应的极限误差为 A 10784 2 3243cos 60180 1 10031 5 cos 10 2 7 2 2 2lim 2lim o C I 根据求得测量电流的误差传递式 1 欲使极限误差I lim 变小 必须满足0 cos2 C 或为最小 因C为常数 这意味着只能是最大 又因电流表指针偏转角在 2 cos 0范围内变化 当20 时 单调下降 为使 2 cos 2 cosC趋小 应该愈小愈好 即测小电流误差 小 上述计算结果验证了该方案的正确性 3 当 2时 单调增加 为使 2 cos 2 cosC趋小 应该愈大愈好 3 8 如图 3 6 所示 用双球法测量孔的直径 D 其钢球直径分别为 测出距离分别为 试求被测孔径 D 与各直接测量量的函数关系 12 d d 12 H H 1212 Df d dH H 及其误差传递系数 解 由几何关系易求被测孔径 D d2 D d1 H2 H1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21221121 2 2211 2 2121 HHdHHddd HdHdddddD 各直接测量量的误差传递系数如下 211 212 1 1 2 1 HHd HHd d D 212 211 2 1 2 1 HHd HHd d D 22 2 1 212211 2121 1 HHdHHd HHdd H D 1 212211 2121 2 22 2 1 H D HHdHHd HHdd H D 图 3 6 3 9 按公式求圆柱体体积 若已知 r 约为 2cm h 约为 20cm 要使体积的相对误差 等于 1 试问 r 和 h 测量时误差应为多少 2 Vr h 解 已知圆柱体的半径和高度分别为 cmhcmr20 2 则可计算出圆柱体的体积 322 0 328 2512021416 3cmhrV 而体积的绝对误差为 51 2 1328 251 1 3 0 cmV V 测量项目有 2 项 n 2 且按等作用原则分配误差 则可得测量半径r与高度的极限误差 h 071 0 0071 0 2021416 32 1 2 51 2 2 11 mmcm rhnrVn VV r 41 1 141 0 21416 3 1 2 51 211 22 mmcm rnhV